湖南邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”2025-2026学年高一下学期第二次联考数学试题

2026年邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”高一第二次联考 数学参考答案 2 5 7 8 9 10 11 B A C B C B D ABD BCD BD 13.514.2元 2.答案：A 解析：.(1-i)=3+i, 3+i(3+i1+1)_3+4i+i-2牛4i=1+2i, 1-i(1-i)1+i) 1-i2-2 .z=1-2i. 3.答案：C 解析：2a+b=6, 23+h+2品6中2 ab+22a'b+28 4+12+4625+2)- 8 b+2 2a 8 当且仅当0-462，即b-a-时取等号。 b+22a 3 故选：C 4.答案：B 解折：因为“B嘟是锐角，所以u+Bc(0元列，又cosa号则u=cosa=4y5 注意到sna-45,55-ma+P,故 7 14 a-Aeg可oaa-yma--品 co=cos[(+p)-a]=c0s(a+)cosa+si()51 1471472 5.答案：C 解析：函数y=f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称， 则函数y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称，即f(-x)=-f(x), 从而f(2t-t)+f(-3t)>0等价于f(2-t)-f(3t)>0,即f(2r-t)>f(3t) 由函数f(x)在定义域[-3,3]上单调递减， 「-3≤2t-t≤3 则-3≤3t≤3 ,解得0<t≤1， 2t2-t<3t 6.答案：B 解析：S=号-ab)nC=abinC,化简得2 2noC=b-a, 再由正弦定理，得2 sinAcosC=sinB-sin4, ysinB=sin(-4-C)=sin(4+C)=sinAcosC+cos4sinc, 代入得2sin4cosC=sin4cosC+cosAsinc-sin4,整理得sin(C-A)=sin4, 又A,C为△ABC的内角，则C-A=A,即C=2A 因为cD为∠ACB的平分线，所以∠4ACD=∠A=∠DCB,AD=CD 3 在△4CD中，os4=2C 3b.① AD 10 又S△ABc=S△ACD+S△BD, absinc=AD.bsin+DC., 2 2 则22absinAcosA=AD-bsin4+CD-asin4, 化简得2 abcosA= 5b+ 5 , 33 又a=2,4bco4=b+ 10 303.② ①1代入②待185-256-50-0解得6-或0- 9 (舍去)， ."cos= 3b3 1043 在△BCD中，由余弦定理得BD:=CD+a-2CD:co31-25+4-2× 2x316 3 49 .BD= D 7.答案：D 解析：对于A,设点P(x,y), P41.Vx+)+y 1 V(x-2)2+y2 整理得(x+2)+y2=4, 故C的方程为(x+2)2+y2=4,故A正确： 对于B,(x+2)2+y2=4的圆心C(-2,0),半径r=2, 点1,1)到圆心C(-2,0)的距离d=V0+2)2+1-0)2=V10, 圆上一点到点1，)的距离的取值范围为[V0-2,V10+2], 而3∈[N10-2,√10+2]，故在C上存在点D, 使得D到点(1,1)的距离为3，故B正确： 对于C,设点M(x,),MO=2MA, 则Vx2+=2Vx+1)2+y2, 整理得(+争+少- 9 六点M的轨迹方程为c争少-号 即M是以C(等0为圆心，半径行-号的园， 24 又cc=33r-, 两圆内含，没有公共点， ∴.在C上不存在点M,使得MO=2M4,故C正确： 对于D,圆心C(-2,0)到直线3x-4y-13=0的距离d=Bx(2)-4x0-1319 V32+(←4)9 51 C上的点到直线3x=4y-B=0的最小距离为4一T=2-故D不正确 故选：D. 8.答案：A 解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，根据直线与圆相切可构造方程求得2点 坐标和N点坐标，确定NQ=a+c,QR=a-c的值，由此可构造方程组求得a,c, 进而得到离心率. 以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系， M OR 由题意知：Ng=a+c,OR=a-c,P(0,6),R(-子，0)， 则直线R:号+若1，即24x7y+2-=0. 6 4 7 设Qn,0n<- 则M(n,l), 4 点M到直线限的距离4-2+31，解得：n= V242+72 p网-子-子即ac- 设直线PN:y=x+6,即，PN:x-y+6=0 5k+5 ∴.点M到直线PW的距离d Vk2+1 =1,解得：k=4或k=24 3 7 宜线k,<k2,k=3,即直线PW:4x-3y+18三 令=0，解得：=号 =2,即a+c=2; 11 a= 由a-c= 4得：了 §，椭圆离心率e=仁 a+c=2 a11 8 故选：A 9.答案：ABD 解析：对于A选项，分数在[120,130)内的频率为 1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=0,A正确： 对于B选项，注意到分数落在130,150]的频率为0.05+0.25=0.3，从而第75百分位数 超过130，B正确： 对于C选项，因为[120,130)的频率为0.3最大，故众数约为125，C错误： 对于D选项，平均分： 95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121,故D正确 10.答案：BCD 解析：正四棱柱的外接球的直径为体对角线，则体对角线长度 =VAB2+AD2+A4=V2+2+4=2W6, 故正四棱柱ABCD-AB,CD的外接球半径为V6,表面积S=4π(V6)=24π，A选项错 误 由题可知三棱锥Vg-Pc=VnC,△BB,C的面积为定值，点P为线段AD上动点， AD,C平面ADDA1,又ABCD-AB,C,D为正四棱柱， 则平面ADDA1到平面BCB,C1的距离恒为2，即点P到平面BCB,C1的距离恒为2， 故三棱锥B,-PBC的体积为定值，B选项正确； 如图建系以D为原点，DA,DC,DD,方向建立空间坐标系， D 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,4) P为AD中点，故P(1,0,2), AD=（-2,0,4),PB=(1,2,-2),PC=（-1,2,-2) PB=0 设平面PBC的法向量为=(x,y,=),则 PC=0' x+2y-2z=0 -x+2y-22=0两式上下相加得：4y-4红=0， 即 取y=1,则z=1,x=0,平面PBC的法向量为i=(0,1,1), AD=（-2,0,4)≠元=(0,1,1)，则P为AD中点时， 直线AD,不垂直平面PBC,C选项正确； 设平面ABCD内动点M(x,), M到DD的距离为MD=Vx+, 在平面oy上，4(2,0，C(0,2),则4C所在的直线斜率=20=-1， 0-2 则AC所在的直线方程为y-2=-1(x-0),整理得：x+y-2=0, 点M到Ac所在直线的距离d=6+h- V12+12 上+为2=+，两边同时平方得+为-2少=+⅓， V12+12 2 化简整理得：x2+%2-2xy+4x+4-4=(-%)厂+4(+，-1)=0， 令x-%=P,x+y0=9, 则方程化为p+4(q-1)=0→p=-4q-1),满足抛物线定义，D选项正确 故选：BCD 11.答案：BD 解析：对于选项B:因为4=b,则PF=b, 可得|=sin.∠PR,g=2b.a=2b, 3 c 3c 因为s号20。 =-,则ab=2,故B正确： 3c3 对于选项A:因为P=b+2a, 在△PR,耳中，由余弦定理可得cos∠PRB= ERP+PEP-PAP 2FRPF 4c2+3 b+2a 即、 b,化简得b=2a, 22c2b C 所以a=1,b=2,c=5,双曲线C方程为x-上=1， 双曲线C的共轭双曲线方程为上-x=1,故A错误： 4 MF 对于选项C:因为 ME ME 且ME≥5-1，则1<1+ 23+V5 所以 故C错误； 对于选项D:因为双曲线的渐近线方程为y=±2x, 设M(,）,则-发=1，即46-=4， 4 所以点M到两渐近线的距离之积为2-.上25为_A州_4，D正确 5 5 12.答案： 解析：由题意可知，召子，所以T=-行 所以o=2,所以f(x)=sin(2x+p), 又两数u=血(2a+wp色 的图象关于(，0)对称， 又30=m∈,且e0,引，所以p- 故答案为： 13.答案：5 解析：由抛物线C:y2=4x得焦点坐标为(1,0)，设直线AB的方程为x=y+1, A(x,y),B(x,2) =4x，整理得y-4w-4=0,A=16r+16>0, x=y+1 联立 y+y3=4m,y3=-4 由题意知∠AMB=90°，即MA·MB=0 又飞+1，-D,=飞，+L-0, :*范=（㎡+1）为+(2m-1)(01+为)+5 =4(m2+1)+4m(2m-1)+5=(2m-1)2=0, 解得=立' 1 1 直线AB的方程为x=2V+1. AB=1++V4+16=5. 14.答案：2元 解析：如图，以A为坐标原点，AB,AC分别为x,y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴，建立 空间直角坐标系， C B衣 则A(0,0,0),B25,0,0,C0,25,0） 设4(x,y1,1),则A4=(xy,),AB=(25,0,0,AC=(0,25,0） 丽=25行45 由题意可知： A4AC=4×25×1=4W5】 2 44=4 [2W3x=4V5 x=2 则23%=4v3 ,解得y=2 V++2牙=4 1=2V2 即A(2,2,2W2),则B(2+25,2,2V2),C(2,2+25,22) 可得CB=(25,-2V5,0,CC=(2,2,25), 注意到BC.C℃=4W3-4V3+0=0,则BC⊥CC,可知BCCB,为矩形， BC.ii=2v3x-2v3y=0 设平面BCCB的法向量为元=(x,y,),则 CCn=2x+2y+22z=0 令x=1,则y=1,=-V2,可得=(1,1，-√②) 设点4在平面BCCB,的投影为D(x,,) 则BD=(-2V3,20),CD=(x6-2W5,20),4D=(x-2,%-2,5-2W2） 24 BD元=0 BD.n=x-25+,-√2z。=0 2 因为而万=0，则Di=%+为-25-2，=0，解得6=245 2 AD11元 为-2-h-2=。-22 11-√2 。=2V56 可回写(5o44-l 又w可25&9v59c-io而2 则c-cs+1-9cc.-25kc4, 可得点D到直线CC,BB,CB,CB,的距离分别为√6，√6,4-√3，V3,均大于1， 所以点P的轨迹是以D为圆心，半径r=1的圆， 所以P的轨迹长度为2π=2π 故答案为：2π. 15.答案：(1)A= (2)(1,2) 解析：(1)因为cosA+sinB=V5(siA+cosB), 所以cosA-V3sinA=V5cosB-sinB, 所以 +π<5π，亚<B+亚<2如 +3<6’61 63 所以A+=B+工，即B=A+元， 3 ……4分 6 6 又A+B+C=π，C= 3 + 所以A+A+二 =兀， 63 即4= …6分 (2)因为AD=BD=2, 所以∠DBA=∠A,又∠ABC=A+ 61 可得∠DBC= 6 C D B CD 在△DBC中， BD sim∠DBC sinC' 所以CD= BDsin∠DBC1 …9分 sinC sinC 在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sin2A+ 6 因为△ABC为锐角三角形， 0<A<7 2 所以0<B=A+工<亚 62 0<C=π-A-A-五<乃 62 得刀<A< 3 …1分 6 所以24晋m24引1， 66’2 C∈(L,2),即cD的取值范围为(1,2)】 所以1 …13分 16.答案：（①）x- 31 (2)12x-y-47=0 解析：（1)x2+y2+4x+3=0可化为(x+2)+y2=1, 圆C的圆心为C1（-2,0),半径1=1： x2+y2-4x+3=0可化为(x-2)2+y2=1, 圆C,的圆心为C,(2,0),半径5=1。 设动圆C的半径为r.若动圆C与圆C内切，与圆C,外切， 则CC=r-1,CC=r+1,可得|CC-|CC=2; …3分 若动圆C与圆C,内切，与圆C外切， 则CC=r+l,CC=r-1,可得CC-CC=2 故cC-|lcC=2 …5分 可知点C的轨迹是以C,C,为焦点的双曲线，且a=1,c=2, 则b=Q:-a=5,故动圆圆心C的轨迹L的方程为x2_上=1 …7分 3 (2)设A(x,),B(x,y2),易得x≠，则 3 x- =1 3 两式作差得(g-),上=0，整理得到为-3红+， …10分 3 x1-x3乃+y2 因为线段AB的中点为(4,1)，且在双曲线内部，所以 x+x3=8 h+y2=2’ 则直线的斜幸在=上少-3(5+-12， …3分 x-xy+y2 故所求直线方程为y-1=12(x-4),即12x-y-47=0.…15分 17.答案：(1)证明见解析 四3量丽 解析：(I)证明：在等腰梯形ABCD中，AD=BC=CD,AB/ICD,∠ABC=60°， 则∠CAB=∠ACD=∠DAC=30°， 则∠ACB=90°，.AC⊥BC, 又由BC2+PC2=PB2,可知BC⊥PC, …4分 又PC∩AC=C,ACC平面PAC,PCC平面PAC, 故BC⊥平面PAC …6分 (2)过点C作CN⊥平面ABC,则以C为坐标原点，分别以CA,CB,CN所在直线 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示 …7分 B 则C(0,0,0),B(0,2,0),A(23,0,0), -2W3x+2y=0, 设平面EAB的法向量为m=(x,y,),则 mAB=0即{35x- m·EA=0, -X一 2=0, 2 2 令x=1,则y=V3,z=3W3, 则m=4,√3,33)， …l0分 易知平面ABC的一个法向量为n=(O,0,I), …12分 所以cosm,=mn 3v3 mn1x1+3+2731, 故平面AEB与平面ABC夹角的余弦值为 33 3 …15分 18.答案：(+上-1 8 4 (2)6+V3 (3)存在m=-√2 [a2-b2=4, 解析：(1)由题意得 …2分 a2=8 解得 b3=4' 所以C的方程为 =1 …4分 8 4 （2设Mx,佳因意知E0,舌 -=1,x2=8-2y2,-2≤y≤2， 所以ME=Vx2+y-4)2=√-y2-8y+24=√(+4)2+40， 因为-2≤y≤2，所以当y=-2时，|MElx=6, …8分 所以Wx=MELs+V5=6+V5 …9分 (3)由题意得直线1的斜率不为0，故设1的方程为x=y+2,…10分 A(x,),B(x,y2),P(s为)，Q(x4,4), x=y+2, 联立直线与C的方程，得二+上L消去x并整理， 84 得（t+2)y2+4-4=0, 所以△=16t2+16(t2+2)=32(t+1)>0, 4t 4 片+为= +2'%=+2 所以AB=V1+Vy+y,)}-4yy =V1+2 162,164v2(t+1 (:+2+2 t2+2 …12分 联立直线1与抛物线y2=8x的方程， 少8x,消去x并整理，得少-8-16=0， x=y+2, 得 所以△=64t2+64>0,y3+y4=8t,y3y4=-16, 所以Pg=V1+V(y+y4)2-4yy4=V1+fV64r+64=8(t2+1,…14分 mt2+2 所以A网+P回4W2(e+可8P+可 V2(t+2)+m、 ++, 8(?+1) 8t2+1) 若十阅为定值，则2-行1，博a6, m 所以存在m=V5,使得A团十P四为定值 …17分 E 19.答案：(1)不是，理由见解析 (2)[51ogョ2，+o) 40512026 (3) 6,3 的图象数形结合解决问题 解析：(1)因为f(x)=2-1在R上为增函数， 所以f(x)的值域为(-1，+o), …1分 因为g(x)的值域为[0，+o) …2分 当x∈(-0,0)时，f(x)∈(-1,0)，而g(x)≥0， 所以g(x)不是f(x)的2重覆盖函数 …3分 (2)当x∈(-2,1]时，f(x)=lg(x+3)为增函数，所以f(x)E(0,2], 当x∈(1,4时，f(x)=3-log2x为减函数，所以f(x)∈[1,3)， 所以，x∈(-2,4时，f(x)∈(0,3)， …5分 当x∈(1，+0)时，g(x)=-3x2+12x-9,由二次函数性质得，g(x)∈(-∞，3]， 所以，对于t∈(0,3)，x,本∈(1,3)， 使得g(x)=g(x)=t, 因为当x∈(3，+o)时，g(x)∈(-o,0), 对于t∈(0,3)，不存在x∈(3，+w),使得g(x)=t, 所以要使g(x)为f(x)的3重覆盖函数”， 只需t∈(0,3)，g(x)=1在[-1,1]上有唯一解， …7分 因为g(x)=mlog2(2-x)-2,g(1)=-2, m>0 2>0 所以 8(1)23即， mlog23-2≥3 解得m≥5log32, 所以m的取值范围是51og32,+o) …9分 e+2=1og4e+1 (3)因为m(x)=log4e+1 e+1+1=loga 因为e>0,所以e+1>1, 所以0<1 e+1 <1,1<1+ es2, 所以=1+a》 …11分 设t=log2x,l≤x<8,则t∈[0,3)，令H(t)=at-[at],t∈[0,3)， a..- a at-l,t∈ 12 H(t)）=at-[at]= aa at-2,t∈ 23Y aa 因为h(x)为p(x)的2026重覆盖函数”， 所以H(t)为p(x)的2026重覆盖函数”， 即vm0》)-m在[3列有2026个最 …14分 作出函数H(t)的大致图象（部分），如下图， y-m 20252026 a a 要使得H(t)=m在[0,3)有2026个根， a>0 则3≥4051 解得051 2026 ≤a≤ 2a 6 3 3s2026 40512026 所以正实数a的取值范围是 6,3 ……………17分 (其他解法酌情给分)2026年邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”高一第二次联考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的 1.集合A=x∈Nx2-2x-3≤0}B=y=log(4-x2} 则A∩B=() A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2 C.{1,2} D.[-1,2) 2.己知复数z满足(1-1)=3+1，则z的共轭复数三=() A.1-2i B.1+2i C.-1-2i D.-1+2i 1 3.已知正实数a,b满足2a+b=6,则二 6+2的最小值为 ) 9 c.8 D.9 4 4.己知0，B都是锐角，c0s0= 7,sin(a+B)= 5V ,则cosB的值为() 14 A. 71 2 C.98 0.-39V5 98 5.已知函数f(x)在定义域[-3,3]上单调递减，且函数y=f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称，不 等式f(2t-t)+f(-3t)>0的解集为() 别 B.(0,2) c.(0,1] BC中ab,c分别是角4BC的对边，△4BC的面积S三6-btam( 线交AB于D点，且a=2,CD=),则BD=() A号 D.3 7.己知在平面直角坐标系xOy中，A(-1,0),B(2,0).点P满 PA 1 P82,设点P所构成的曲线 为C,下列结论不正确的是() A.C的方程为(x+2)2+y2=4 B.在C上存在点D,使得D到，点(1,1)的距离为3 C.在C上不存在点M,使得MO=2MA D.C上的点到直线3x-4y-13=0的最小距离为1 8.如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P(当成质点)发出的光线照射后，在桌 面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点. 假设篮球的半径为1，灯泡与桌面的距离为6，灯泡垂直照射在 平面上的点为A,椭圆的右顶点到4点的距离为 ,则此时椭圆的离心率e等于() 4 A品 C. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某学校为了普及防溺水安全知识，对本校1000名学生开展了一次防溺水安全知识竞赛答题活 动，从中随机抽取100名学生的得分，按照[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)， [130,140),[140,150]分成六段，整理得到如图所示的频率分布 频率 组距 直方图，则下列结论正确的是() 0.035 0.030 A.根据直方图，该校竞赛得分落在[120,130)的频率为0.3 0.025 0.020 B.根据直方图，该校竞赛得分的第75百分位数估计大于1300.015 0.010 C.根据直方图，该校竞赛得分的众数约为135 0.005 D.根据直方图，该校竞赛得分的平均分约为121 090100110120130140150分数 10.如图，在正四棱柱ABCD-ABC1D中，AB=2,AA=4,点P为线段AD上一动点，则下列说 法正确的是() D A.正四棱柱ABCD-A1B,C1D,的外接球表面积为32π B.三棱锥B,-PBC的体积为定值 C.当P为AD1中，点时，直线AD1不垂直于平面PBC D.平面ABCD内的动，点M到直线AC与DD的距离相等， 则，点M的轨迹是抛物线 :双曲线CX1口>0,6>0)的左、右焦点分别为点，E,斜奉为正的浙近线为 过点F,作直线l的垂线，垂足为点A,交双曲线于点P,设点M是双曲线C上任意一点，若 P4SsC ) A双曲线C的共轭双曲线方程为y_?=1 B.ab=2 C.当点M位于双曲线C右支时 宝山到两渐近线的距离之积关 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已加三角适数fy-m(r+)0>090别 的图象关于(P,0)对称，且其相邻对 称轴之间的距离为了则0 13.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,抛物线C的焦点作直线与抛物线C交于A,B两点.若 ∠AMB=90°，则弦长AB= 14.斜三棱柱ABC-AB,C 中，∠AAB=∠AAC=60°，∠BAC=90°，AB=AC=2√3，AA1=4,动点P在侧面BCC1B,上，且 AP=2,则P的轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知△ABC为锐角三角形，且co3A+sinB=V3(sinA+cosB)」 若C-骨求山 (2)已知点D在边AC上，且AD=BD=2,求CD的取值范围. 16.(15分)设圆C,:x2+y2+4x+3=0,圆C,:x2+y2-4x+3=0,已知动圆C与其中一个 圆内切，与另一个圆外切. (1)求动圆圆心C的轨迹L的方程： (2)若A,B是L上的两点且线段AB的中点为(4,1)，求AB所在直线的方程 17.(15分)如图，在梯形ABCD中，AB/CD,AD=DC=BC=2,∠ABC=60°，将 △ACD沿AC翻折，使点D翻折到P点，且PB=2√2 D 4. (1)证明：BC⊥平面PAC: (2)若E为线段PC的中点，求平面AEB与平面ABC夹角的余弦值， 8(47分)E知存焦点为P0)的椭圆C多+扩1a>b>0)过点(V2,NA (1)求C的方程： (2)若点M在C上，点N为圆E:x2+(-4)2=3上一点，求MW的最大值： (3)过点F的直线1与C交于点A,B,与抛物线y°=8x交于点P,Q,是否存在常数，使得 1 4B PO 为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19.(17分)给出如下定义：设函数f(x)的定义域为D,函数g(x)的定义域为D2,若对于任意的 ∈D,恰好存在n个不同的实数x,,,x∈D,使得g(x)=f(x),i=1,2,3,,n,其中 neN,则称g(x)为f(x)的n重覆盖函数” (1)已知函数f(x)=2-1,g(x)=x-2026,判断g(x)是否为f(x)的2重覆盖函数”，并说明 理由； (2)已知函数f(x)= e+3G（2g-m6,22若g 3-log2x,x∈(1,4] -3x2+12x-9,x∈(1，+0) 是f(x)的“3重覆盖函数'，求的取值范围； (3)定义[x]表示不超过x的最大整数如[1.3]=1，[-1.3]=-2，[3]=3，记函数 到ag儿ahe司.c)o=异者到为p)的s豆瑰益正 求正实数a的取值范围.