2026年九年级数学中考复习《圆综合》考前适应综合练习题

**基本信息** 聚焦圆与三角形、四边形的综合应用，以切线证明、动态探究为核心，构建“性质应用—模型整合—逻辑推理”的递进训练体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆内知识综合|7题|切线证明、半径计算、动态线段探究|以圆的基本性质（直径圆周角、切线性质）为基础，结合角平分线、垂径定理展开推理| |圆与三角形综合|7题|内心外心、全等相似、解直角三角形|整合三角形与圆的位置关系，通过圆周角转化、切线长定理建立边角联系| |圆与四边形综合|7题|内接四边形、切线判定、面积与线段关系|以圆内接四边形性质为纽带，融合四边形与圆的切线、直径性质，强化综合论证能力|

2026年九年级数学中考复习《圆综合》考前适应综合练习题（附答案） 一、圆内知识综合 1.如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙O上两点，连接AC,BC,C0平分∠ACD, CE⊥DB,交DB延长线于点E· (1)求证：CE是⊙0的切线： (2若⊙0的半径为5，sinD=音，求BE的长. 2.如图，△ABC内接于⊙0，BC是⊙O的直径，AD⊥BC于点D,OF⊥OA, ∠F=2∠ABC F A B (1)求证：BF是⊙0的切线； (2)若tan∠CAD=青，BF=12,求D0的半径。 3.如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A,B,连接OA,OB,OP,取OP的中 点C,连接AC并延长，交⊙O于点D,连接BD, B (1)求证：∠ADB=∠A0P; (2)延长OP交DB的延长线于点E.若AP=8,tan∠A0P=V2,求DE的长. 4.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，连接BC,点D为AC的中点，过点D分 别作AB、BC的垂线，交AB于点F、交BC的延长线于点E,连接BD· (1)证明：DE=DF; (2)试判断DE与⊙0的位置关系，并说明理由； 3)若DE=V5,∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积。 5.已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D, AD交⊙O于点E,连接AC 4 B B E E D D 图① 图② (1)如图①，若∠DAC=33·,求∠BAC的大小； (2)如图②，过点B作BFAD交⊙0于点F,连接CF,若DC=1,AD=V2,求CF的长. 6.如图①，在半径为10的⊙0中，弦AB=12,点P在优弧AB上，过点P作PC⊥AB分 别交⊙O、弦AB于点C、D.连接PB,过点A作AE⊥PB分别交⊙O、弦PB、PC于点 E、F、G. B c ① ② (1)如图②，当PC为⊙O的直径时，求CD的长； (2)求证：CD=GD: (3)当点P运动时，PG的长是否随之改变呢？若不改变，请直接写出PG的长；若改变，请 说明PG的长的变化情况。 7.如图1，己知△ABC内接于⊙O,直径AD⊥BC,垂足为E.点F为AC上一动点，连 接BF分别交AD,AC于点H,K,过点F作FGI‖AB交AC于点G. D D 图1 图2 图3 (1)求证：∠BAE=∠CAE: (2如图2，连接FC,若BF为⊙0的直径， ①求证：GF=GC: ②若AG=2GC,BC=6,求AC的长： (3)如图3，若AB=5,BC=6,直接写出FG的最大值. 二、圆与三角形综合 8.如图，△ABC内接于⊙O,点D为BC的中点，连接AD、CD,CE平分∠ACB交AD于 点E,过点D作DF‖BC交AB的延长线于点F. (1)求证：DF是⊙0的切线： (2)求证：DE=DC (3)若DE=5,BF=3,求AC的长 9.如图，△ABC内接于⊙O,AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D ,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连接AD (1)求证：∠DAC=∠DBA, (2)求证：P是线段AF的中点. 3)若⊙0的半径为6，AF=号，求an∠ABF的值. 10.如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙0，点I为△ABC的内心，连接CI并延 长交⊙O于点D,E是BC上任意一点，连接AD,BD,BE,CE B (1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数 (2)连接AI,判断△ADI的形状并说明理由： 3)若CI=V2,D1=3V2,求△ABC的周长 11.如图①，在△ABC中，AD为BC边上的高，以AD上一点0为圆心的⊙O过A,B两 点，且分别与AC,BC交于点E,F,延长AD交⊙O于点G,连结AF,∠C=2∠BAD. ① (1)求∠BAC与∠BAD之间满足的数量关系. (2)①求证：AE=BF ②已知DG=2,AE=8,求⊙0的半径. 3)如图2，连结EF,当△EFC与△ABD的面积之比为2时，求的值. 12.如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上两点，且BD=CD,过点D的直线 DE⊥AC交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接AD、OE交于点G, E B (1)求证：DE是⊙0的切线 (2)若=号，⊙0半径为2，求阴影部分的面积； 3)连接BE,在(2)的条件下，求BE的长 13.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D位于⊙O外一点，连接AD,BD,CD.BD交 ⊙0于点E,连接CE.已知AB=AC=AD, 0 图1 图2 (1)如图1，求证：∠ACE=∠ADE; (2)如图2，BD经过圆心O,AB=2CD ①求coS∠BAC的值： ②若AB=3,求⊙0的半径. 14,己知：如图1，AD,BC是⊙O的两条互相垂直的弦，垂足为E,H是弦BC的中点， AO是∠DAB的平分线，半径OA交弦CB于点M. 图1 图2 (1)延长OH,交AB于点N,求证：AN=ON; (2)若M是0A的中点，求证：AD=40H: 3)如图2，延长HO交⊙O于点F,连接BF,若C0的延长线交BF于点G,CG⊥BF, CH=V5,求⊙0的半径. 三、圆与四边形综合 15.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC为直径，E在DA的延长线上，且BE与⊙0相 切.AB平分∠EAC D (1)判断BO与CD的位置关系，并说明理由： (2)若BE=4,AD=3AE,求⊙0的半径 16.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径，AB=BC,连接BD,过点D的 直线与CA的延长线交于点E,且∠EDA=∠ECD. E (1)求∠ADB的度数： (2)求证：DE是⊙0的切线； B)以下与线段AD,线段CD,线段BD有关的三个结论：①AD+CD=BD,② AD+CD=V2BD,③AD+CD=V3BD,你认为哪个正确？请说明理由. 17.如图1，己知四边形ABCD内接于⊙0，AC,BD交于点F,已知∠ADB=∠ABC 0° 图1 图2 图3 (1)求证：AB=AC: (2)如图2，作AE⊥BD于点E.设∠DAE=, ①用含代数式表示∠BAC; ②如图3，若BD经过圆心0，且tan&=方，求器的值， 18.如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD,连 接AD,CE是⊙O的切线，CE交DB的延长线于点E (1)求证：∠ABC=∠CAD; (2)求证：BE⊥CE: (3)若AC=4,BC=3, ①求BE的长： ②求sin∠BAD 19.如图，在图1中AB=AC=2,∠B=30°，OA⊥BC于点0 D 0 图1 图2 图3 初步探究：(1)求0A的长。 尝试提升：(2)以AC为边向上作等腰直角△ADC,∠CAD=90°，求线段BD的长， 拓展提升：(3)点E在过A,B,C的圆上，且位于直线BC的下方，试探究BE,AE,CE之 间的数量关系。 20.综合与探究 【问题情境】如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC,我们将圆中以A为公共点的三 条弦AB,AC,AD构成的图形称为“爪形A”,弦AB,AC,AD称为“爪形A”的爪. 【猜想证明】 (1)如图2，四边形ABCD内接于⊙O,AB=BC,连接BD ①试判断圆中是否存在“爪形D”,并说明理由. ②若∠ADC=120·,试猜想AD,CD,BD之间的数量关系，并说明理由. 【深入探究】 (2)如图3，若AD⊥DC,试猜想“爪形D"的爪AD,BD,CD之间的数量关系，并说明 理由. D D O D 的 B 图1 图2 图3 21.(1)【知识储备】如图1，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，则∠A+∠C=-°； (2)【初步探索】如图2，△ABP内接于⊙0，将△ABP绕点A顺时针旋转，得到 △ACD,并使点B的对应点C落在⊙O上，求证：点D、C、P在同一条直线上： (3)【类比迁移】如图3，等边△ABC内接于⊙O,点P是BC上任一点（不与B、C重合）.连 接PA,PB,PC,猜想PA,PB,PC的数量关系，并进行证明， D A o B B B 图1 图2 图3 参考答案 1.(1)证明：：C0平分∠ACD, ·.∠AC0=∠DC0=专ACD, :=, ∠ABD=∠ACD=2∠AC0, :A0=C0, .∠AC0=∠CA0, .∠C0B=∠AC0+∠CA0=2∠AC0, .∠ABD=∠COB, C0‖DE, CE⊥DE, .∠CED=90o, C0‖DE, ∠0CE=180°-∠CED=90°， .0C⊥CE, 0C为半径， CE是⊙O的切线； (2)解：：⊙0的半径为5， AB=2×5=10, =, ∴∠A=∠D, :sinA=sinD=, :AB为⊙O的直径， ∠ACB=90°， BC=AB×sinA=10×月=6， :∠ECB+∠BC0=∠BCO+∠AC0=90°， .∠ECB=∠AC0, :∠AC0=∠A, ∠ECB=∠A: ∴sin∠ECB=simA=, 即骺=， :BE=昌×6=号 2.(1)证明：：AD⊥BC,OF⊥OA, :∠DA0+∠A0D=90°，∠A0D+∠B0F=90°， ·∠DAO=∠BOF, :∠AOD=2∠ABC,∠F=2∠ABC ·∠AOD=∠F ·∠BOF+∠F=∠DA0十∠AOD=90°， :∠OBF=90°，即OB⊥BF, :0B是⊙0的半径， ·BF是⊙O的切线： (2)解：：AD⊥BC, :∠CAD+∠C=90°， :BC是⊙O的直径， :∠CAB=90°， :∠ABD+∠C=90°， ∠CAD=∠ABC, tan∠ABD=tan∠CAD=青， :tan∠ABD=0, …部=， 设AD=X,BD=3x,则OD=BD-OB=3x-OA, 在Rt△A0D中，AD2+0D2=0A2, 即x2+(3x-0A)2=0A2, 整理得2x(5x-30A)=0, :x≠0， .5x-30A=0, 0A=3x, 0B=x,0D=3x-x=等x, 由(1)知，∠A0D=∠F,∠DA0=∠B0F, ÷△AOD△OFB, x 器=品，即=家， 解得x=号， a0B=x=青×号=9， 即⊙0的半径为9. 3.(1)证明：：AP,BP分别切⊙0于A点，B点， :OP平分∠A0B, :∠A0P=∠A0B, 又：=， A∠ADB=3∠A0B, ·∠ADB=∠A0P. (2)解：延长A0交⊙0于点F,连接DF,则∠ADF=90·, E :AP,BP分别切⊙O于A点，B点， PA⊥OA, :C为OP的中点， :PC=OC, ·AC=0C=0P, 又：AP=8,tan∠A0P=2, &A0=mp=8V万， ∴0P=A02+AP2=V(82)2+82=85, :AC=0C=专0P=45,AF=2A0=162, AC=0C. ·∠CA0=∠A0C, 又：∠PA0=∠ADF=90°， ·△PAOM△FDA, …贸=器， DA-x5 CD=DA-AC-20 83 :∠AOP=∠ADB,∠ACO=∠ECD, :△AC0△ECD, “部=器， 哑 DB=5×8V5-9 4.(1)证明：：点D为AC的中点， =, ∠ABD=∠DBC .BD是∠ABC的角平分线， 又：DF⊥AB,DE⊥BE, ∴DE=DF (2)解：DE与⊙O相切.理由如下： 如答图所示，连接OD, B 答图 由(1)知∠EBD=∠OBD,OD=OB, .∠ODB=∠OBD ∠ODB=∠EBD. OD‖EB :∠DEB=90°， ∠0DE=90°. 又：0D是⊙0的半径， .DE与⊙0相切 (3)解：由(1)知DE=DF, DE=3. :.DF=DE=3. ∠ABD=30°， ∠D0A=2∠ABD=600. :0F=器0=1,0D==2. :图中阴影部分的面积为器-专×5×1=等-9 5.(1)解：连接0C, B E ◇ :CD是⊙O的切线， .OC⊥CD, :AD⊥CD, OCILAD, ∠DAC=∠AC0, 又∠DAC=33°， ∠AC0=33°， 0A=OC, .∠0AC=∠0CA=33o; (2)解：连接CE,CB,OC, ○ D 在Rt△ACD中，DC=1,AD=V2, ∴AC=VAD2+CD2=5, :四边形ABCE是⊙O的内接四边形， .∠ABC+∠AEC=180°， 又∠DEC+∠AEC=180°， ∠DEC=∠ABC, :AB为⊙0的直径， ∠ACB=90°， .∠CAB+∠ABC=90°， 又AD⊥CD, ∠ADC=90°， ∠DAC+∠ACD=90o, 又∠DAC=∠CAO, ∠ACD=∠ABC, .∠DEC=∠ACD, 又∠ADC=∠CDE, .△ACDM△CED, “能=器，即是=， :cB=9, :∠DAC=∠BAC, = C8=BC=9, ∴AB=Ac2+BC=5, 延长FB交DC于G, CD是⊙O的切线， .OC⊥CD, AD⊥CD, :OCIAD, BFILAD, :BFILAD IIOC, :器=器=1， :CG=CD=1, :∠BAC=∠CFG,∠ACB=∠FGC=90°， ·△BAC∽△CFG, “影=-器 .CF=3. 6,(1)解：如图，连接0A, D F G :PC为⊙0的直径，PC⊥AB,AB=12, :.AD=AB=6, :⊙0的半径为10， .0A=0C=10, 在Rt△0AD中，0D=V0A2-AD2=V102-62=8, .CD=0C-0D=2; (2)证明：如图，连接AC, F E =, ∠C=∠B, :PC⊥AB,AE⊥PB, ∠GDB=∠GFB=90o, ∠B=180°-∠DGF, ∠AGD=180°-∠DGF, .∠AGD=∠DGF=∠B=∠C, .AC=AG, :AD⊥CG, :.CD=GD; (3)解：当点P运动时，PG的长不改变， 作直径AH,连接PH,AP,BH,GB, G E D 在△ABP中，PD⊥AB,AF⊥PB, 点G为△ABP的垂心， .BG⊥AP, :AH为⊙O的直径， .∠APH=∠ABH=90o, .PHBG,PG‖BH, :.四边形PGBH为平行四边形， :PG=BH, 在Rt△ABH中，BH=NAH2-AB2=V202-12=16, :.PG=BH=16, 当点P运动时，PG的长不改变，PG的长为16 7.(1)解：：AD是⊙O的直径，AD⊥BC =. ·∠BAE=∠CAE (2)解：①设∠BAE=∠CAE=x,则∠BAC=2a, :0A=0B, ·∠BAE=∠AB0=Cx. ÷∠ACF=∠AB0=a. :FG‖AB, ÷∠AGF=∠BAC=2a. ·∠GFC=∠AGF-∠ACF=a :∠GFC=∠ACF, .FG=GC. ②连接AF, OG D 图2 :BF是⊙O的直径， ·∠BAF=90°. :FG‖AB, ·∠AFG=90o. AG=2GC,GF=GC …器=贵 .∠FAG=30°. .∠BAC=60°. :△ABC为等边三角形， ·AC=BC=6, (3)解：作FJ⊥AC于J,连接OJ,FJ,OF,作BI⊥AC于I.如图： B :AD是⊙O直径，AD⊥BC,BC=6, :BE=CE=BC=3,∠AEB=90°. :AB=5, AE=VAB2-BE=52-32=4. :专BC·AE=AC·BI,即号×6×4=青×5×BI, aB1=9 ARt△ABI中，tan∠BAH=器=音-等 :FGI‖AB, ·∠BAI=∠AGF Atan∠AGF=tan∠BAI=是=等 :当FJ最大时、GF最大 :0J+FJ≥0F, :当O、J、F三点共线时，OF⊥AC 此时OJ最小.FJ最大.GF也最大. A=AC=号 :tan∠CAB=是-是-别，即=寻。 …0j=号， 在Rt△A0J中，A0=VO+A=V(号)+()了=零 0F= F=0F-0j=習-9=， 品=，即部=等 4 GF= 8.(1)证明：连接0D,如图， 公 B δ :点D为BC的中点， OD⊥BC, :DF BC, OD⊥DF, :0D为⊙0的半径， DF是⊙O的切线： (2)证明：：点D为BC的中点， ∠BAD=∠CAD,， :∠BCD=∠BAD, ∠CAD=∠BCD, :CE平分∠ACB, ∠ECB=∠ECA, :∠DEC=∠ECA+∠CAD,∠DCE=∠ECB+∠BCD, ∠DEC=∠DCE, DE=DC; (3)解：连接BD,如图， 由(2)得DC=DE=5, :点D为BC的中点， :DB=DC=5, BC‖DF, .∠ABC=∠F,∠CBD=∠BDF, :∠ABC=∠ADC,∠CBD=∠CAD, ∠F=∠ADC,∠BDF=∠CAD, .△BDFM△CAD :BF:CD =BD:AC, 即3：5=5：AC, 解得，AC=要， 9.(1)证明：：BD平分∠CBA, ·∠CBD=∠DBA. :∠DAC与∠CBD都是CD所对的圆周角， ·∠DAC=∠CBD, ·∠DAC=∠DBA. (2)证明：“AB为⊙0的直径， ∠ADB=90°. :DE⊥AB于点E, ÷∠DEB=90°， :∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°， ·∠ADE=∠ABD=∠DAP, :PD=PA :∠DFA十∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°， ·∠PDF=∠PFD, ·PD=PF, :PA=PF,即P是AF的中点. (3):∠DAF=∠DBA,∠ADB=∠FDA=90°， ·△FDA△ADB, 品=器. :⊙0的半径为6， ÷AB=12, 鋁=贺=是=昌 在Rt△ABD中，tan∠ABD=噐=哥，即tan∠ABF=吾 10.(1)解：：AB是⊙0的直径， ·∠ACB=90°， '∠ABC=25°， ·∠BAC=65°， :四边形ABEC内接于⊙O, ÷∠BAC+∠CEB=180°， :∠CEB=115°； (2)解：△ADI是等腰三角形，理由如下： 如图，连接AI, D :点I为△ABC的内心， ÷AI平分∠BAC,CD平分∠ACB, ·∠BAI=∠CAI,∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°， :AB是⊙O的直径， ÷∠ADB=90°， ∠BAD=45°=∠ACD, :∠DAI=∠BAD+∠BAI,∠AID=∠ACD+∠CAI, ÷∠DAI=∠AID, :AD DI ·△ADI是等腰三角形： (3)解：如图，过点I作IF⊥AC,IP⊥BC,IQ⊥AB,垂足为F、P、Q, D B :点I为△ABC的内心， ·AI平分∠BAC,CD平分∠ACB, ÷IF=IQ,IF=IP, 在Rt△AFI和Rt△AQI中，AI=AI,IF=IQ, :Rt△AFI≌Rt△AQI(HL), :AF=AQ, 同理可证，CF=CP,BP=BQ, 由(2)可知，AD=DI=3V2, :∠ADB=90°，∠BAD=∠ABD=45°， AB=AD2+BD2=2AD=6. 在Rt△CFI中，∠FCI=45,CI=V2, aCP=号cI=1, ·△ABC的周长=AB十AC+BC =AB+AF+CF+BP+CP =AB+AQ+CF+BQ+CF =2AB +2CF =2×6+2×1 =14. 11.(1)如图①，：AD为BC边上的高， :AD⊥BC :AG为⊙0的直径， ∴=y ·设∠BAD=∠DAF=a,则∠B=90°-， :∠C=2∠BAD=2a, ·∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-(90°-)-2a=90°-&， ·∠BAC=90°-∠BAD D ① (2)①由(1)得∠BAC=∠B, ·AF=BE ·-=-,即AE=BF, :AE=BF. ②：AE=8, BF=AE=8. :OD⊥BF, :BD=DF=号BF=4, 如图②，连结0R,Rt△0DF中，0F2=0D2+DF2=0F2=(0F-DG)2+DF2, ② 0F2=(0F-2)2+42, 0F=5, .⊙0的半径为5. (3):AE=BF, ÷∠EFA=∠BAF, EFI AB, ·△CEF∽△CAB, 当△EFC与△ABD的面积之比为2时，可知S△EFC=S△4BF, …器-票=器=器-器， 设器=噩=k,得恶=尝， 则k=转 4k2-k-1=0. "k>0, :k=5+1 2 服= 12.(1)证明：如图，连接0D, G :BD=CD· ·∠DAB=∠CAD, :0A=0D, .∠DAB=∠ODA, :∠CAD=∠0DA, ÷OD‖AE, :DE⊥AC, OD⊥DE, :OD是⊙O的半径， :DE是⊙O的切线； (2)解：：器=号， =, :OD‖AE, .△OGD∽△EGA, …骆=器，即号=是 ·AE=3, 如图，连接BD, G B “DE⊥AE,AB是⊙O的直径， ÷∠AED=∠ADB=90°， :∠CAD=∠DAB, ·△AEDM△ADB, …器=器，即品=架， AD2=12,解得AD=2W3(负值已舍去)， 在Rt△ADB中，BD=-VAB2-AD2=V42-(25)=2, BD=AB, ·∠DAB=30°， :∠EAF=60°，∠D0B=60°， ÷∠F=30°， .0F=20D=2X2=4, :DF=V0F2-0D2=V42-22=23, :S阴影=S△DOF-S扇形D0B =号×2×23-9器 =2W5-等： (3)解：如图，连接BE,过点E作EM⊥AB于点M, E MO B 在Rt△AEM中，AM=AE=专×3=号， :EM=VAB2-AM=32-()7=9 :MB=AB-AM=4-号=， ÷BE=VEM2+MB2 ()+)-雨 13.(1)证明：⊙0是△ABC的外接圆， ∴∠ACE=∠ABE, AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB, .∠ACE=∠ADE; (2)解：①如图2，连接A0,C0, 图2 :0B=0C, .∠A0B=∠A0C, :A0=B0=C0, .∠OBA=∠OAB=∠OAC=∠OCA, ·∠OBA=∠OAB=∠BAC AC=AD .∠ACD=∠ADC, :∠ACE=∠ADE, :∠ECD=∠EDC=∠BEC, :∠BAC=∠BEC, .∠OBA=∠OAB=∠ECD=∠EDC, .△ABO△CDE, 器=器， AB=2CD, .B0=2EC, :BE=4EC, :BD经过圆心O, BD是⊙O的直径， ∠BCE=90°， :.CosBAC=COsBEC== ②如图3，延长AO交BC于点F, A B 图3 AF⊥BC, ∠AFB=90°，BF=CF, :O为BE的中点， :F0=专CE, 由(2)①可得B0=A0=2CE, 在Rt△BF0中，由勾股定理得：BF2=B02-F02=CE2, 在Rt△BFA中，由勾股定理得：BF2=AB2-AF2=9-空CE2, CE2=品， :cB=耍 (负根舍去)， A0=30 310 14.(1)证明：如图1，H是弦BC的中点， ·AD⊥BC, ·∠DEB=90°， ·∠OHB=∠DEB, OH‖AD, ·∠DAO=∠AOH, :∠DAO=∠OAN, .∠OAN=∠NOA, AN=ON; (2)证明：如图2，过点O作OP⊥AD,可证四边形OHEP是矩形， N 图1 则OH=EP, :点M是OA的中点， 在△OHM和△AEM中， I∠OMH=∠AME OM-AM 、∠OHM=∠AEM .△OHM兰△AEM(ASA), ·OH=AE :EP=AE, 即：AP=2AE=20H, :OP⊥AD, :AD =2AP, ·AD=2AP=2×20H=40H, ·AD=4OH; (3)如图3，延长FN交⊙O于点K,连接BK, D B 图2 :FK是⊙O的直径， :∠KBF=90°， :CG⊥BF, ·∠CGF=90°， ÷CGBK, :∠CON=∠OKB, 又：∠C0K=2∠CBK, ÷∠OKB=2∠CBK, 在Rt△HKB中，∠CBK+∠OKB=90°， ·∠CBK=30°， .∠C0K=2∠CBK=60o, CH 在Rt△OCH中， OC=sin60= =2 正 .⊙0的半径为2 15,(1)解：B0⊥CD,理由如下： 如下图，连接OD,BD, B E D :四边形ABCD内接于⊙O, ·∠BAD+∠BCD=180°， :∠BAE+∠BAD=180°， .∠BAE=∠BCD, :AB平分∠EAC, .∠BAE=∠BAC, .∠BCD=∠BAC, '∠BAC=∠BDC, .∠BDC=∠BCD, :BD=BC. 点B在线段CD的垂直平分线上， OD=0C :点O在线段CD的垂直平分线上， ∴BO垂直平分线段CD, ∴BO⊥CD; (2)解：连接OD,BD, :BE与⊙0相切， ∠ABE+∠AB0=90°， :AC为⊙O的直径， ∠ABC=90°， ∴∠BAC+∠ACB=90o, OB=0A, ∠ABO=∠BAC, ∠ABE=∠ACB, :∠ACB=∠BDE, ∴∠BDE=∠ABE, :∠E=∠E, △EBAM△EDB, :鄂=，∠DBE=∠BAE=∠BAC, :BE=4,AD=3AE,∠BAC+∠ACB=90°， :起=等，∠DBE+∠BDE=∠BAC+∠ACB=90, AE=2,AD=6,∠BED=90°， ∴AB=V42+22=25,BC=BD=VEB2+ED=V42+82=4V5, “Ac=AB2+BC=V(25)2+(45)2=10: .⊙0的半径为号AC=5, 16.(1)解：：AC是⊙0的直径， ÷∠ABC=90°. AB=BC, ∠BAC=∠ACB=(180°-90°)÷2=45°， ”=, :∠ADB=∠ACB=45°. (2)证明：如图1，连接0D, 图1 :AC是⊙O的直径， ∠ADC=90°，即∠AD0+∠0DC=90°， OC=OD, .∠ODC=∠ECD, 又：∠EDA=∠ECD, ∠EDA=∠ODC ∠AD0+∠EDA=90°，即∠ED0=90°， OD⊥DE, 又：OD是半径， 直线DE是⊙O的切线： (3)解：②正确，理由如下： 过点B作BG⊥BD交DC延长线于点G,如图2， -G 图2 ∠DBG=90o, :AC是⊙O的直径， ∠ABC=90°， ∠ABD+∠DBC=∠CBG+∠DBC=90°， ·.∠ABD=∠CBG, :四边形ABCD内接于⊙O, .∠BAD=∠BCG, AB=CB, :△ABD≌△CBG(ASA), :AD=CG,BD=BG, DG=CG+CD=AD+CD, ∠DBG=90°，BD=BG, .∠G=45o, 则DG=VBD2+BG2=V2BD, .AD+CD=2BD 17.(1)证明：：∠ADB=∠ACB,∠ADB=∠ABC .∠ACB=∠ABC ·AB=AC (2)①：AE⊥BD,∠DAE=C ÷∠ADE=90°-C ÷∠ABC=∠ACB=∠ADE=90o- ·∠BAC=180°-2(90°-a)=2&. ②连结OA,OC.延长AO交BC于点H, 图3 0A=0A,OB=OC,AB=AC ·△OAB兰△OAC(SSS) .∠BA0=∠CA0 :AH垂直平分BC :tanc=方 .设DE=a,则AE=2a :BD为直径， ∴∠BAD=90°， .∠ABD+∠ADE=90°， :AE⊥BD, ∠AED=90°， ∴∠DAE+∠ADE=90o ·∠ABD=∠EAD=C :tan∠ABD=tana=方-龍 ·BE=2AE=4a ·BD=BE+DE=5a 由勾股定理：AB=VAE2+BE2-V(2a)2+(4a)2=2V5a :A0=B0, .∠OAB=∠OBA, :sin∠0AB=sin∠0BA=器=是=5 25a 5； :Sn∠BAH=Sn∠BA0=器-号 8H=号A8=号×25a=2a BC=2BH=4a :BD为直径 ·∠DCB=90° 由勾股定理：CD=VBD2-BC2=V(5a)2-(4a)2=3a :∠AHB=∠BCD=90° AH DC ·△AOF∽△CDF …=器=2爱= 品=苦，器= :DF=年0D=品×a=盟a,0F=是0D=是×a=a :BF=0F+B0=3a+a=智a a 18.(1)证明：连接0C, AC=CD, .∠CAD=∠ADC, '∠ABC=∠ADC, .∠ABC=∠CAD; (2)证明：：CE与⊙O相切于点C, .∠0CE=90°， :四边形ADBC是圆内接四边形， .∠CAD+∠DBC=180°， :∠DBC+∠CBE=180°， ·∠CAD=∠CBE, :∠ABC=∠CAD, ·∠CBE=∠ABC, :0B=0C, :∠OCB=∠ABC, ·∠OCB=∠CBE, :OCBE, ÷∠E=180°-∠0CE=90°， :BE⊥CE; (3)解：①：AB为⊙O的直径， ·∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，AB=VAC2+BC=V42+32=5, 由于∠ACB=∠CEB, 由(2)知，∠ABC=∠CBE, :△ABC∽△CBE, ·骺=器，即是=寻， BE=胃 ②：AC=4 ·CD=AC=4 :∠CAB=∠CDE即∠CAB=∠EDC :∠ACB=∠DEC=90o ·△ABC∽△DCE …器=能，即=是， DE= :BD=DE-BE=曾-号=f :AB为⊙O的直径， ÷∠ADB=90°， 在Rt△ADB中，sin∠BAD=器=善=条： 19.(1)解：0A1BC, ∴∠A0B=90°， :∠AB0=30°，AB=2, 0A=克AB=1: (2)解：如图2，过点D作DN⊥BC于点N,交AC于点H,则∠CNH=90°， D H B 图2 AB=AC, .∠AB0=∠AC0=30°， :∠CAD=90°， ∴∠DAH=∠CNH=90o, '∠AHD=∠CHN, ∴△AHD△NHC, ∠ADH=∠HCN=30°， 在Rt△ADH中，AD=2, AH=专DH, AD2+AH2=DH2 22+(3DH)2=DH2 DH :AH=9, CH=2-9, 在Rt△CHN中，∠NCH=30o, 同理可得：CN=V5-1,NH=1-写， 由勾股定理得：0C=√AC2-0A2=√22_12=5， :AB=AC=2,OA⊥BC, :BC=20C=2V3, :BN=BC-CN=2W5-(V5-1)=V5+1,DN=NH+DH=5+1, :在Rt△BDN中，BD=VBN+Dm=V(5+1)+(5+1)=V6+E: (3)解：如图3，延长EB至F,使BF=CE,连接AF,过A作AN⊥EF于点N,则 ∠ANE=∠ANF=90°， D B 图3 :四边形ABEC是圆内接四边形， ∠ABE+∠ACE=180°， :∠ABE+∠ABF=180°， ∴∠ABF=∠ACE, AB=AC, .△ABF≌△ACE(SAS), :AF=AE, :NE=NF, :AB=AC,∠B=30°， ∠ACB=∠B=30°， ∴∠ACB=∠AEB=30°， ..AN=AE, AN2+NE2=AE2, :(3AE2)+NE2=AE2, NE=号AB, :.EF=2NE=3AE, EF=BE+BF=BE+CE=V3AE, .BE+CE=3AE. 20.解：(1)①存在. 理由：：AB=BC, =, :∠ADB=∠CDB, :DB平分圆周角∠ADC, ·圆中存在“爪形D”; ②AD+CD=BD· 理由：如图1，延长DC至点E,使得CE=AD,连接BE D -.E 图1 :∠A+∠DCB=180°，∠ECB+∠DCB=180°， ·∠A=∠ECB. CE=AD,AB=BC, ·△BAD≌△BCE(SAS), :∠E=∠ADB. :∠ADC=120°， :∠E=∠ADB=∠CDB=60°， ·△BDE是等边三角形， :DE=BD, ·AD+CD=CE+CD=BD: (2)AD+CD=V2 BD 理由：如图2，延长DC至点E,使得CE=AD,连接BB D E ⊙ 图2 :∠A+DCB=180°，∠ECB+∠DCB=180°， ·∠A=∠ECB :圆中存在“爪形D”,且AD⊥DC, :∠ADB=∠CDB=克∠ADC=45°， :AB=BC. CE=AD, ·△BAD≌△BCE(SAS), :∠E=∠ADB=∠CDB=45°，BD=BE, ·△BDE为等腰直角三角形， :DE=V2BD. :AD+CD=2BD 21.(1)解：“四边形ABCD是⊙0的内接四边形， .∠A+∠C=180°， 故答案为：180： (2)证明：如图，连接CP, 图2 :将△ABP绕点A顺时针旋转，得到△ACD, ∠ABP=∠ACD, :四边形ABPC是⊙O的内接四边形， ∠ACP+∠ABP=180°， ∠ACP+∠ACD=180°， 点D、C、P在同一条直线上： (3)解：PA=PB+PC, 证明：如图，在PA上截取PN=PB, :△ABC是等边三角形， ∴BA=BC,∠BAC=∠ACN=60°， ∴∠APB=∠ACB=60°，∠PAB=∠PCB,即∠BAN=∠BCP, ∴.△PBN是等边三角形， BN=BP=PN,∠BNP=60o, ∠BNA+∠BNP=180o, .∠BNA=120°， :四边形ABPC是⊙O的内接四边形， ∴∠BAC+∠BPC=180°， ∠BNA=∠BPC=120°， 在△BNA和△BPC中， I∠BNA=∠BPC ∠BAN=∠BCP BA=BC △BNA≌△BPC(AAS), NA=PC, ∵PA=PN+NA, :PA=PB+PC.