4.3.1一元线性回归模型期末基础巩固训练九（答案及解析）-2025-2026学年高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章）

**基本信息** 聚焦一元线性回归模型核心概念与应用，通过辨析与计算结合的题型设计，强化数据观念与模型观念，构建从概念理解到实际应用的逻辑链条。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|6题（选择填空）|考查相关系数意义、回归直线性质、残差分析等核心概念的正误判断|从样本相关系数到回归方程构建，形成“概念生成-性质理解-误差分析”的逻辑链| |应用计算|2题（解答题）|结合实际情境（碳排放、销售额），要求计算相关系数、回归方程并预测|以数据处理为载体，体现“数据收集-模型拟合-预测推断”的应用拓展，培养应用意识|

高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章) 4.3.1一元线性回归模型期末基础巩固训练（九) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下列有关回归分析的说法正确的是( A.样本相关系数r越大，则两变量的相关性就越强 B.回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 C.回归直线方程不一定过样本中心点（区，y) D.回归分析中，样本相关系数r<0,则两变量是负相关关系 【答案】D 【解析】解：两变量的相关性越强，则相关系数r越接近1或-1，可知A不正确： 由回归直线是基于样本数据使残差平方和最小的拟合直线，可判断B不正确： 由回归直线方程一定过样本中心点（区，y),可知C不正确： 由当相关系数r>0时两个变量正相关，r<0时两个变量负相关，可得D正确！ 故选：D 根据线性回归直线的性质可判断选项B,C:根据相关系数的性质可判断A,D,进而可 得正确选项 本题考查了线性回归直线和相关系数的性质，属于基础题： 第1页，共10页 2某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销 售量y(单位：t)的影响，对近6年的年宣传费x和年销售量y:=1,2,6)进行整理，得数 据如下表： 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10 根据上表数据，下列函数中， 适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是 ( ) A.y=0.5(x+1) B.y=1og2x+1.5 C.y=2x-1 D.y=2vx 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查线性回归方程，属于一般题， 根据表中数据，当自变量增加一个单位长度时，函数值依次增加0.55,0.4,0.16， 0.14,0.2,可排除A、C,将x=1,4代入D的函数解析式，可排除D.从而得到答案 【解答】 解：由题表知，当自变量增加一个单位长度时，函数值依次增加0.55,0.4,0.16， 0.14,0.2,因此A、C不符合题意：当x取1,4时，y=2x的值分别为2,4，与表中 数据相差较大，因此D不符合题意. 故选B. 3.已知具有线性相关关系的两个变量x,y之间的一组数据如表： X 0 1 2 3 4 y 2.2 n 4.5 4.8 6.7 若回归方程是-0.95x+2.6,则下列说法不正确的是( A.n的值是4.3 B.变量x,y呈正相关关系 C.若x=6,则y的值一定是8.3 D.若x的值增加1，则y的值约增加0.95 【答案】C 【解析】【分析】 第2页，共10页 本题考查回归方程的应用，属于基础题. 根据回归方程及表格数据即可逐项说明正误， 【解答】解：根据表格中数据可求得文=41+23=2， 5 因为回归方程是=0.95x+2.6, 所以=0.95×2+2.6=4.5， 又因为5=22m4548+6?=45, 解得n=4.3,故A选项正确： 根据表格中x与y的对应数据，可以看出变量x与变量y呈正相关关系，故B选项正 确； 若x=6,则可得到变量y的预估值大约为的=0.95×6+2.6=8.3， 而不是说y的值一定是8.3，故选项C不正确； 因为回归方程是=0.95x+2.6, 所以每当x的值增加1时，y的值大约就增加0.95，故D选项正确. 故选C 4.下列四个结论： ①在回归模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好， ②某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽 取20名进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样： ③线性相关系数r的取值范围为[一1,1]，越大，两个变量的线性相关程度越低； ④在线性回归方程形=0.5x+2中，解释变量x每增加1个单位，预报变量增加0.5个单 位. 其中正确的结论是( A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了残差”和相关系数，考查了回归方程，属于基础题 根据回归分析的知识，对4个选项分别进行判断，即可得出正确的结论. 第3页，共10页 【解答】 解：残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以①错误； 总体由差异明显的几部分组成，选用分层抽样法进行抽样，所以②正确： 越大，两个变量的线性相关程度越高，所以③错误， 因为回归直线的斜率为0.5，所以解释变量x每增加1个单位，预报变量增加0.5个单 位，所以④正确。 综上，②④正确. 故选：D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.某电子商务平台每年都会举行年货节商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年 到2020年共9年年货节期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成年 份序号x(2012年作为第1年)的函数.运用Excl软件，分别选择回归直线和三次函数回 归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的是( y(亿元) 2500 2000 0.168r+28.141x-29.027x+6.889 R=0.999 ● 1500 ·亿元) 1000 y=267x-544.22 R=0.936 …线性6亿元) 500 多项式（亿元）) 0 10 0 10 A.销售额y与年份序号x呈正相关关系 B.销售额y与年份序号x线性相关显著 C.三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果 D.根据三次函数回归曲线可以预测2021年年货节期间的销售额约为8454亿元 【答案】ABC 【解析】【分析】 本题考查了散点图、相关系数及线性回归方程的应用，属于中档题， 利用散点图的形状即可判断A；利用相关系数即可判断B,C；利用三次函数回归模型， 第4页，共10页 将x=10代入，即可判断D. 【解答】 解：对于A,根据图象可知，散点从左下到右上分布，销售额y与年份序号x呈正相关 关系，故A正确： 对于B,因为相关系数0.936>0.75，靠近1，销售额y与年份序号x线性相关显著，故 B正确： 对于C,根据三次函数回归曲线的相关指数0.999>0.936，相关指数越大，拟合效果越 好， 所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，故C正确； 对于D,由三次函数y=0.168x3+28.141x2-29.027x+6.889, 当x=10时，y≈2698.719亿元，故D错误. 故选ABC. 6.下列说法中正确的是( A.公式S=4πR2中的S和R不具有线性相关关系 B.己知变量X,Y的n对数据为区1，y),(2,y2),,(,y),则回归直线Y=bX+a可 以不经过点区，)，其中x=x1+x3+…+x,y=y1+y+…+y) C.若相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D.对于变量A与B的统计量X来说，X越大，判断A与B有关系的把握越大 【答案】ACD 【解析】解：对于A,公式S=4πR2中的S和R为二次函数关系，故不具有线性相关关 系，故A正确： 对于B,回归直线Y=bX+a一定经过样本中心点，故B错误： 对于C,若相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故C正确： 对于D,对于变量A与B的统计量X来说，X越大，判断A与B有关系的把握越大， 故D正确. 故选：ACD 根据线性相关的定义进行判断A;由回归直线Y=bX+a一定经过样本中心点判定B:由 第5页，共10页 相关系数的性质判断C:根据x的定义判断D正确， 本题考查线性回归方程及其应用，考查统计的有关概念，是基础题. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.下列说法中错误的有· (1).残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高， (2)两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好； (3).设随机变量X服从正态分布N0,1),若P(x>1)=p,则P(-1<X<0)=号-p (4).根据下表提供的数据，线性回归方程为分=0.7x+0.35,那么表中t=3.15 3 4 6 y 2.4 3.8 4.6 【答案】(1)4 【解析】【分析】 本题考查残差及正态分布以及回归直线方程，属于基础题 (1)由残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低可判断： (2)两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；(3)由正态分布的性质即可判断； (4)由回归直线方程可判断. 【解答】 解：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故(1)错 误： 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故(2)正确： 设随机变量X服从正态分布N(O,1),若P(x>1)=卫，则P(-1<X<0)=-p,故3)正 确； (4)由题意可得x=45+6=4,5,了=24+8+46=108， 4 4 4 则04=0.7×45+0.35， 解得t=3.2,与t=3.15矛盾， 故（④）错误. 故答案为(1)4) 第6页，共10页 8以下结论正确的是 (1)根据2×2列联表中的数据计算得出K2≥6.635，而PK2≥6.635)≈0.01，则有99% 的把握认为两个分类变量有关系： (2)在线性回归分析中，相关系数为1，越接近于1，相关程度越大：越小，相关程度 越小 (3)在回归分析中，回归直线方程=6x+过点A(区，， (4)在回归直线=0.5x-85中，变量x=200时，变量y的值一定是15. 【答案】(1)2)3) 【解析】【分析】 本题考查的知识点是独立性检验与相关系数，线性回归分析的一些性质，属于基础题， 根据独立性检验，线性回归分析的性质对四个答案进行分析，即可得到结论. 【解答】 解：(1)由独立性检验的方法，我们可得：当K2≥6.635，而P(K2≥6.635)≈0.01，则有 99%的把握认为两个分类变量有关系，故(1)正确： (2)根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为，越接近于 1,相关程度越大；越小，相关程度越小，故(2)正确 (3)在回归分析中，回归直线方程=x+a过点A(区，)是线性回归中最重要的性质，(3)正 确： (4)在回归直线)=0.5x-85中，变量x=200时，变量y的值大约是15，这是一个估算 值，故(4)错误. 故答案为(1)2)3). 第7页，共10页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 某地区为响应节能减排，低碳生活”的号召，开展一系列的措施控制碳排放.环保部门收 集到近5年内新增碳排放数量，如下表所示，其中x为年份代号，y(单位：万吨)代表新 增碳排放量. 年份 20202021202220232024 年份代号x 2 3 4 5 新增碳排放量y/万吨6.1 5.24.9 3.8 (1)请计算相关系数，并推断x与y之间是否具有较强的线性相关性？（若>0.75，则可 以认为x,y之间线性相关程度较高)； (2)求y关于x的线性回归方程，并据此估计该地区2025年的新增碳排放量. 【答案】(1)依题意，r= 是1X-n两 5-xxi187-x4。≈-0.9804，所以线 66.2-5×3×4.8 √21-a1y-呵 性相关程度较高。 (2)a=盟⅓-啊】 吧1- =-0.58,6=y-飯=6.54，所以y=-0.58x+6.54.当x=6时，y=- 0.58×6+6.54=3.06万吨. 第8页，共10页 10.(本小题14分) 某消费品企业销售部对去年各销售地的居民年收入（即此地所有居民在一年内的收入的总 和)及其产品销售额进行抽样分析，收集数据整理如下： 销售地 A & C D 年收入x(亿元) 15 20 35 50 销售额y(万元) 16 20 40 48 (1)在图中作出这些数据的散点图，并指出y与x成正相关还是负相关？ 501 40 30 20 10 0 1020304050x (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=bx+a; (3)若B地今年的居民年收入将增长20%，预测B地今年的销售额y将达到多少万元？ 参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：6=器-阿，合=了-饭参考数据： 1x-nx2 15×16+20×20+35×40+50×48=4440,152+202+352+502=4350. 【答案】解：(I)散点图如下，y与x成正相关 0: 40 30 20 。。。 10 010200400 (②)由表中提供的数据，得=15+20+35450=30，了=16+2040+48=31. 4 4 ∑1xy:=15×16+20×20+35×40+50×48=4440, ∑1x2,=152+202+352+502=4350, 第9页，共10页 6=婴4=404x30x31=0.96, 1-4坛 4350-4×302 a=-bx=31-0.96×30=2.2 故y关于x的线性回归方程=0.96x+2.2; (3)当x=20×120%=24时，)=0.96×24+2.2=25.24，预测B地今年的销售额，将达 到25.24万元. 【解析】本题考查利用散点图判断两个变量的相关性，考查利用最小二乘法求线性回归 方程及其初步应用，属中档题 (I)作出散点图，易知y与x成正相关 (2)由表中提供的数据，得x,,1xy,1x,6=0.96,合=2.2写出y关于x的线性 回归方程； (3)将x=20×120%=24代入所求回归方程得到B地今年的销售额预测值 第10页，共10页 高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章）4.3.1一元线性回归模型期末基础巩固训练（九） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列有关回归分析的说法正确的是(     ) A. 样本相关系数越大，则两变量的相关性就越强 B. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 C. 回归直线方程不一定过样本中心点 D. 回归分析中，样本相关系数，则两变量是负相关关系 2.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：万元对年销售量单位：的影响，对近年的年宣传费和年销售量进行整理，得数据如下表： 根据上表数据，下列函数中，适宜作为年销售量关于年宣传费的拟合函数的是(     ) A.   B. C. D. 3.已知具有线性相关关系的两个变量，之间的一组数据如表：                           若回归方程是，则下列说法不正确的是 A. 的值是 B. 变量，呈正相关关系 C. 若，则的值一定是 D. 若的值增加，则的值约增加 4.下列四个结论： 在回归模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好 某学校有男教师名、女教师名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽取名进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样 线性相关系数的取值范围为，越大，两个变量的线性相关程度越低 在线性回归方程中，解释变量每增加个单位，预报变量增加个单位． 其中正确的结论是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从年到年共年“年货节”期间的销售额单位：亿元并作出散点图，将销售额看成年份序号年作为第年的函数．运用软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的是(     ) A. 销售额与年份序号呈正相关关系 B. 销售额与年份序号线性相关显著 C. 三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果 D. 根据三次函数回归曲线可以预测年“年货节”期间的销售额约为亿元 6.下列说法中正确的是(     ) A. 公式中的和不具有线性相关关系 B. 已知变量，的对数据为，，，，则回归直线可以不经过点，其中 C. 若相关系数的绝对值越接近，则两个变量的线性相关性越强 D. 对于变量与的统计量来说，越大，判断“与有关系”的把握越大 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.下列说法中错误的有           ． 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 设随机变量服从正态分布，若，则 根据下表提供的数据，线性回归方程为，那么表中 8.以下结论正确的是           ． 根据列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系 在线性回归分析中，相关系数为，越接近于，相关程度越大；越小，相关程度越小 在回归分析中，回归直线方程过点 在回归直线中，变量时，变量的值一定是． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某地区为响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展一系列的措施控制碳排放环保部门收集到近年内新增碳排放数量，如下表所示，其中为年份代号，单位：万吨代表新增碳排放量． 年份 年份代号 新增碳排放量万吨 请计算相关系数，并推断与之间是否具有较强的线性相关性若，则可以认为，之间线性相关程度较高 求关于的线性回归方程，并据此估计该地区年的新增碳排放量． 10.本小题分 某消费品企业销售部对去年各销售地的居民年收入即此地所有居民在一年内的收入的总和及其产品销售额进行抽样分析，收集数据整理如下： 销售地 年收入亿元 销售额万元 在图中作出这些数据的散点图，并指出与成正相关还是负相关？ 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； 若地今年的居民年收入将增长，预测地今年的销售额将达到多少万元？ 参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：，参考数据：，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章) 4.3.1一元线性回归模型期末基础巩固训练（九) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下列有关回归分析的说法正确的是( A.样本相关系数越大，则两变量的相关性就越强 B.回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 C.回归直线方程不一定过样本中心点x,y) D.回归分析中，样本相关系数r<0,则两变量是负相关关系 2.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销 售量y(单位：t)的影响，对近6年的年宣传费x:和年销售量y:(i=1,2,6)进行整理，得数 据如下表： 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10 根据上表数据，下列函数中，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是 A.y=0.5(x+1) B.y=log2x+1.5 C.y=2x-1 D.y=2vx 第1页，共5页 3.已知具有线性相关关系的两个变量x,y之间的一组数据如表： X 0 1 2 3 4 y 2.2 n 4.5 4.8 6.7 若回归方程是-0.95x+2.6,则下列说法不正确的是( A.n的值是4.3 B.变量x,y呈正相关关系 C.若x=6,则y的值一定是8.3 D.若x的值增加1，则y的值约增加0.95 4.下列四个结论： ①在回归模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好； ②某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽 取20名进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样： ③线性相关系数r的取值范围为[-1,1]，r越大，两个变量的线性相关程度越低， ④在线性回归方程)=0.5x+2中，解释变量x每增加1个单位，预报变量增加0.5个单 位. 其中正确的结论是( ) A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.某电子商务平台每年都会举行年货节商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年 到2020年共9年年货节期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成年份 序号x(2012年作为第1年)的函数.运用Excl软件，分别选择回归直线和三次函数回归 曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的是( y(亿元) 25004 ● 2000 0.168x+28.141x=29.027x+6.889 R=0.999 1500 y=267x-544.22 ·亿元) 1000 R=0.936 -.线性6（亿元）) 500 多项式（亿元）) 第2页，共5页 A.销售额y与年份序号x呈正相关关系 B.销售额y与年份序号x线性相关显著 C.三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果 D.根据三次函数回归曲线可以预测2021年年货节”期间的销售额约为8454亿元 6.下列说法中正确的是( A.公式S=4πR中的S和R不具有线性相关关系 B.已知变量X,Y的n对数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(x,yn),则回归直线Y=bX+a可以 不经过点区，刃，其中x=x+x+…+xy=+y+…+y》 C.若相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D.对于变量A与B的统计量X来说，X越大，判断A与B有关系的把握越大 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.下列说法中错误的有 (1).残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高， (2).两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好； (3).设随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(x>1)=p,则P(-1<X<0)=,-p, (4).根据下表提供的数据，线性回归方程为)=0.7x+0.35,那么表中t=3.15 3 4 5 6 2.4 t 3.8 4.6 8.以下结论正确的是 (1)根据2×2列联表中的数据计算得出K2≥6.635，而P(K2≥6.635)≈0.01，则有99%的 把握认为两个分类变量有关系； (2)在线性回归分析中，相关系数为r,r越接近于1，相关程度越大：越小，相关程度 越小； (3)在回归分析中，回归直线方程)=bx+a过点Ac,习)： (4)在回归直线)=0.5x-85中，变量x=200时，变量y的值一定是15. 第3页，共5页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 某地区为响应节能减排，低碳生活”的号召，开展一系列的措施控制碳排放.环保部门收 集到近5年内新增碳排放数量，如下表所示，其中x为年份代号，y(单位：万吨)代表新增 碳排放量. 年份 20202021202220232024 年份代号x 1 2 3 4 5 新增碳排放量y/万吨6.1 5.2 4.9 3.8 (1)请计算相关系数r,并推断x与y之间是否具有较强的线性相关性？（若r>0.75,则可以 认为x,y之间线性相关程度较高)， (2)求y关于x的线性回归方程，并据此估计该地区2025年的新增碳排放量. 第4页，共5页 10.(本小题14分) 某消费品企业销售部对去年各销售地的居民年收入（即此地所有居民在一年内的收入的总 和)及其产品销售额进行抽样分析，收集数据整理如下： 销售地 B CD 年收入x(亿元)15 20 35 50 销售额y(万元16 20 40 48 (1)在图中作出这些数据的散点图，并指出y与x成正相关还是负相关？ y 501 40 30 20 10 0 1020 304050x (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程)=bx+a: (3)若B地今年的居民年收入将增长20%，预测B地今年的销售额y将达到多少万元？ 参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：=可 购环 a=夕-bx.参考数 据：15×16+20×20+35×40+50×48=4440,152+202+352+502=4350， 第5页，共5页 高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章）4.3.1一元线性回归模型期末基础巩固训练（九） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列有关回归分析的说法正确的是(     ) A. 样本相关系数越大，则两变量的相关性就越强 B. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 C. 回归直线方程不一定过样本中心点 D. 回归分析中，样本相关系数，则两变量是负相关关系 【答案】D  【解析】解：两变量的相关性越强，则相关系数越接近或，可知不正确； 由回归直线是基于样本数据使残差平方和最小的拟合直线，可判断不正确； 由回归直线方程一定过样本中心点，可知不正确； 由当相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关，可得D正确． 故选：． 根据线性回归直线的性质可判断选项B，；根据相关系数的性质可判断，，进而可得正确选项． 本题考查了线性回归直线和相关系数的性质，属于基础题． 2.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：万元对年销售量单位：的影响，对近年的年宣传费和年销售量进行整理，得数据如下表： 根据上表数据，下列函数中，适宜作为年销售量关于年宣传费的拟合函数的是(     ) A.   B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查线性回归方程，属于一般题． 根据表中数据，当自变量增加一个单位长度时，函数值依次增加，，，，，可排除、，将，代入的函数解析式，可排除从而得到答案． 【解答】 解：由题表知，当自变量增加一个单位长度时，函数值依次增加，，，，，因此、不符合题意；当取，时，的值分别为，，与表中数据相差较大，因此不符合题意． 故选B． 3.已知具有线性相关关系的两个变量，之间的一组数据如表：                           若回归方程是，则下列说法不正确的是 A. 的值是 B. 变量，呈正相关关系 C. 若，则的值一定是 D. 若的值增加，则的值约增加 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查回归方程的应用，属于基础题． 根据回归方程及表格数据即可逐项说明正误． 【解答】解：根据表格中数据可求得 ， 因为回归方程是， 所以， 又因为， 解得 ，故A选项正确； 根据表格中与的对应数据，可以看出变量与变量呈正相关关系，故B选项正确； 若，则可得到变量的预估值大约为， 而不是说的值一定是，故选项C不正确； 因为回归方程是， 所以每当的值增加时，的值大约就增加，故D选项正确． 故选C． 4.下列四个结论： 在回归模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好 某学校有男教师名、女教师名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽取名进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样 线性相关系数的取值范围为，越大，两个变量的线性相关程度越低 在线性回归方程中，解释变量每增加个单位，预报变量增加个单位． 其中正确的结论是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了“残差”和相关系数，考查了回归方程，属于基础题． 根据回归分析的知识，对个选项分别进行判断，即可得出正确的结论． 【解答】 解：残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以错误 总体由差异明显的几部分组成，选用分层抽样法进行抽样，所以正确 越大，两个变量的线性相关程度越高，所以错误 因为回归直线的斜率为，所以解释变量每增加个单位，预报变量增加个单位，所以正确． 综上，正确． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从年到年共年“年货节”期间的销售额单位：亿元并作出散点图，将销售额看成年份序号年作为第年的函数．运用软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的是(     ) A. 销售额与年份序号呈正相关关系 B. 销售额与年份序号线性相关显著 C. 三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果 D. 根据三次函数回归曲线可以预测年“年货节”期间的销售额约为亿元 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查了散点图、相关系数及线性回归方程的应用，属于中档题． 利用散点图的形状即可判断；利用相关系数即可判断，；利用三次函数回归模型，将代入，即可判断． 【解答】 解：对于，根据图象可知，散点从左下到右上分布，销售额与年份序号呈正相关关系，故A正确； 对于，因为相关系数，靠近，销售额与年份序号线性相关显著，故B正确； 对于，根据三次函数回归曲线的相关指数，相关指数越大，拟合效果越好， 所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，故C正确； 对于，由三次函数， 当时，亿元，故D错误． 故选ABC． 6.下列说法中正确的是(     ) A. 公式中的和不具有线性相关关系 B. 已知变量，的对数据为，，，，则回归直线可以不经过点，其中 C. 若相关系数的绝对值越接近，则两个变量的线性相关性越强 D. 对于变量与的统计量来说，越大，判断“与有关系”的把握越大 【答案】ACD  【解析】解：对于，公式中的和为二次函数关系，故不具有线性相关关系，故A正确； 对于，回归直线一定经过样本中心点，故B错误； 对于，若相关系数的绝对值越接近，则两个变量的线性相关性越强，故C正确； 对于，对于变量与的统计量来说，越大，判断“与有关系”的把握越大，故D正确． 故选：． 根据线性相关的定义进行判断；由回归直线一定经过样本中心点判定；由相关系数的性质判断；根据的定义判断D正确． 本题考查线性回归方程及其应用，考查统计的有关概念，是基础题． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.下列说法中错误的有          ． 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 设随机变量服从正态分布，若，则 根据下表提供的数据，线性回归方程为，那么表中 【答案】  【解析】【分析】 本题考查残差及正态分布以及回归直线方程，属于基础题． 由残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低可判断； 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；由正态分布的性质即可判断；由回归直线方程可判断． 【解答】 解：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故错误； 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故正确； 设随机变量服从正态分布，若，则，故正确； 由题意可得，， 则， 解得，与矛盾， 故错误． 故答案为． 8.以下结论正确的是______． 根据列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系 在线性回归分析中，相关系数为，越接近于，相关程度越大；越小，相关程度越小 在回归分析中，回归直线方程过点 在回归直线中，变量时，变量的值一定是． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查的知识点是独立性检验与相关系数，线性回归分析的一些性质，属于基础题． 根据独立性检验，线性回归分析的性质对四个答案进行分析，即可得到结论． 【解答】 解：由独立性检验的方法，我们可得：当，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，故正确； 根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为，越接近于，相关程度越大；越小，相关程度越小，故正确； 在回归分析中，回归直线方程过点是线性回归中最重要的性质，正确； 在回归直线中，变量时，变量的值大约是，这是一个估算值，故错误． 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 某地区为响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展一系列的措施控制碳排放环保部门收集到近年内新增碳排放数量，如下表所示，其中为年份代号，单位：万吨代表新增碳排放量． 年份 年份代号 新增碳排放量万吨 请计算相关系数，并推断与之间是否具有较强的线性相关性若，则可以认为，之间线性相关程度较高 求关于的线性回归方程，并据此估计该地区年的新增碳排放量． 【答案】依题意，，所以线性相关程度较高． ，，所以当时，万吨． 10.本小题分 某消费品企业销售部对去年各销售地的居民年收入即此地所有居民在一年内的收入的总和及其产品销售额进行抽样分析，收集数据整理如下： 销售地 年收入亿元 销售额万元 在图中作出这些数据的散点图，并指出与成正相关还是负相关？ 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； 若地今年的居民年收入将增长，预测地今年的销售额将达到多少万元？ 参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：，参考数据：，． 【答案】解：散点图如下，与成正相关   由表中提供的数据，得． ， ， ， 故关于的线性回归方程； 当时，，预测地今年的销售额，将达到万元．  【解析】本题考查利用散点图判断两个变量的相关性，考查利用最小二乘法求线性回归方程及其初步应用，属中档题． 作出散点图，易知与成正相关  由表中提供的数据，得，，，，写出关于的线性回归方程； 将代入所求回归方程得到地今年的销售额预测值 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $