2 8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直的判定，涵盖定义、判定定理及线面角。通过旗杆与地面等生活实例导入，结合“旗杆与影子关系”的思考，搭建从感性认识到理性定义的学习支架，衔接判定定理探究。 其亮点在于采用“思考-实验-探究”模式，如折纸实验直观感知判定定理，培养数学眼光；例题中逻辑推理（如SD⊥平面ABC的证明）发展数学思维；符号与文字语言结合强化数学表达。助力学生构建空间观念，教师可通过实例提升教学效率。

8．6.2　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直的判定 1 新课导入 学习目标 在日常生活中， 我们对直线与平面 垂直有很多感性认识．比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象，今天我们将对线面垂直做进一步的研究． 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系． 2．归纳出直线与平面垂直的判定定理． 3．了解直线与平面所成的角． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 4 一　直线和平面垂直的概念 思考　如图，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它 在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不 断地变化，它们的位置关系如何？那么AB与不过点B的 任意一条直线B′C′的位置关系又如何呢？ 提示：旗杆AB所在直线与影子BC所在直线始终保持垂直．AB与B′C′也垂直，即可得到旗杆AB所在直线与地面上的任意一条直线都垂直． 返回导航 [知识梳理] 定义 一般地，如果直线l与平面α内的_____________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的_______，平面α叫做直线l的_______．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_______，过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的_______，垂线段的长度叫做这个点到该平面的_______．过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 任意一条 垂线 垂面 垂足 垂线段 距离 返回导航 图示 及画法     画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若直线l垂直于平面α内的两条直线，则直线l垂直于平面α.(　　) (2)若直线l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．(　　) (3)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(　　) (4)如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(　　) × √ × × 返回导航 2．(多选)下列关于直三棱柱ABC-A1B1C1中线、面位置关系的说法正确的有(　　) A．直线AA1与直线CC1平行 B．直线AA1与平面ABC垂直 C．直线BB1与平面ACC1A1平行 D．直线AB与平面ACC1A1垂直 √ √ √ 返回导航 解析：如图，由直三棱柱的性质可知，直线AA1与直线CC1平行，A正确；   直线AA1与平面ABC垂直，B正确； 因为AA1∥BB1，AA1⊂平面ACC1A1，BB1⊄平面ACC1A1，所以BB1∥平面ACC1A1，C正确； 不妨设△ABC为等边三角形，则此时直线AB与平面ACC1A1不垂直，D错误． 返回导航 3．若正四棱锥的底面边长是8，顶点到底面的距离是6，则它的体积为________． 128 返回导航 (1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直． (2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即对于直线a，b，平面α，若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. 返回导航 二　直线与平面垂直的判定定理 思考　数学实验1：将一张矩形纸片沿AB对折后略微展开，竖立在桌面上，我们可以观察到折痕AB与桌面垂直．如图1所示．   数学实验2：如图2，将一张矩形纸片沿AB对折后略微展开，使DB，BF在桌面内，观察折痕AB还与桌面垂直吗？   提示：不垂直． 返回导航 [知识梳理] 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的______________直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形 语言   符号 语言 m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 两条相交 返回导航 [例1] 如图所示，Rt△ABC所在的平面外有一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC. 【证明】　因为SA＝SC，点D为斜边AC的中点，所以SD⊥AC. 如图，连接BD， 在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD， 所以△ADS≌△BDS， 所以∠ADS＝∠BDS， 所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC， BD⊂平面ABC， 所以SD⊥平面ABC. 返回导航 母题探究　在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？ 解：因为AB＝BC，点D为斜边AC的中点，所以BD⊥AC.又由例题解析知SD⊥BD，AC∩SD＝D，AC，SD⊂平面SAC，故BD⊥平面SAC. 返回导航 证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直． (2)平行转化法(利用推论)：若a，b为直线，α，β为平面，则①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 返回导航 [跟踪训练1] 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，M为BC的中点，PD⊥CD.证明：AB⊥平面PDM. 返回导航 返回导航 三　直线和平面所成的角 思考　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面直至铅笔与桌面垂直的过程中，铅笔和桌面所成的角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？ 提示：铅笔和它在桌面上的射影所成的角． 返回导航 [知识梳理] 1. 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α_______，但不与这个平面_______，这条直线叫做这个平面的斜线   斜足 斜线和平面的_______叫做斜足 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引_______PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 相交 垂直 交点A 垂线 返回导航 2.直线与平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的_______所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角 规定 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是_______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是_______ 范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是______________ 射影 90° 0° 0°≤θ≤90° 返回导航 [例2] 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别 为线段AC和线段A1B的中点，求直线MN与平面A1B1BA 所成的角的大小． 返回导航 返回导航 求直线与平面所成的角的步骤 返回导航 [跟踪训练2] 如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB＝BC＝5，CD＝3.求直线AC与平面ABD所成角的正弦值． 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 28 1．已知直线a，b，c和平面α，其中a⊂α，b⊂α，则命题“c⊥a，c⊥b”是命题“c⊥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由线面垂直的判定定理可知，当直线a，b不相交时，c不一定垂直于α，充分性不成立；当c⊥α，且a⊂α，b⊂α时，得c⊥a，c⊥b，必要性成立．故命题“c⊥a，c⊥b”是命题“c⊥α”的必要不充分条件． √ 返回导航 2．(多选)若一条直线a与下列平面中的两条直线垂直，则可以保证直线与该平面垂直的是　(　　) A.四边形的两边 B．正六边形的两边 C.圆的两条直径 D．三角形的两边 解析：对于A，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直； 对于B，若直线垂直于正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直； 对于C，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直； 对于D，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直． √ √ 返回导航 3．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则直线BD与平面B1BCC1所成角的正切值是________． 1 返回导航 返回导航 4．(教材P152T2改编)如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，MA＝MC.求证：AC ⊥平面BDM. 证明：设AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC⊥BD， 因为MA＝MC，且AO＝CO， 所以MO⊥AC， 因为MO，BD⊂平面 BDM，MO∩BD＝O， 所以AC ⊥平面 BDM. 返回导航 1．已学习：直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理、直线与平面所成的角． 2．须贯通：直线与平面的判定定理体现了“线线垂直⇒线面垂直”的转化过程；求直线与平面所成的角的步骤：一作、二证、三计算，其中作出线面角是关键，而确定斜线在平面上的射影是作角的突破口． 3．应注意：“平面内两条相交直线”在判定定理中的关键作用． 返回导航 解析：如图，过顶点P作底面ABCD的垂线，垂足设为O，由题意，正四棱锥的底面ABCD是正方形，且边长是8，则底面ABCD的面积为82＝64，高为PO＝6，则V正四棱锥P­ABCD＝×6×64＝128. 证明：在平行四边形ABCD中， 由已知可得CD＝AB＝1，CM＝BC＝2， ∠DCM＝60°， 由余弦定理，得DM2＝CD2＋CM2－2CD·CM cos 60°＝1＋4－2×1×2×＝3， 则CD2＋DM2＝CM2，即CD⊥DM.又PD⊥CD，PD∩DM＝D，PD，DM⊂平面PDM，所以CD⊥平面PDM.又因为底面ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以AB⊥平面PDM. 【解】　如图，取AB的中点O，连接OM，ON，因为M是AC的中点，故OM∥BC， 又因为BC⊥平面A1B1BA，故OM⊥平面A1B1BA， 即ON是MN在平面A1B1BA上的射影，故∠MNO即为直线MN与平面A1B1BA所成的角， 因为N是A1B的中点，故ON＝AA1＝BC＝OM，易得∠MNO＝45°， 所以直线MN与平面A1B1BA所成的角的大小为45°. 解：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD， 所以AB⊥CD，又BC是底面的一条直径， 所以BD⊥CD. 因为BD，AB⊂平面ABD，BD∩AB＝B， 所以CD⊥平面ABD， 所以∠CAD是直线AC与平面ABD所成的角， 因为AB＝BC＝5，所以AC＝5， 所以sin ∠CAD＝＝. 解析：因为ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱，则底面ABCD为正方形，所以DC⊥BC， 又CC1⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD， 所以DC⊥CC1， 因为BC，CC1⊂平面B1BCC1，BC∩CC1＝C，所以DC⊥平面B1BCC1， 由线面角的定义可知，∠DBC即为直线BD与平面B1BCC1所成的角，则tan ∠DBC＝＝1. $