吉林长春市实验中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 以概率统计、函数与导数为核心，融入歌会节目安排、儿童乐园套餐等真实情境，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|二项式定理、概率分布、函数单调性、导数应用|18题结合套餐购买情境考查分布列与应用，19题导数综合题分层设计切线、证明及根的问题，体现能力梯度|

建设满足时代发展需求的创新高中 长春市实验中学 2025-2026学年度下学期期中考试 勤奋·求实·创新 高二数学试卷 单选题： 题 1 2 3 6 2 8 号 答 B A A C B A D B 案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 93 12.43 13.ln(1+V2) 14.16 四、解答题： 15.解：X的可能取值为1,2,3 P(X=)=9 c-Px-2)-Cci- P(X=3)= 5, C 故分布列为 X 2 1 3 5 5 E)1x+28+3X里 5 5 第1页共6页 |一 w nI一 自 6 台 6 台 建设满足时代发展需求的创新高中 3.14 (A)=P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=2+ (2)设张同学及格为事件A,则 555 16、解：(1)第二项，第三项，第四项的二项式系数分别为C,C,C 由题意可列C+C:=2C(n≥3) 解方程得n=7或n=2(舍) 故n=7 ②)展开式中令x=0得4，=2’=128 展开式中令术=1得4+a41+02+…+a,=37=2187 故4+4，++a,=2187-128=2059 (0,+0) 17.解：(1)定义域为 f(x)=x-a 下面分两种情况讨论 ①当a≤0时，f>0 恒成立，故 )本(0，+o)单调递增； ”在 ②当a>0时，解f得>a,解)<0得0<x<a,故f)在0.a) 在 单调递减， 在(a,+o) 单调递增 (2)分三种情况讨论 第2页共6页 建设满足时代发展需求的创新高中 @当≤1时，≥0 ()东山，3)上单调递增，故 成立，故 在 [f(xn=f0)=a=2,含掉： 3 ②当a≥3时.f代闭≤0恒宽立，故国在L)上单调诺减，故 /x=f3)=ln3+9-3 9-3n3 a= 32,解得 ,不满足4≥3，合掉， ⑧当1<a<3时，解f)>0得>a,解)<0得x<a,故w在a上单 3 调道减，在a,3]上单调莲始，故/(=/a=ha+1=2,解得a=E,且 a∈L,3),故成立综上三种情况，a= 18.解：(1)设4=“第1次购买A产品”，(1=1,2) 则A=“第1次购买B产品”，由题意 P4)号PR可=P44=PZA0=P4团)=PZA)=月 又A,4为对立事件，由故 P(A)=P(A4+44)=P(A4)+P(A4) =P(4)P(4,|4)+P(4)P(4,4) 2x3+x1-2 34323: 第3页共6页 建设满足时代发展需求的创新高中 2 X~B(6,) (2)每家购买A产品概率均为 3, 故 3 PX=0=Cf(,k=0,126 E(X)=4,D(X)= 3 3)设有Y家选择B产品，则 Y一B6了，设有K家选择A产品的概率最大，则 PY-8-C 故可列P(Y=k-)≤P(Y=k)≥P(Y=k+) c分≤C*≥c" 7 80 整理得3 80 故有2家选择B产品的概率最大，最大概率为243 19解：(1)当a=1时，f=xnx-x- ,fI)=-2 f(x)=Ix+ x,故f'(I)=1,切线为y+2=x-1,即x-y-3=0: ②法：定义球为0，.f)=nx+1-1+是=血x+是 x+天，当a<0时，显然 f刊为增函数，当x→0时，f)→-0，当x→0时，f)→+切。 ,根据零 第4页共6页 建设满足时代发展需求的创新高中 点存在定理 ∈0，+o).使，)=0 ,而当 x∈(0，bfC)<0,x∈(o,+of>0,故f()在0，）上单调递减，在 a ,物上单调递捐，所以7网=G=n。,h+ 七0 因a<0,故>1，所以)=2x1血-。，令8）=2血-，则 g,)-2血6+2，-1，故8，)在4，+o)为增函数，故86)>80=- ,即原不 等式成立； 法二： (3)定义域为 切）.甲直设”=本与'=/W图R有二个必点。则'= 应有三 个单K间=血1-1学=n+是，/o到=之 x3,下面讨论 0当a≤0时，f>0,改0在0o上单调造省，当→0。 在 时， f()→-0，当x→+0时，f)→+0，根据零点存在定理∈(0，+切），使 fx,)=0,而当 x∈0，xf四<0，x∈(o,+o,f)>0,故f在0，)上 单调递减，在：+切)上单调递增，故此时没有三个单调区间，不成立： 第5页共6页 建设满足时代发展需求的创新高中 ②当a>0时，解f)>0得x>V2a,解/")<0得，0<x<2a,故W在 (0,V2)单调递减，在N2a,+∞）上单调递增，故 [f-f(2)-fn(2a)+I] 2e时，f'(V2a)≥0，此时f(x)在(0，+o)上单调递增，设有三个单调区间， 不成立： 1 0<a< 当 2e时，f'(V2a)<0,当x→0时，f(x)→+0，当x→+oo时， f)→+，根据零点存在定理3a∈(0，V2a),使f(a）=0,B∈(N2a,to), 使fA)=0而当x∈0.af)>0rea,,f<0,x∈(B,m.f>0 而当 故f)在0，）上单调道增，在a,)上单调造减，在B,+o)上单调递增，又当 x→0时.f)→.当→0时.f)→枕.放当e(fm,a》时方 时， 程f(x)=k有三个实根.综上所述，a的取值范围是 0, 2e 第6页共6页建设满足时代发展需求的创新高中 长春市实验中学 2025-2026学年度下学期期中考试 ( 团结 · 勤奋 · 求实 · 创新 )高二数学试卷 1、 单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1． A． B. C. D. 2．二项式的展开式中的常数项为 A. B. C. D. 3．某地区14000名学生的数学成绩，且成绩在的学生人数在约为 4800人，则估计成绩超过90分的学生人数约为 A.2200 B.2500 D.2800 D.3100 4．有6件产品，其中2件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若表示取得次品的次数，则= A. B. C. D. 5．现有语文、数学课本共8本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有 A.2本 B.3本 C.4本 D.5本 6．学校要安排五一青春歌会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求不相邻，2个曲艺节目也不相邻，则安排方法有 A.1152 B.1278 C.960 D.962 7．已知函数满足，且，则下列命题正确的是 A. B. C. D. 8．已知函数在上单调，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.袋中有7个大小相同的球，其中4个黑球、3个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为得分，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 10.某班组织由甲、乙、丙等6名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件A为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件B为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 11.已知函数，则关于此函数的下列命题正确的是 A.使函数有一个零点 B.使恒成立 C.使函数有两个极值点 D.，曲线与定直线相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．高二年级为了丰富学生的生活，举办了篮球争霸赛，比赛分成两个阶段，第一阶段是小组赛，19个班分成四个小组，组有4支队伍，其它三组是5支队伍.此阶段小组内每两支球队进行一场比赛，小组的名次前两名晋级复赛，设各组进入复赛的分别记为，第二阶段复赛阶段为淘汰赛，对阵如图所示。则所有比赛一共进行______场. 13. 已知偶函数，若曲线的一条切线斜率为2，则切点的横坐标为________. 14．CBA总冠军在A,B两支水平相当的球队之间进行，总冠军比赛采用七场四胜制，比赛进行的场数记为随机变量，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.语文郭老师要从6篇课文中随机抽出3篇不同的课文让同学们背诵，规定要至少背诵出2篇才能合格.张同学只会背诵其中的4篇. (1)设张同学抽到他会背诵的课文的数量为，求的分布列和期望； (2)求张同学能及格的概率. 16. 已知，展开式的第二项，第三项，第四项的二项式系数成等差数列. （1）求； （2）求的值； 17. 已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 18.某儿童乐园提供A，B两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为，购买B的概率为.第一次购买A产品的人第二次购买A产品的概率为，购买B产品的概率为.第一次购买B产品的人第二次购买A产品的概率为，购买B产品的概率也是. (1)求某家庭第二次来，购买的是A产品的概率； (2)记第二次来购买产品的6家中有家购买A产品，求的分布列,均值和方差. (3)第(2)中的6个家庭中有多少家选择B产品的概率最大，最大概率是多少? 19.已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：； （3）若使方程三个不等根，求的取值范围. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $