一次函数中的规律探究、几何问题综合专项训练2026年中考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦一次函数与几何综合及规律探究，通过精选典例构建从坐标计算到图形变换的逻辑链条，强化抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数中的规律探究问题|3例+3变式|结合坐标系中点运动、图形变换（正方形、等腰直角三角形）探究坐标/长度规律|以一次函数图像性质为基础，通过几何图形性质推导坐标关系，培养归纳推理意识| |一次函数与几何问题综合|3例+3变式|一次函数与三角形、矩形等结合，涉及面积计算、图形旋转、动点问题|联立函数解析式与几何性质，通过代数方法解决几何问题，体现模型意识与应用能力|

一次函数中的规律探究问题、一次函数与几何问题综合专项训练 一次函数中的规律探究问题、一次函数与几何问题综合专项训练 考点目录 一次函数中的规律探究问题 一次函数与几何问题综合 考点一 一次函数中的规律探究问题 例1．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，以为边向上作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形性质，可得到、的坐标，同理可得、的坐标，进而得到、的横坐标，根据点的坐标变化可找到变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：对于， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， 的横坐标是， ， 的横坐标为， 的横坐标为． 例2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，直线分别与轴，轴相交于点，在中从左向右依次作正方形，正方形，正方形，正方形，分别取每个正方形两边的中点，按如图方式连接，其交点分别记为，，，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据一次函数解析式求出点，，根据三角函数定义求出，过点作轴于点D，设点，则，，证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，证明，得出，证明，得出，求出；同理求出，，从而得出一般规律． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴点，， ∴，， ∴， 过点作轴于点D，如图所示： 则， 设点，则，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵E、F分别为，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点作轴于点G，过点作轴于点H，延长，过作于点K，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 同理可得：， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴，， ∴， 同理可得：， ， … ∴． 例3．（2026·山东济宁·二模）如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】首先求出，如图，根据题意作出点，连接，求出，得到，得到四边形，，都是平行四边形，得到，动点每运动次为一个循环，然后结合求解． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接， ∵ 将代入得， 解得 ∴ ∴ 根据题意得，四边形，，都是平行四边形， ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴点与点重合， ∴动点每运动次为一个循环， ， ∴点与点重合，即点的坐标为． 变式1．（2026·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（   ） A．5 B．8 C．13 D．21 【答案】C 【分析】根据已知条件和图形可以发现：对于点P，在移动方向上“每移动4次为一个周期”，同时两个相邻周期内同一个位置上两点的坐标有关联．然后结合坐标系表示出这些点的坐标，再代入直线即可确定满足条件的点． 【详解】解：点P第n次移动后记为，结合图形可以发现，点P“每移动4次为一个周期”，按着“上、右、下、右……”的规律移动，这四个位置的点分别用表示，其中k取自然数． 如图，观察的坐标可以发现，后一个点的横坐标总比前一个点的横坐标多2，纵坐标多1，因为，所以的坐标为．若点在直线，则有，解得，此时． 根据同一个周期内四个点的坐标关系，易知的坐标为、的坐标为，的坐标为． 若，，点在直线，则有 ①，解得，此时不是整数，不满足题意； ②，解得，此时不是整数，不满足题意； ③，解得，此时； 综上可知，满足条件的n的值为5和8， 所以满足条件的所有n的和为． 变式2．（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，已知直线的解析式为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，……，则线段的长为________． 【答案】 【分析】先求出点的坐标，利用三角函数可计算出，从而计算出，，，总结出规律，再求出线段的长． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，， ∴， 在中，，， ∴点的纵坐标为，代入，得， ∴， 同理，，， ∴总结规律可得，， ∴． 变式3．（2026·四川达州·模拟预测）如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则_____．    【答案】 【分析】 分别过点作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，然后归纳面积的规律并按照规律求解即可． 【详解】 解：如图，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，    ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入得：，解得：， ∴，， ∴， 同理求得， ∴， ∴． 考点二 一次函数与几何问题综合 例1．（2026·河北唐山·二模）如图，已知一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点落在第三象限，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出C点坐标，再求的面积即可； （3）分当轴时和当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时两种情况讨论，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ； （2）解：将点代入一次函数得：， 解得， ， 的边上的高为， 又， ， 的面积为． （3）解：由题意可得：， ，由题意，有以下两个临界位置： ①如图，当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上， ∵点坐标为， ∴此时，解得；    ②如图，当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时，过点作轴于点， ， ∵点坐标为， ， 轴，， ， ， 由旋转的性质得：，， ， ， 在和中， ， （）， ， ，即， ∴由图知，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点能落在第三象限，此时． 例2．（2026·河北石家庄·二模）如图，直线分别与x轴、y轴交于点，．点P在x轴的正半轴上，直线经过点P，分别与y轴、交于点C，D，点D到y轴的距离等于OP的长． (1)求的解析式． (2)设点P的横坐标是m，点D的纵坐标是n． ①用含n的式子表示c； ②若的面积是面积的，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)①；②2 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①由题意，得，，将其代入直线，即可求解； ②先求得的面积为，根据的面积是面积的，解方程，根据点P在x轴的正半轴上，取舍方程的解，即可求解． 【详解】（1）解：设的解析式为， 将点，代入， 得 解得 的解析式为． （2）①由题意，得，． 将其代入直线， 得 ， ． ②∵点在上， ， ， ， 的面积为． 的面积是面积的，则的面积为， ， 解得或（舍去）． 例3．（2026·河北保定·二模）如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点． (1)如图，过点C作直线：． ①用含k的代数式表示b； ②若直线与线段有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若，且k，m均为整数，求m的值． 【答案】(1)①；②； (2)2或4或16或 【分析】（1）①代入点C的坐标，即可得到k与b的关系； ②先根据函数解析得到点A和点B的坐标，观察题目图象，可知当直线经过点A和点B时，k分别取得最大值和最小值，代入坐标求解即可； （2）由轴，可知的横坐标为，代入D和E的横坐标到对应的直线解析式，得到对应的纵坐标，令纵坐标相等求出m与k的关系，再根据k和m都为整数的条件，求整数解即可． 【详解】（1）解：①∵点在直线：上， ∴， ∴； ②∵直线：交x轴于点A，交y轴于点B， ∴，， 由①得， ∴直线：， 当直线：经过点时，，解得， 当直线：经过点时，，解得， ∴直线与线段有交点（不包含A，B两点）时，k的取值范围为； （2）解：∵平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，， ∴设，， 又∵点D在直线上，点E在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵k，m均为整数， ∴， ∴m的值为2或4或16或． 变式1．（2026·河北邯郸·二模）如图，直线与直线平行，与轴交于点，直线：与直线交于点，并经过点，与轴交于点． (1)直接写出直线的函数表达式，求直线的函数表达式； (2)直线与轴、直线、直线分别交于点，，，设直线，，轴围成的三角形内部（包括边界）为， 当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； 直接写出点关于直线的对称点落在内（包括边界）时的取值范围． 【答案】(1)直线的函数表达式为；直线的函数表达式为 (2)或； 【分析】（1）根据平行设出直线的函数表达式，利用待定系数法可求出直线的函数表达式；进而求出点的坐标，再利用待定系数法可求出直线的函数表达式； （2）当时，分别确定点，，的坐标，当时，分两种情况讨论，情况一：当点，，在点下方时；情况二：当点，，在点上方时，分别求解即可；设对称点，分别求出当点 落在直线上和落在轴上时对应的值，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：直线与直线平行， 设直线的函数表达式为， 将点代入得，， 直线的函数表达式为； 令，得， ， 将点和点代入直线：得， ，解得， 直线的函数表达式为； （2）解：对于， 令，得， ， 由题意可得，， 直线与轴、直线、直线分别交于点，，，点在线段上（不与点，重合）， ； 令，得，故， 令，得，故， 当时， 情况一：当点，，在点下方时，，如图，此时点为的中点， ，解得，且，符合题意； 情况二：当点，，在点上方时，，如图， ， ，解得，且，符合题意． 综上所述，当或时，； 设点关于直线的对称点 ， 当点落在直线上时，， 此时， 当点落在轴上时，， 此时， 点在直线，，轴围成的三角形内部（包括边界）时，的取值范围为． 变式2．（2026·吉林·模拟预测）如图，矩形的边、的长分别是方程的两个根（），点在线段上，沿折叠矩形，使边落在轴上，点、的对应点为、． (1)求点的坐标； (2)将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积与运动时间的关系式； (3)点是直线上一点，试在平面内确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）先解方程得到，，由折叠的性质结合矩形的性质可得的长，从而可求出点的坐标； （2）分段讨论：当时；当时；当时，列面积表达式求解即可； （3）根据待定系数法可求得直线的解析式，从而可表示出点的坐标，进而可表示出，，；再根据菱形的性质分情况讨论：当时，当时，当时，根据线段的等量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，解得，， 、的长分别是方程的两个根， ，， 四边形是矩形， ，， 由折叠可知，，，， ， 四边形是矩形， ， ， （2）解：由（1）知，，，， ，， 为等腰直角三角形，， 由折叠可知，， 当时，如图，设直线平移后与轴交于点，与轴交于点，与交于点， 由平移的性质可知，，， ， 四边形是矩形， ， ， 为等腰直角三角形，即直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形， ， ； 当时，如图，设直线平移后与轴交于点，与轴交于点，与交于点，过点作交轴于点，交轴于点，则为等腰直角三角形， ，，即， ， 四边形是平行四边形， 直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形， 故； 当时，如图，设直线平移后与轴交于点，与交于点，则为等腰直角三角形， ， 直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积， 即； 综上，直线扫过矩形的面积与运动的时间的关系式为； （3）解：设直线的直线解析式为， 将点，和代入得， ，解得， 直线的直线解析式为， 点是直线上一点， 设， ，， ，，， 当时，，即，解得， ，， 由得，，； 当时，，即，解得或（与重合，舍去， ， 由得，； 当时，，即，解得， ， 由菱形的对称性可得、关于对称，可得； 综上，点的坐标为，，，． 变式3．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，直线l：经过点，并且与直线平行，与x轴交于点． (1)求直线l的解析式和点的坐标． (2)求直线l与y轴交点A的坐标，并求线段的长度． (3)若点P是直线l上的一个动点，横坐标为t，过点P分别作轴于M，轴于N，在四边形上分别截取：，，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 【分析】（1）先利用待定系数法得出直线l的解析式，再令，得出，即可得出点的坐标； （2）先得出点A的坐标为，再根据两点之间的距离公式求解即可； （3）先得出四边形为矩形，再利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质即可得证． 【详解】（1）解：直线l：与直线平行， ，即． 又直线l：经过点， 将点代入得，， 解得，， 直线l的解析式为； 当时，即， 解得，， 点的坐标为． （2）解：直线l的解析式为， 当时，， 即点A的坐标为． 又点的坐标为， ． （3）证明：，， ． 又， 四边形为矩形， ，，． ，，，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一次函数中的规律探究问题、一次函数与几何问题综合专项训练 一次函数中的规律探究问题、一次函数与几何问题综合专项训练 考点目录 一次函数中的规律探究问题 一次函数与几何问题综合 考点一 一次函数中的规律探究问题 例1．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，以为边向上作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，直线分别与轴，轴相交于点，在中从左向右依次作正方形，正方形，正方形，正方形，分别取每个正方形两边的中点，按如图方式连接，其交点分别记为，，，，则的面积为_______． 例3．（2026·山东济宁·二模）如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 变式1．（2026·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（   ） A．5 B．8 C．13 D．21 变式2．（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，已知直线的解析式为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，……，则线段的长为________． 变式3．（2026·四川达州·模拟预测）如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则_____．    考点二 一次函数与几何问题综合 例1．（2026·河北唐山·二模）如图，已知一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点落在第三象限，请直接写出的取值范围． 例2．（2026·河北石家庄·二模）如图，直线分别与x轴、y轴交于点，．点P在x轴的正半轴上，直线经过点P，分别与y轴、交于点C，D，点D到y轴的距离等于OP的长． (1)求的解析式． (2)设点P的横坐标是m，点D的纵坐标是n． ①用含n的式子表示c； ②若的面积是面积的，直接写出m的值． 例3．（2026·河北保定·二模）如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点． (1)如图，过点C作直线：． ①用含k的代数式表示b； ②若直线与线段有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若，且k，m均为整数，求m的值． 变式1．（2026·河北邯郸·二模）如图，直线与直线平行，与轴交于点，直线：与直线交于点，并经过点，与轴交于点． (1)直接写出直线的函数表达式，求直线的函数表达式； (2)直线与轴、直线、直线分别交于点，，，设直线，，轴围成的三角形内部（包括边界）为， 当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； 直接写出点关于直线的对称点落在内（包括边界）时的取值范围． 变式2．（2026·吉林·模拟预测）如图，矩形的边、的长分别是方程的两个根（），点在线段上，沿折叠矩形，使边落在轴上，点、的对应点为、． (1)求点的坐标； (2)将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积与运动时间的关系式； (3)点是直线上一点，试在平面内确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标． 变式3．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，直线l：经过点，并且与直线平行，与x轴交于点． (1)求直线l的解析式和点的坐标． (2)求直线l与y轴交点A的坐标，并求线段的长度． (3)若点P是直线l上的一个动点，横坐标为t，过点P分别作轴于M，轴于N，在四边形上分别截取：，，，，求证：四边形是平行四边形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $