期末培优：参变分离法解决导数问题复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

期末培优：参变分离法解决导数问题复习讲义 期末培优：参变分离法解决导数问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 适用题型 含参数不等式恒成立、能成立（存在性）问题，形式： 对 或 ，求参数 范围。 2. 参变分离定义 把式子中的参数 与变量 拆分到不等号两侧，化成两种标准形式： （1）恒成立型 对 恒成立 对 恒成立 （2）能成立（存在性）型 3. 分离前提 移项变形时注意不等号变向规则： - 两边同除以正数，不等号不变； - 两边同除以负数，不等号反向； - 若除数含 且正负不确定，不能直接分离，改用分类讨论。 4. 配套工具 分离后得到不含参数的函数 ，求值域/最值依靠导数： （1）求导 ，判断单调区间； （2）求极值、区间端点函数值； （3）闭区间：最值在极值点或端点； （4）开区间/无穷区间：利用极限判断上下界。 二、解题原理（标准五步流程） 1. 整理不等式 将原式移项，把所有含参数 的项放一边，含 的项放另一边。 1. 分离参数 两边同除 的代数式，根据除式正负调整不等号，化为 或 。 1. 研究新函数 对 求导，分析单调性，求出 在定义域 上的最大值、最小值。 1. 转化为参数不等式 根据是恒成立还是能成立，匹配对应最值建立参数边界。 1. 取等判断 观察 的最值能否取到： · 若能取到，参数可取等号； · 若只能无限逼近（开区间、无穷区间取不到最值），参数不取等号。 三、两类核心场景对比 场景 1：恒成立（任意 ） 恒成立： 大于等于 全部取值，只需大于等于最大值； 恒成立： 小于等于 全部取值，只需小于等于最小值。 场景 2：能成立（存在 ） 有解：只要 比最小值大即可，存在 满足； 有解：只要 比最大值小即可，存在 满足。 四、参变分离优缺点 优点 1. 分离后函数不含参数，不用对参数分类讨论，计算简单； 1. 思路固定，套路化，不易漏情况。 缺点 1. 若分离后 解析式复杂（分式、复杂对数指数），求导计算量大； 1. 除数符号随 变化，无法直接分离，只能用分类讨论法； 1. 在区间内存在间断点、无界时，极限分析容易出错。 五、高频易错点 1. 除以含 的式子不判断正负，不等号忘记反向； 1. 混淆恒成立与能成立对应的最值（最容易丢分）； 1. 开区间/无穷域，函数取不到最值，依然带上等号； 1. 分离函数求导计算失误，单调区间判断错误； 例题分析 例1．（25-26高二下·云南昆明·期中）已知函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)讨论在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）依据给定条件求出切点，利用导数的几何意义得到斜率，求出切线方程即可. （2）利用分离参数法结合导数求解取值范围即可. （3）对参数范围分类讨论，结合零点存在性定理求解零点个数即可. 【详解】（1）当时，，其定义域为，， ，，函数的切点坐标为，切线斜率为， 因此，函数在处的切线方程为，即． （2）在时恒成立， 则在上恒成立， 设，则， 设，则，当时， 故在上单调递增，所以； 故当时，，当时， 故当时，单调递减，当时，单调递增， 故； 所以，即， （3）因为，所以 而当时，，此时若， 则恒成立，在上单调递增， 又，所以只有一个零点; 当时，且令, 故恒成立，可得单调递增， ， 当时，，故单调递增， 而，因此只有一个零点， 当时，，而， 故，可得使得 并且当时，令，可得单调递减， 当时，令，可得单调递增， 若时，在上无零点， 又，所以在上只有一个唯一零点， 时，在上有两个零点 综上所述，当或时，在上有唯一的零点； 当时，在上有两个零点． 例2．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)极小值为1，无极大值. (2) (3)证明：由（2）知，时，即， 于是， ，， ， 因此 所以. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值. （2）分离参数并构造函数，再求出函数的最小值即可. （3）利用（2）的结论可得，再利用赋值法结合数列求和即得. 【详解】（1）当时，，定义域为，则， 当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）因为恒成立，得，，令，，求导的， 当,,当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则，所以的取值范围. （3）略 例3．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若，求的单调性. (3)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切点坐标和斜率即可写出切线方程； （2）求出导函数，利用切线放缩证明，，从而证得恒成立，即得在上的单调性； （3）依题将不等式等价转化，对参数进行分类讨论，针对时，通过构造函数，利用其单调性和同构思想，将不等式转化为，利用参变分离法即可求得. 【详解】（1）因为，所以，则. 又，， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，所以，则. 令，，则，. 当时，，单调递增，故，即； 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故，即. 从而在上恒成立 则在上单调递增. （3）在上恒成立等价于 （*）在上恒成立. 若，则，则显然成立； 若，则在上恒成立，令， 在上恒成立， 即在上单调递增；故由（*）可得，， 则，即. 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故，故得. 综上所述，的取值范围为. 例4．（25-26高二下·山东青岛·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值; (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)增区间为和，减区间为，极大值为-1，极小值为 (2). 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求得函数的增区间、减区间以及极大值、极小值； （2）结合参变量分离法可得，令，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）， 该函数的定义域为， 则，列表如下： 1 2 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为和，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2）当时，由可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，， 所以，，故实数的取值范围是. 变式训练 变式1．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知函数． (1)当时，试求函数图象在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点、； （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）不等式恒成立，试求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）时，，再求导，利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）（ⅰ）由函数在 上有两个极值点，求导，根据判别式可得； （ⅱ）不等式恒成立即为 ，求得，令求出导数，判断单调性，即可得到的范围，即可求得的范围． 【详解】（1）时，，故. 故，又， 故函数图象在点处的切线方程为， 即； （2）（ⅰ）， 函数在上有两个极值点，需满足在上有两个不等的根，. 由得， 则，故此时； （ⅱ），，，则可得，， 由不等式恒成立，则， ， 令，则， 因为，，， 又.所以，即时，单调递减， 所以，即， 故实数的取值范围是. 变式2．（25-26高二下·广东惠州·阶段检测）已知函数，． (1)若在上不单调，求的取值范围； (2)当时，试讨论的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意可得函数在存在极值，先进行参变分离，再转化成求函数值域问题，即可求出的取值范围. （2）函数零点的个数求参数范围，先进行参变分离，再利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题. 【详解】（1）函数， 则， 在上不单调，函数在存在极值， 在存在变号零点，即在存在变号解， 可看成直线与曲线在有交点， 当时，，． 的取值范围为． （2）等价于，故可看成直线与曲线的交点个数， 函数的定义域为，， 令，得；令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 作函数的图象，如下图所示： 结合图象可知， 当时，直线与曲线有两个交点，即有两个零点； 当时，直线与曲线有一个交点，即有一个零点； 当时，直线与曲线没有交点，即无零点． 综上所述，当时，函数有两个零点； 当时，函数有一个零点； 当时，函数没有零点. 变式3．（25-26高二下·贵州六盘水·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)，，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得最小值； （2）分类参数，设，利用导数求函数的最大值，即可得的取值范围. 【详解】（1）当时， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ； （2），， ， 令，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ， ，即的取值范围是. 变式4．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)求证：．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，求出，即可得出切线方程； （2）由函数在上单调递增得，当时，分离参数得对于恒成立，由导数求出最值，即可求解； （3）法一：由（2）可知，当时，在上单调递增，令得，，根据累加法即可证明；法二：设数列的前项和，得出，证明即可，证法同法一；法三：用数学归纳法证明． 【详解】（1）当时，， 所以求在处的切线方程为：． （2）， 若函数在上单调递增， 则当，，即对于恒成立， 令，则，则函数在上单调递增， 所以，故． （3）法一：由（2）可知，当时，在上单调递增， 所以当时，，即，即在上总成立， 令得，， 化简得：，所以，， 累加得，即，命题成立． 法二：可设数列的前项和， 当时，， 当时，，时也成立， 所以， 本题即证，以下证明同法一． 法三：（i）当时，左式，右式显然成立； （ii）假设当不等式成立，即， 那么当时，左式， 证明，即需证， 设，则， 即只需证，即， 设， 所以在单调递增，，可知不等式是也成立， 综上可知，不等式对于任意正整数都成立． 注意：中，写成或都可以． 实战演练 1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）设函数，． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）； (2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值： (3)若在上存在增区间，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调减区间为，单调增区间为，极小值为2 (3) 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求得的值； （2）利用导数与单调性以及极值的关系即可求解； （3）将在上存在增区间转化为有解，分离参数，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题可得， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得； （2）由（1）知，令，解得 由，解得，由，解得， 所以的单调减区间为，单调增区间为，当时，取得极小值； （3）由在上存在增区间， 即在上有解， 即在上有解，所以， 令，易知在上单调递增，在上单调递减， 则， 所以 即的取值范围为. 2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数，（其中a，b为实数，且） (1)当时，恒成立，求b； (2)当时，函数有两个不同的零点，求a的最大整数值．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用导数分类讨论的最大值； （2）分离常数转化为关于的方程有两个不同的解，设，利用导数求函数的极大值，则， 当时，设，验证有两解即可. 【详解】（1）设，则其定义域为， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，对于恒成立， 即恒成立，所以合理． 当时，令，即， 解得（舍）， 当时，，单调递增； 又有，所以当时，，不合题意． 当时，令，即， 解得（舍）， 当时，，单调递减； 又有，所以当时，，不合题意． 综上所述，． （2）由题意，方程有两个不同的解， 即关于的方程有两个不同的解， 设，则， 设，由可知， 所以在上单调递减， 又，， 所以存在使得，即，所以， 所以当时，，即，进而函数单调递增； 当时，，即，进而函数单调递减， 所以函数的极大值为 要使得关于的方程有两个不同的解，则， 当时，设， 则，可知在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以有两个不同的零点，符合题意， 所以的最大整数值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：参变分离法解决导数问题复习讲义 期末培优：参变分离法解决导数问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 适用题型 含参数不等式恒成立、能成立（存在性）问题，形式： 对 或 ，求参数 范围。 2. 参变分离定义 把式子中的参数 与变量 拆分到不等号两侧，化成两种标准形式： （1）恒成立型 对 恒成立 对 恒成立 （2）能成立（存在性）型 3. 分离前提 移项变形时注意不等号变向规则： - 两边同除以正数，不等号不变； - 两边同除以负数，不等号反向； - 若除数含 且正负不确定，不能直接分离，改用分类讨论。 4. 配套工具 分离后得到不含参数的函数 ，求值域/最值依靠导数： （1）求导 ，判断单调区间； （2）求极值、区间端点函数值； （3）闭区间：最值在极值点或端点； （4）开区间/无穷区间：利用极限判断上下界。 二、解题原理（标准五步流程） 1. 整理不等式 将原式移项，把所有含参数 的项放一边，含 的项放另一边。 1. 分离参数 两边同除 的代数式，根据除式正负调整不等号，化为 或 。 1. 研究新函数 对 求导，分析单调性，求出 在定义域 上的最大值、最小值。 1. 转化为参数不等式 根据是恒成立还是能成立，匹配对应最值建立参数边界。 1. 取等判断 观察 的最值能否取到： · 若能取到，参数可取等号； · 若只能无限逼近（开区间、无穷区间取不到最值），参数不取等号。 三、两类核心场景对比 场景 1：恒成立（任意 ） 恒成立： 大于等于 全部取值，只需大于等于最大值； 恒成立： 小于等于 全部取值，只需小于等于最小值。 场景 2：能成立（存在 ） 有解：只要 比最小值大即可，存在 满足； 有解：只要 比最大值小即可，存在 满足。 四、参变分离优缺点 优点 1. 分离后函数不含参数，不用对参数分类讨论，计算简单； 1. 思路固定，套路化，不易漏情况。 缺点 1. 若分离后 解析式复杂（分式、复杂对数指数），求导计算量大； 1. 除数符号随 变化，无法直接分离，只能用分类讨论法； 1. 在区间内存在间断点、无界时，极限分析容易出错。 五、高频易错点 1. 除以含 的式子不判断正负，不等号忘记反向； 1. 混淆恒成立与能成立对应的最值（最容易丢分）； 1. 开区间/无穷域，函数取不到最值，依然带上等号； 1. 分离函数求导计算失误，单调区间判断错误； 例题分析 例1．（25-26高二下·云南昆明·期中）已知函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)讨论在区间上的零点个数. 例2．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 例3．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若，求的单调性. (3)当时，恒成立，求的取值范围. 例4．（25-26高二下·山东青岛·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值; (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 变式训练 变式1．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知函数． (1)当时，试求函数图象在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点、； （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）不等式恒成立，试求实数m的取值范围． 变式2．（25-26高二下·广东惠州·阶段检测）已知函数，． (1)若在上不单调，求的取值范围； (2)当时，试讨论的零点个数． 变式3．（25-26高二下·贵州六盘水·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)，，求的取值范围. 变式4．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)求证：．（参考数据：） 实战演练 1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）设函数，． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）； (2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值： (3)若在上存在增区间，求的取值范围． 2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数，（其中a，b为实数，且） (1)当时，恒成立，求b； (2)当时，函数有两个不同的零点，求a的最大整数值．（参考数据：） 2 学科网（北京）股份有限公司 $