4.2.5正态分布期末基础巩固训练八--2025-2026学年高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第三章）

**基本信息** 聚焦正态分布核心概念与应用，通过选择、填空、解答题系统覆盖参数理解、概率计算及实际问题，强化数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解与性质应用|6题（单选1-2、多选5-6、填空7-8）|考查μ/σ²意义、3σ原则及概率关系推导|从参数定义到性质应用，构建“概念-公式-辨析”逻辑链| |图像分析|1题（单选3）|对比两正态分布密度曲线特征|通过图像直观理解μ（位置）、σ（形状）的几何意义| |实际应用|3题（单选4、解答9-10）|结合成绩/质量分布计算概率及样本量|从数学模型到现实情境，体现“模型观念”与数据应用能力|

高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章）4.2.5正态分布期末基础巩固训练（八） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知随机变量，若，则(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题． 由已知求得，再由正态分布曲线的对称性得答案． 【解答】 解：随机变量 ， 正态分布曲线的对称轴为， 由，得， ， 2.已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩单位：分服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了正态分布的性质及应用，属于基础题． 根据题意得到，再根据正态分布密度曲线的对称性即可求解． 【解答】 解：因为，所以又， 所以，由正态分布密度曲线的对称性可得． 3.设随机变量X~N(,),Y~N(,),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是(     ) A. > B. < C. P(X34)< P(Y34) D. P(X38)< P(Y38) 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查正态分布及其密度曲线，属于基础题. 根据正态分布的性质对各项逐一分析，即可得出结论. 【解答】 解:由正态分布密度曲线的性质可知，，的密度曲线分别关于直线，对称， 因此结合题中所给图象可得，，则， 根据正态曲线的性质,越大图象越矮胖,所以，所以A、B错误； 由曲线X的对称轴为x=,曲线Y的对称轴为x=,可知>. ,故C错误；D正确. 4.某种包装的大米质量单位：服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米袋，则大米质量在以上的袋数大约为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解． 本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题． 【解答】 解：大米质量单位：服从正态分布，， ， 某公司购买该种包装的大米袋， 则大米质量在以上的袋数大约为． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是(     ) A. ， B. 随机变量满足，则 C. D. 若，则 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题主要考查正态分布的定义和对称性，属于基础题． 根据已知条件，结合正态分布的定义和对称性，即可求解． 【解答】 解：随机变量服从正态分布， ，的方差，故A正确， 随机变量满足，则，故B错误，曲线关于对称，，故C正确， ，， ，故D正确． 6.下列结论正确的有(     ) A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则 C. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D. 如果随机变量服从，且，那么是上的增函数 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查正态分布、二项分布方差的求解、相关系数的性质，属于基础题． 根据正态分布的概率求解、二项分布的方差、相关系数的性质对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择． 【解答】 解：对：，故正确； 对：，所以，故错误； 对：样本相关系数的范围在和之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近，两个变量的线性相关性越强； 反之，线性相关性越弱，故错误； 对：由正态曲线的性质可知，是上的增函数，故正确； 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知随机变量服从正态分布，若， 则__． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查正态曲线及其性质，正态分布的概率计算，属于基础题． 由已知求得，再由正态分布曲线的对称性求得，且，即可得解． 【解答】 解：随机变量服从正态分布， ， ， ， 则． 8.已知随机变量，且，则的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查正态曲线及其性质，属于基础题． 根据对称性的得到即可求解． 【解答】 解：随机变量服从正态分布，故曲线关于对称， 即， ． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布已知成绩在分以上含分的学生有名． 试问此次参赛的学生总数约为多少人？ 若该校计划奖励竞赛成绩在分以上含分的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？ 附：，，． 【答案】解：设参赛学生的成绩为，因为，所以，，则： ， 人． 因此，此次参赛学生的总数约为人． 由 ， 得． 因此，此次竞赛获奖励的学生约为人．  【解析】本题考查了正态分布的性质及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题． 由题意首先确定正态分布中，的值，然后结合正态分布的性质求解参赛人数即可； 利用的结论结合正态分布图象的对称性即可确定需要奖励的学生人数． 10.本小题分 语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图： 如果成绩大于等于分的为特别优秀，这名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？ 根据频率分布直方图，估计这名学生数学成绩的平均分．注：若，则；；． 【答案】解：语文成绩服从正态分布， 语文成绩特别优秀的概率为， 数学成绩特别优秀的概率为， 语文特别优秀的同学有人， 数学特别优秀的同学有人．           数学成绩的平均分为 分 估计这名学生数学成绩的平均分为分．  【解析】本题考查正态分布及频率分布直方图的应用，属中档题． 本小题考查正态分布的性质及概率的计算，首先根据正态分布的性质求出满足条件的概率，从而求出大约的人数． 本小题考查频率分布直方图的应用，根据频率分布直方图直接求出所求的平均分即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章) 4.2.5正态分布期末基础巩固训练（八) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知随机变量X~N(2,62)c>0),若P(X<4)=0.7,则P(X<0)=( A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.7 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和σ的应 用，考查曲线的对称性，属于基础题. 由已知求得P(X>4),再由正态分布曲线的对称性得答案. 【解答】 解：随机变量X~N(2,o2(σ>0)， .正态分布曲线的对称轴为x=2, 由P(X<4)=0.7,得PX>4)=1-0.7=0.3, PX<0)=P(X>4)=0.3, 2.已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X(单位：分)服从正态分布N(105,σ2)， 且P(X<120)=0.8,从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间(90,105)内的概率为 ) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 第1页，共7页 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了正态分布的性质及应用，属于基础题， 根据题意得到P(105<X<120)=0.3,再根据正态分布密度曲线的对称性即可求解. 【解答】 解：因为XN(105,σ2)，所以PX<105)=0.5.又PX<120)=0.8, 所以P(105<X<120)=0.3,由正态分布密度曲线的对称性可得P(90<X<105)=0.3. 3.设随机变量X~N(1,ō)，Y~N(2,o),这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中 正确的是( Y的密度 X的密度 曲线 曲线 26303438 A.1 B.01<o2 C.P(X≤34)P(Y≤34) D.PX≤38)KP(Y≤38) 【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查正态分布及其密度曲线，属于基础题 根据正态分布的性质对各项逐一分析，即可得出结论， 【解答】 解：由正态分布密度曲线的性质可知，X~N(1,),Y~N(2,σ)的密度曲线分别关于 直线X=山1，X=对称， 因此结合题中所给图象可得，1=30,2=34，则1<2， 根据正态曲线的性质，ō越大图象越矮胖，所以61>ō2，所以A、B错误： 由曲线X的对称轴为x=H1,曲线Y的对称轴为x2,可知2>1： PX<34)>=P(Y<34),P(X<38)<P(Y<38),故C错误：D正确 第2页，共7页 4.某种包装的大米质量（单位：kg)服从正态分布飞N(10,62),根据检测结果可知 P(9.98≤5≤10.02)=0.98，某公司购买该种包装的大米2000袋，则大米质量在10.02kg 以上的袋数大约为( A.10 B.20 C.30 D.40 【答案】B 【解析】【分析】 根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解， 本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题， 【解答】 解：大米质量（单位：kg)服从正态分布ξN(10,o),P(9.98≤乏≤10.02）=0.98， ÷Pg>10.02)=1-Pe98s102=0.01, 某公司购买该种包装的大米2000袋， 则大米质量在10.02kg以上的袋数大约为2000×0.01=20. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知随机变量X服从正态分布N(1,3),则下列结论正确的是( ) A.EX)=1,DX)=9 B.随机变量Y满足2X+Y=4,则E()=4 C.PX>1)=月 D.若PX>2)=p,则P(0<X<1)=-D 【答案】ACD 【解析】【分析】 本题主要考查正态分布的定义和对称性，属于基础题. 根据已知条件，结合正态分布的定义和对称性，即可求解。 【解答】 解：随机变量X服从正态分布N(1,3), E(X=1,X的方差DX=9,故A正确， :随机变量Y满足2X+Y=4,则E(Y)=E(4-2X)=-2E(X)+4=-2×1+4=2,故B 第3页，共7页 错误，“曲线关于x=1对称，P仪>1)=故C正确， :P(X>2)=p,P(1<X<2)=3-p, P0<X<1)=-卫，故D正确. 6.下列结论正确的有( ) A.若随机变量ξN(3,62),P(飞≤1)=0.23，则P(E≤5)=0.77 B.若随机变量X~B(5,),则D3X+1)=11 C.样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D.如果随机变量服从N(山，o),且Fx)=P飞<x),那么Fx)是R上的增函数 【答案】AD 【解析】【分析】 本题考查正态分布、二项分布方差的求解、相关系数的性质，属于基础题。 根据正态分布的概率求解、二项分布的方差、相关系数的性质对每个选项进行逐一分 析，即可判断和选择。 【解答】 解：对A:P(5≤5)=1-P(飞≥5)=1-P(ξ≤1)=1-0.23=0.77，故A正确： 对B:D(☒=5×号×号所以D(3X-)=9×32=10,故B错误： 对C:样本相关系数r的范围在-1和1之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近1，两个变量的线性相关性越强： 反之，线性相关性越弱，故C错误； 对D:由正态曲线的性质可知，F(x)是R上的增函数，故D正确： 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知随机变量X服从正态分布N(6,62)(o>0),若P(X>3)=0.8, 则P(3<X<9)= 【答案】0.6 【解析】【分析】 第4页，共7页 本题考查正态曲线及其性质，正态分布的概率计算，属于基础题. 由已知求得μ，再由正态分布曲线的对称性求得P(3<X<6,且P3<X<9)=2P3< X<6,即可得解 【解答】 解：随机变量X服从正态分布N(6,6), ·u=6, PX>3)=0.8, P3<X<6)=0.8-0.5=0.3, 则P(3<X<9)=2P3<X<6)=0.6. 8.已知随机变量X~N3,4),且PX>3c-2)=PX<2c+1),则c的值为 【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查正态曲线及其性质，属于基础题 根据对称性的得到3c24241=3即可求解。 2 【解答】 解：随机变量X服从正态分布N(3,4,故曲线关于x=3对称， 即30-2*2c41=3, 2 wcwp 故答案为： 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布 N(70,100).已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名. (1)试问此次参赛的学生总数约为多少人？ (2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约 为多少人？ 附：P(X-u<6)≈0.683，P(X-μ<2o)≈0.954，P(X-川<3o)≈0.997. 第5页，共7页 【答案】解：(1)设参赛学生的成绩为X,因为X~N(70,100),所以μ=70，。=10，则： PX≥90)=PX≤50)=[1-P50<X<90] 5-P0-2a<X<u+2o1 ≈2×(1-0954)=0.023， 16÷0.023≈696（人） 因此，此次参赛学生的总数约为696人. (2)由P(X≥80)=P(X≤60) P60<X<80l 1-P(u-o<x<u+ol 1 ≈5×(1-0.683) =0.1585, 得696×0.1585≈110 因此，此次竞赛获奖励的学生约为110人， 【解析】本题考查了正态分布的性质及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算 能力，属于基础题， (1)由题意首先确定正态分布中μ，σ的值，然后结合正态分布的性质求解参赛人数即可： (2)利用(1)的结论结合正态分布图象的对称性即可确定需要奖励的学生人数. 10.(本小题14分) 语文成绩服从正态分布N(100,17.5,数学成绩的频率分布直方图如图： 颊率组距 0.024 0.0084 0.008 0.0016 507090110130150数学成绩 (1)如果成绩大于等于135分的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优 秀的大约各多少人？ 第6页，共7页 (2)根据频率分布直方图，估计这500名学生数学成绩的平均分.注：若x-N(.,6),则 P(μ-6<x<μ+6)=0.68；P(μ-2o<x<μ+2o)=0.96;P(μ-3o<x<μ+3o)= 0.997. 【答案】.解：(1)语文成绩服从正态分布N(100,17.52), 语文成绩特别优秀的概率为p1=P(X≥135)=(1-0.96)×=0.02， 数学成绩特别优秀的概率为p2=0.0016×三×20=0.024， …语文特别优秀的同学有500×0.02=10人， 数学特别优秀的同学有500×0.024=12人. (2)数学成绩的平均分为 (60×0.008+80×0.0084+100×0.024+120×0.008+140×0.0016)×20=94.72(分) 估计这500名学生数学成绩的平均分为94.72分. 【解析】本题考查正态分布及频率分布直方图的应用，属中档题 (1)本小题考查正态分布的性质及概率的计算，首先根据正态分布的性质求出满足条件的 概率，从而求出大约的人数 (②)本小题考查频率分布直方图的应用，根据频率分布直方图直接求出所求的平均分即 可 第7页，共7页高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章) 4.2.5正态分布期末基础巩固训练（八) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知随机变量XN(2,62)(6>0),若PX<4)=0.7,则PX<0)=( A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.7 2.已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X(单位：分)服从正态分布N(105,62), 且P(X<120)=0.8,从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间(90,105)内的概率为 A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 3.设随机变量X~N(1,0),Y~N(2,0),这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中 正确的是( Y的密度 X的密度 曲线 曲线 26303438 A.1>μ B.61<62 C.P(X≤34)<P(Y≤34) D.P(X≤38)KP(Y≤38) 第1页，共4页 4.某种包装的大米质量（单位：kg)服从正态分布飞N(10,62),根据检测结果可知 P(9.98≤飞≤10.02)=0.98，某公司购买该种包装的大米2000袋，则大米质量在10.02kg 以上的袋数大约为( A.10 B.20 C.30 D.40 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知随机变量X服从正态分布N(1,3),则下列结论正确的是( ) A.E(X)=1,D(X=9 B.随机变量Y满足2X+Y=4,则E(Y)=4 C.PX>1)= D.若PX>2)=p,则P0<X<1)=-p 6.下列结论正确的有( ) A.若随机变量ξ~N(3,62),P≤1)=0.23，则P(<5)=0.77 B.若随机变量X~B(⑤，)，则D3X+1)=11 C.样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强：反之，线性相关性越弱 D.如果随机变量服从N(中，o),且F(x)=P(飞<x),那么F(x)是R上的增函数 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知随机变量X服从正态分布N(6,ō2)（σ>0），若PX>3)=0.8, 则P(3<X<9)= 8.已知随机变量X~N(3,4),且PX>3c-2)=PX<2c+1),则c的值为 第2页，共4页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布 N(70,100).已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名. (1)试问此次参赛的学生总数约为多少人？ (②)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约 为多少人？ 附：P(X-u<σ)≈0.683，P(X-<2σ)≈0.954，P(IX-4<3o)≈0.997. 第3页，共4页 10.(本小题14分) 语文成绩服从正态分布N(100,17.5今，数学成绩的频率分布直方图如图： 频率组距 0.024 0.0084 0.008 0.0016 。07090i050150数绩 (1)如果成绩大于等于135分的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优 秀的大约各多少人？ (2)根据频率分布直方图，估计这500名学生数学成绩的平均分.注：若x一N(山，6)，则 P(μ-6<x<μ+6)=0.68；P(μ-26<x<μ+26)=0.96；P(μ-36<x<μ+36)= 0.997. 第4页，共4页 高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章）4.2.5正态分布期末基础巩固训练（八） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知随机变量，若，则(     ) A. B. C. D. 2.已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩单位：分服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为(     ) A. B. C. D. 3.设随机变量X~N(,),Y~N(,),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是(     ) A. > B. < C. P(X34)< P(Y34) D. P(X38)< P(Y38) 4.某种包装的大米质量单位：服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米袋，则大米质量在以上的袋数大约为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是(     ) A. ， B. 随机变量满足，则 C. D. 若，则 6.下列结论正确的有(     ) A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则 C. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D. 如果随机变量服从，且，那么是上的增函数 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知随机变量服从正态分布，若， 则_ _． 8.已知随机变量，且，则的值为          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布已知成绩在分以上含分的学生有名． 试问此次参赛的学生总数约为多少人？ 若该校计划奖励竞赛成绩在分以上含分的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？ 附：，，． 10.本小题分 语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图： 如果成绩大于等于分的为特别优秀，这名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？ 根据频率分布直方图，估计这名学生数学成绩的平均分．注：若，则；；． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $