精品解析：吉林长春市实验中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

长春市实验中学2025-2026学年度下学期期中考试高二数学试卷 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以二项式的展开式中的常数项为. 3. 某地区14000名学生的数学成绩，且成绩在的学生人数约为 4800人，则估计成绩超过90分的学生人数约为（ ） A. 2200 B. 2500 C. 2800 D. 3100 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求得，结合正态分布的对称性求出，进而估计学生人数即可. 【详解】由题意，则， 而，则， 所以成绩超过90分的学生人数约为人. 4. 有6件产品，其中2件是次品，从中放回地取3次(每次1件)，若表示取得次品的次数，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意有，再由及独立重复试验的概率求法求概率即可. 【详解】由题意，每次取得次品的概率为，则， 所以 . 5. 现有语文、数学课本共8本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（ ） A. 2本 B. 3本 C. 4本 D. 5本 【答案】B 【解析】 【详解】设语文课本有本，则数学课本有. 从8本书中任取2本的总组合数为； 至多有1本语文课本的组合数有； 至多有1本语文课本的概率是， ，即，解得或； ，. 6. 学校要安排五一青春歌会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求不相邻，2个曲艺节目也不相邻，则安排方法有（ ） A. 1152 B. 1278 C. 960 D. 962 【答案】A 【解析】 【分析】总共分三步：第一步，4个音乐节目在第的位置，第二步，为保证3个舞蹈节目不相邻，从空位中选1个，从中选1个，再加上空位共三个位置安排舞蹈节目，第三步，2个曲艺节目在剩余位置，根据分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】第1个节目和最后1个节目已确定，只需安排其余9个位置： 第一步，4个音乐节目在第的位置，安排方法有种； 第二步，3个舞蹈节目，空余位置为，从空位中选1个，从中选1个，再加上空位， 安排方法有种； 第三步，此时剩余的2个位置必然不相邻，满足2个曲艺节目不相邻，安排方法有种. 由分步乘法计数原理知，总安排方法为种. 7. 已知函数满足，且，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由构造函数，求导可得在上单调递增。利用，通过比较在不同自变量处的函数值，即可判断各选项不等式的正误. 【详解】已知，构造辅助函数，对求导得， 因为恒成立，且，因此，即是上的单调递增函数. 由，得. 选项A： 因为单调递增，故，即，整理得，A错误； 选项B： 因为单调递增，故，即，得，B错误； 选项C： 因为单调递增，故，即，整理得，C错误； 选项D： 因为单调递增，得，即. 因为，所以成立，故 D 正确. 8. 已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意或在上恒成立，分两种情况讨论，参变分离，结合函数的性质求出参数的取值范围； 【详解】因为，所以， 又在上单调，故或在上恒成立， 若在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则，， 当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； 又，，，时，， 所以； 若在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以； 综上，实数的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 袋中有7个大小相同的球，其中4个黑球、3个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为得分，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由取到个白球，则可得取到个黑球，所以得分， 所以，故A正确； 由，得，解得，所以，故B错误； 由，得，解得，所以，故C正确； 由题意可得，， ，， 所以，故D正确. 10. 某班组织由甲、乙、丙等名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A通过固定丙的位置，转化为剩余元素的全排列问题求解；选项B利用容斥原理，从总排列中扣除甲第一个或乙最后一个的情况，并补回重叠部分；选项C在条件概率下，将问题简化为乙不在最后一个位置的排列计数；选项D结合条件概率公式，通过计算事件交集与事件的概率比值进行推理. 【详解】总共有名同学，全排列总数为： 选项A：事件为丙第一个出场，丙固定第一个后，剩余人全排列，共种， 因此：，A正确； 选项B：用容斥原理计算的排列数：总排列甲第一排列乙最后排列甲第一且乙最后排列， 即， 因此：，B正确； 选项C：由条件概率公式： 发生时丙已经第一个出场，自然满足“甲不是第一个”，因此只需满足“乙不是最后一个”， ，：乙不能在最后，乙有个位置可选，剩余人全排列， 即，因此：，C错误； 选项D：根据条件概率公式，已知，， 因此：，D正确. 11. 已知函数，则关于此函数的下列命题正确的是（ ） A. 使函数有一个零点 B. 使恒成立 C. 使函数有两个极值点 D. ，曲线与定直线相切 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，函数的定义域为，令，解得一个零点为， 若，另一零点为. 当时，取，则，两个零点重合，函数只有一个零点，故存在这样的，A正确； 选项B，若，对任意，有，，故，不可能满足恒成立，B错误； 选项C，取，则， 令 则，（为的导函数）， 所以在上严格递减． 又，故存在唯一的，使． 当时，，当，， 因此在上严格递增，在上严格递减． 又，， 因为，所以在内有且仅有一个根，在内有且仅有一个根． 并且在两侧由负变正，在两侧由正变负，所以在处取得极小值，在处取得极大值． 故存在使函数有两个极值点，C正确． 对于D，若命题成立，则当和时，两条曲线也应存在同一条切线． 当时，曲线为． 设切点横坐标为，则切线为 当时，曲线为． 设切点横坐标为，则， 所以切线为 若两条切线重合，则斜率和截距分别相等，故 令 因为且，所以． 若，则，从而，矛盾． 故且． 由和第一个等式，得 另一方面，对任意，有，所以 因为，所以这与矛盾． 因此上述两条曲线不存在公切线，更不可能所有参数对应的曲线都与同一条定直线相切，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 高二年级为了丰富学生的生活，举办了篮球争霸赛，比赛分成两个阶段，第一阶段是小组赛，19个班分成四个小组，组有4支队伍，其它三组是5支队伍.此阶段小组内每两支球队进行一场比赛，小组的名次前两名晋级复赛，设各组进入复赛的分别记为，第二阶段复赛阶段为淘汰赛，对阵如图所示.则所有比赛一共进行______场. 【答案】 【解析】 【详解】第一阶段小组赛，组内每两支球队进行一场比赛，共有场比赛； 第二阶段淘汰赛，按照对阵图示，共有7场比赛； 所有比赛一共进行场. 13. 已知偶函数，若曲线的一条切线斜率为2，则切点的横坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据偶函数的性质求出的值，进而得到函数的表达式，再对求导，最后根据导数的几何意义求出切点的横坐标即可. 【详解】为偶函数 ， 则，， ， 恒成立，， ， 设切点横坐标，则：， 令：则，即， ， ， ∴，即， 即切点横坐标为. 14. CBA总冠军在两支水平相当的球队之间进行，总冠军比赛采用七场四胜制，比赛进行的场数记为随机变量，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意确定的取值，然后求出的分布列，最后计算数学期望即可. 【详解】由题意，的可能取值为. ， ， ， . 的分布列如下： 4 5 6 7 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 语文郭老师要从6篇课文中随机抽出3篇不同的课文让同学们背诵，规定要至少背诵出2篇才能及格. 张同学只会背诵其中的4篇. （1）设张同学抽到他会背诵的课文的数量为，求的分布列和期望； （2）求张同学能及格的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）易知的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，根据离散型随机变量的期望公式求解即可； （2）要求张同学及格的概率，即求取2，3的概率和，由（1）概率分布列求解即可. 【小问1详解】 解：的可能取值为1，2，3， ，，， 故分布列为 所以； 【小问2详解】 设张同学及格为事件， 则. 16. 已知，展开式的第二项，第三项，第四项的二项式系数成等差数列. （1）求； （2）求的值； 【答案】（1） （2）2059 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的性质，结合等差数列的性质列出关于的方程，进而求解的值； （2）可通过对赋值，利用已知等式求出的值. 【小问1详解】 由题意得， 即，得， 化简得：， 解得或， 因为，所以. 【小问2详解】 已知， 令，可得，即， 令，可得，即， 将代入， 可得：. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上的最小值为，求的值. 【答案】（1）当时，在单调递增；当时，故在单调递减，在单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）对进行求导，然后分类讨论确定的单调性. （2）分和三种情况讨论，确定在上的最小值，然后解关于的方程，求解出即可. 【小问1详解】 的定义域为，. 当时，，此时在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①当时，恒成立，此时在上单调递增，，不合题意，舍去. ②当时，恒成立，此时在上单调递减，，解得，不合题意，舍去. ③当时，解得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增，，解得. 综上，实数的值为. 18. 某儿童乐园提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买B的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是. （1）求某家庭第二次来，购买的是产品的概率； （2）记第二次来购买产品的家中有家购买产品，求的分布列，均值和方差. （3）第(2)中的个家庭中有多少家选择产品的概率最大，最大概率是多少? 【答案】（1） （2）； （3）有2家选择产品的概率最大，最大概率为 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式计算即可； （2）利用二项分布写出分布列求解期望和方差； （3）利用二项分布得到分布列求解事件概率. 【小问1详解】 设“第i次购买产品”，（i=1，2），则“第i次购买产品”， 由题意， 又为对立事件， 故 ； 【小问2详解】 每家购买产品概率均为，故， 分布列为 ； 【小问3详解】 设有家选择产品，则，设有家选择产品的概率最大，则 ， 故可列 即 整理得，又，故，此时= 故有家选择产品的概率最大，最大概率为. 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：； （3）若使方程三个不等的根，求的取值范围. 【答案】（1） （2）由题意知，定义域为，， ，当时，，显然为增函数， 当时，，当时，，根据零点存在定理， 使，而当， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，即，则即， 因为，所以，故，所以， 令，则， 故在为增函数，所以，即原不等式成立; （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程求出切线方程即可； （2）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理，即可证明； （3）将方程有三个不等的根转化为两个函数有三个交点，即有三个单调区间，利用导数研究函数的单调性，分别对进行和的讨论，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，，，则切点为， 又，故，则切线方程为，即; 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题意知，定义域为， 若使方程三个不等的根，即直线与图像有三个交点， 则应有三个单调区间，又，， ①当时，由（2）可知，在上单调递减，在上单调递增， 此时没有三个单调区间，不成立； ②当时，解得，解得， 故在单调递减，在上单调递增， 故， 当时，，此时在上单调递增，没有三个单调区间，不成立； 当时，，当时，，当时，， 根据零点存在定理，使，，使， 而当， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 故当时方程有三个实根， 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学2025-2026学年度下学期期中考试高二数学试卷 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 3. 某地区14000名学生的数学成绩，且成绩在的学生人数约为 4800人，则估计成绩超过90分的学生人数约为（ ） A. 2200 B. 2500 C. 2800 D. 3100 4. 有6件产品，其中2件是次品，从中放回地取3次(每次1件)，若表示取得次品的次数，则=（ ） A. B. C. D. 5. 现有语文、数学课本共8本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有（ ） A. 2本 B. 3本 C. 4本 D. 5本 6. 学校要安排五一青春歌会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求不相邻，2个曲艺节目也不相邻，则安排方法有（ ） A. 1152 B. 1278 C. 960 D. 962 7. 已知函数满足，且，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 袋中有7个大小相同的球，其中4个黑球、3个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为得分，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某班组织由甲、乙、丙等名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 11. 已知函数，则关于此函数的下列命题正确的是（ ） A. 使函数有一个零点 B. 使恒成立 C. 使函数有两个极值点 D. ，曲线与定直线相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 高二年级为了丰富学生的生活，举办了篮球争霸赛，比赛分成两个阶段，第一阶段是小组赛，19个班分成四个小组，组有4支队伍，其它三组是5支队伍.此阶段小组内每两支球队进行一场比赛，小组的名次前两名晋级复赛，设各组进入复赛的分别记为，第二阶段复赛阶段为淘汰赛，对阵如图所示.则所有比赛一共进行______场. 13. 已知偶函数，若曲线的一条切线斜率为2，则切点的横坐标为________. 14. CBA总冠军在两支水平相当的球队之间进行，总冠军比赛采用七场四胜制，比赛进行的场数记为随机变量，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 语文郭老师要从6篇课文中随机抽出3篇不同的课文让同学们背诵，规定要至少背诵出2篇才能及格. 张同学只会背诵其中的4篇. （1）设张同学抽到他会背诵的课文的数量为，求的分布列和期望； （2）求张同学能及格的概率. 16. 已知，展开式的第二项，第三项，第四项的二项式系数成等差数列. （1）求； （2）求的值； 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上的最小值为，求的值. 18. 某儿童乐园提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买B的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是. （1）求某家庭第二次来，购买的是产品的概率； （2）记第二次来购买产品的家中有家购买产品，求的分布列，均值和方差. （3）第(2)中的个家庭中有多少家选择产品的概率最大，最大概率是多少? 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：； （3）若使方程三个不等的根，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $