精品解析：吉林长春市实验中学2025-2026学年下学期第一学程考试高二数学试卷

长春市实验中学 2025-2026学年度下学期第一学程考试 高二数学试卷 出题人：季东风 审题人：牛春芳 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 9 B. 12 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列性质即可求解. 【详解】因为数列为等比数列，所以是与的等比中项， 那么，解得. 2. 已知椭圆，则其焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由可得椭圆焦点在轴上，且， 则，则其焦距为. 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以，双曲线的焦点在x轴上， 又因为一条渐近线方程为, 所以，. 4. 已知的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，令，结合，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】由，可得其定义域为，且， 因为，令，即，即，解得， 所以函数的单调递减区间为. 5. 已知函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数研究单调性，进而求极大值，比较函数值大小即可求解. 【详解】由题意得，，令，得，解得或， 由，有，解得或， 由，有，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为， ，，因为， 所以的最大值为. 6. 若函数没有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数解析式，根据导数与极值的关系，对讨论求解即可． 【详解】. 函数没有极值，等价于其导函数的符号不发生改变. 因为是开口向上的抛物线，所以， 解得， 即当时，，在上单调递增，满足条件. 综上，函数没有极值时实数的取值范围为. 7. 如图，设有圆和定点，当从开始在平面内绕匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过90°），直线l扫过的圆内的面积是时间的函数，这个函数的图像只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于是匀速旋转，阴影部分面积在开始和最后时段增加慢，中间时段增加快. 选项A的图像表示的增速是常数，与实际不符，故A选项不符合题意； 选项B的图像表示最后时段增加快，与实际不符，故B选项不符合题意； 选项C的图像表示开始和最后时段增加快，中间时段增加慢，故选项C不符合题意； 选项D的图像表示开始和最后时段增加慢，中间时段增加快，符合实际，应选D. 8. 已知函数在时取到极大值，则实数c的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，求出，再检验可得答案. 【详解】由， 得， 因为函数在处有极大值， 所以，解得或， 当时，，令，得或， 当或时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以为极大值点，为极小值点，所以不符合题意， 当时，，令，得或， 当或时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以为极大值点，为极小值点，所以符合题意， 综上. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据常用函数的求导公式结合求导法则即可求解. 【详解】A选项，，所以A选项错误； B选项, ，所以B选项正确； C选项, ，所以C选项正确; D选项,，所以D选项错误; 10. 已知，则实数a，b的下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数的值域，以及函数和的单调性，结合不等式，即可求解. 【详解】由指数函数的值域为，可得， 当异号时，可得，不等式显然成立，所以A正确； 设，可得，所以在上为增函数， 当，则不等式，可得，即， 即，所以，所以D正确； 设，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增， 当，则不等式，可得，即， 即，所以或，所以C正确，B错误. 11. 已知，且函数有三个零点，，（）．下列命题正确的是（ ） A. 实数m的取值范围是 B. C. 取值范围是 D. 取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】运用导数与函数极值的相关知识，画出函数图象结合条件进行逐项分析可得. 【详解】令，得 ， 设，则 令，得 , x 极小值 极大值27 可得函数的大致图象， 对于A选项，由函数图象可得实数m的取值范围是，故 A选项错误； 对于B选项, ，故B选项正确； 对于C选项，根据韦达定理可知，，， , 所以，，C选项错误； 对于D选项，， ， 由于，所以，， 故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线，则在点的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】，故， 又，所以曲线在点的切线方程为， 即. 13. 如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．进行三次迭代得到的________． 【答案】 【解析】 【详解】，， ， 曲线在处的切线方程为，化简得 令，即，解得，即 ， 曲线在处的切线方程为，化简得 令，即，解得，即 ， 曲线在处的切线方程为，化简得 令，即，解得，即 进行三次迭代得到的的值为. 14. 若曲线与直线相切，则的最大值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】联立曲线与直线方程，消元并利用换元，得到关于的一元二次方程，借助于根的判别式与根的符号推得，且，再通过消元利用二次函数的性质求解即得. 【详解】依题意，方程组有唯一解，消去，得， 设，则得， 因此方程有两个相等的正根， 则判别式且 于是， 故当时，的最大值是2. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求函数在上的值域； （2）试讨论函数的极值． 【答案】（1） （2）当时，无极值；当时，处取极大值，极大值为处取极小值，极小值为. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，求出极值及端点函数值即可求出值域. （2）求出函数的导数，按分类讨论确定函数的单调性，进而求出极值. 【小问1详解】 当时，,， 令，得, 在上单调减，在上单调增，处取极小值也是最小值， 又因为, 所以，函数在上的值域为； 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，在R上单调增，无极值； 当时，令,得 令,得， 令,得， 所以，处取极大值，极大值为 处取极小值，极小值为. 综上，当时，恒成立，在R上单调增，无极值； 当时，处取极大值，极大值为 处取极小值，极小值为. 16. 已知曲线的焦点为且过点，是其上一点． （1）求的焦点坐标； （2）作曲线在点处的切线，由点作的垂线，垂足为，若，求点的坐标． 【答案】（1）焦点坐标为. （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先代入已知点求出参数以确定抛物线方程，再由标准形式确定焦点坐标. （2）先代入已知点求抛物线解析式，再设切线方程联立抛物线，利用判别式为 0 求出切线斜率与方程，由焦点作切线的垂线并联立求出垂足坐标，再用直角三角形面积公式列出等式，化简解方程得到横坐标，最后代入抛物线求得点 坐标. 【小问1详解】 曲线过点，代入得，解得. 则曲线的方程为，属于标准抛物线型. 对比得，即，焦点坐标为. 【小问2详解】 设点，满足， 由题可知切线斜率一定存在. 所以设切线的方程为，即. 联立抛物线与切线方程， 消去得. 因为直线与抛物线相切，所以判别式， 即， 整理得 将代入得，即，解得. 因此切线方程为， 整理得. 由向切线作垂线，垂足为， 因为切线斜率为，所以垂线斜率为， 垂线方程为，联立切线与垂线方程求交点: 代入解得. 三点坐标：，，. 因为，所以是直角三角形，. 所以面积. . 所以面积 由，得 ， 即. 不妨先设，则， . 两边同乘可得， 即. 可知时，. 所以， 二次方程的判别式，方程无实根， 故，. 同理可得，.如图所示: 综上，点的坐标为或. 17. 已知椭圆的左右焦点分别为，，是其上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于，两点，且，求． 【答案】（1）椭圆的标准方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意列出关于的方程，求解即得椭圆标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，结合条件求出，再由弦长公式计算即得. 【小问1详解】 由椭圆焦点，，得半焦距，故. 椭圆方程为，将点代入得： 化简得，即， 因，解得，则. 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 联立直线与椭圆方程： 消去得. 显然，由韦达定理，，(*). 由，得， 将(*)代入上式，可得， 化简得，解得，则，， 于是， 故. 18. 已知函数 （1）当时，求函数的最小值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 当时, 由，得 令，得，令，得; 令，得， 所以在处取得极小值，也是最小值，； 【小问2详解】 若，则, 由，得, 令，得，令，得， 所以在上递减，在上递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 即，解得， 所以的取值范围. 19. 已知函数． （1）证明：当，有唯一的极值点； （2）求使是单调函数的最大整数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，问题化为与，的交点个数，即可得； （2）结合（1）缩小a取值范围，再应用分类讨论，并利用导数研究单调性求参数最大值. 【小问1详解】 由题设且， 令，得 ， 对于且，则在R上单调递增且恒过点， 当时，，当时，， 对于，则， 故或时，时， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 时，时，且，， 所以在上的值域为，在上的值域， 其中，所以与在上存在一个交点， 综上，仅有一个变号零点，即时，有唯一的极值点； 【小问2详解】 由（1）得 当，有唯一的极值点，不可能是单调函数， 当时，，又，，不可能是单调， 所以，又，故需保证恒成立， 当时， 设，则，即在R上单调递增， 又，所以，存在，使， 在上，又，所以，不满足，舍； 当时， 令，则， 令，则， 令，则，故时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以，则在R上单调递增，且， 所以，存在使，则时，时， 所以，在上，单调递减，在上，单调递增， 所以，而且， 所以，则， 所以恒成立，即在R上单调递减， 综上，使是单调函数的最大整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学 2025-2026学年度下学期第一学程考试 高二数学试卷 出题人：季东风 审题人：牛春芳 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 9 B. 12 C. D. 2. 已知椭圆，则其焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数没有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，设有圆和定点，当从开始在平面内绕匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过90°），直线l扫过的圆内的面积是时间的函数，这个函数的图像只可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在时取到极大值，则实数c的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则实数a，b的下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且函数有三个零点，，（）．下列命题正确的是（ ） A. 实数m的取值范围是 B. C. 取值范围是 D. 取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线，则在点的切线方程为________． 13. 如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．进行三次迭代得到的________． 14. 若曲线与直线相切，则的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求函数在上的值域； （2）试讨论函数的极值． 16. 已知曲线的焦点为且过点，是其上一点． （1）求的焦点坐标； （2）作曲线在点处的切线，由点作的垂线，垂足为，若，求点的坐标． 17. 已知椭圆的左右焦点分别为，，是其上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于，两点，且，求． 18. 已知函数 （1）当时，求函数的最小值； （2）若，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）证明：当，有唯一的极值点； （2）求使是单调函数的最大整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $