精品解析：江苏南京市第六十六中学2026届高三下学期校内模拟预测数学试题

南京市第六十六中学高三数学校内三模 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可化简集合A，然后由交集定义可得答案. 【详解】由题，或，则. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，即， 则，所以. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 6 B. 9 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示进行计算即可. 【详解】由题意得， 又向量，则，所以，解得． 4. 已知函数在上单调，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由正切函数的单调递增区间为，求得函数的单调递增区间为；再根据函数在上单调，得，从而得到不等式组，确定的取值，结合的条件，确定的最大值. 【详解】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ，，解得； ，； ，得； 的最大值为. 5. 已知，则的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分区间求解的解集，结合函数单调性确定x的范围后，再代入解关于a的不等式即可. 【详解】 分情况讨论不等式的解： 当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增. 又， 因此. 综上，的解为. 将代入得，解得，即. 6. 如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得，，利用比例关系求得，，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解. 【详解】由椭圆的定义，，，且，， 所以设，，则，， 所以，，所以，， 设椭圆的半焦距为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， ，即， 化简得，即， 所以椭圆的离心率. 7. 已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项. 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 8. 已知，与在上有三个交点，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，从而可得出三点的坐标，再根据，得，结合数量积的坐标公式求解即可. 【详解】令，则， 即，化简得， 解得（舍去）， 因为，所以， 所以， 所以，， 由，得， 不妨设， 则， 由，得， 即， 解得（负值舍去）. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知，当时，可以认为，如果，当，可以认为.某校高中有学生人，近视人数有人.从中随机抽取人，记这人中近视人数为随机变量；若从中有放回的一个一个的抽查人，这人中近视人数为随机变量.则（ ） 附：若随机变量ξ服从正态分布，则，，． A. B. C. 随机变量的取值在之间的概率大于0.6826 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意符合超几何分布的特征，先确定参数，再验证是否小于，判断能否近似为二项分布；由题意符合二项分布的特征，先确定参数，再验证和是否均大于，判断能否近似为正态分布，计算对应正态分布的参数和；对于涉及概率计算的选项，先确定正态分布的和，再将所求区间转化为的形式，结合所给正态分布的概率取值规则计算对应概率；计算期望时，根据超几何分布和二项分布的期望公式分别计算和，验证对应选项的正确性即可. 【详解】由题意X服从超几何分布， 选项A：题目规定只有时，才可近似认为服从二项分布， 本题，不满足条件，因此A错误； 选项D：超几何分布的期望公式为， 代入得，因此D正确； 由题意Y服从二项分布， 选项B：计算得，，满足题目条件， 可近似认为，因此B正确； 选项C：由，得： ，， 即区间， ， 所以，故C正确. 10. 正三棱柱中，棱长均为3，在棱上，且（在上面），则（ ） A. 五面体的体积是定值 B. 与可能垂直 C. D. 当时，称五面体为刍甍，该刍甍体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据割补法计算体积分析ACD，建立空间直角坐标系分析B. 【详解】 对于AD，, 正三棱柱中，棱长均为3,所以, 设，则, , 故,AD正确； 对于B，以为原点，建立空间直角坐标系如图， 则，,, 所以,, 当时，，此时不在棱上，故错误； 对于C，因为平行于平面, 所以到平面的距离为的高， , 故, , 故正确. 11. 如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点，过与底面平行的平面绕点逆时针转动，截圆锥依次得到圆，椭圆，部分椭圆，抛物线，双曲线.则（ ） A. 截面中圆的面积为 B. 截面是完整椭圆的离心率最大是 C. 截面是抛物线的焦准距 D. 垂直于底面的双曲线截面的离心率为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出截面中圆的面积判断A；确定离心率最大的完整椭圆位置并求出离心率判断B；建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程，进而求解判断CD. 【详解】依题意，圆锥的底面圆半径，圆锥的高，， 对于A，由为母线的中点，得截面圆的半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，截面是完整椭圆的短轴可视为以点为圆心，为半径的圆垂直于的直径 沿投影到截面椭圆上，则短轴长，当椭圆经过点时，其长轴长取得最大值， 离心率取得最大值，，，B错误； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为原点，为x轴， 在平面中建立平面直角坐标系，则，，点， 设抛物线方程为，则，解得，则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误； 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为，则，，解得， ，所以双曲线的离心率为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若曲线，则曲线在的切线方程为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出切点，再根据导数的几何意义求出斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：由题可得， 当时，，， 所以切点坐标为，斜率为， 因此切线方程为，即. 13. 数学王老师在一个四选一的单选题中，提问一个数学基础非常差的甲同学，当甲同学随机选了一个选项后，王老师在剩余的三个选项中剔除了一个错误选项，甲同学放弃原来的选择，并从另外两个未被剔除的选项中随机选择一个，则甲同学选对的概率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】通过分类讨论甲首次选择正确、错误两种情况，结合全概率公式可得答案. 【详解】设事件为“甲第一次选对正确选项”，事件为“甲换选项后选对”， 甲随机从4个选项中选1个，故， 此时剩余3个选项均为错误选项，王老师剔除1个错误选项后， 剩余未选选项全错，因此条件概率； 甲第一次选错的概率， 此时剩余3个选项包含1个正确选项、2个错误选项， 王老师剔除1个错误选项后，剩余2个未选选项为1对1错， 甲换选项时从这2个中随机选取，因此条件概率； 根据全概率公式可得：  . 故答案为：. 14. 已知数列的通项公式，当时，均为素数，这40个素数中，被3除余2的数有___________个. 【答案】 27 【解析】 【分析】将数列通项模3化简，得到被3除余2时的模3特征，再统计1到40内符合条件的个数即可. 【详解】若整数被3除余2，则满足该数， 已知， 先计算41模3的结果：，故， 因此：，令， 化简得：， 因为3是素数，由于可得 或, 因此等价于或， 统计中符合条件的的个数： 满足的为1,4,...,40， 是首项为1、末项为40、公差为3的等差数列，项数为个； 满足的为3,6,...,39， 是首项为3、末项为39、公差为3的等差数列，项数为个， 所以符合条件的共14+13=27个，即对应被3除余2的素数有27个. 故答案为：27. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知在中，角的对边分别为，满足，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用余弦定理结合已知求出边，再利用正弦定理求出，再利用三角函数的性质求出的范围即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得， 又， 所以，即，所以， 由正弦定理得， 所以， 则， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 而， 故，所以， 所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 16. 已知数列中，其前项和记为，且. （1）数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； （2）若，记，求的前20项的和. 【答案】（1）当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得 ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. （2）600. 【解析】 【分析】（1）由与，构造出条件所给出的模型，直接判断等差数列； （2）由数列所给出的形式判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，通过分组求和直接求出的前20项的和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 17. ，两盒中各有10件产品，其中盒中有4件次品，盒中有5件次品. （1）在盒中随机取4件产品，这4件产品中次品数为变量，求变量的概率分布及. （2）若随机交换盒与盒中两件产品后，再从，盒中各随机取2件产品，这4件产品中次品数为变量，求. （3）甲乙两人轮流从A盒中和B盒中有放回地抽取一件产品，规则如下：甲先从A盒中抽取，抽到次品加一分后甲继续抽，若抽到正品换乙从B盒中继续抽，规则一样.求前10轮结束后，甲乙得分期望值的差？ 【答案】（1）则随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据不放回抽样的特点，确定随机变量的取值，并用组合数计算各取值对应的概率，再由分布列求数学期望． （2）固定产品交换后的结果，设两盒中的次品数分别为和．分别求从两盒中抽出的次品数的期望，再利用+=9求总期望． （3）按题意，一轮是某人从开始抽取到抽到正品为止．分别设甲、乙一轮的期望得分，利用有放回抽取后概率不变列方程，再根据前10轮中甲、乙各进行5轮求期望差． 【小问1详解】 由题意得服从超几何分布，的取值可能为， 则， ， 则随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 则. 【小问2详解】 固定一次交换后的结果，设交换后A盒、B盒中的次品数分别为和． 交换产品不会改变两盒中次品的总数，所以． 设从A盒、B盒中各取2件产品时，所取次品数分别为和，则． 在上述固定的交换结果下，从含有件次品的10件产品中随机取2件， 所取次品数的期望为；同理，． 因此，无论交换后两盒中的次品如何分配， 都有．故． 【小问3详解】 按题意，一轮是某人从开始抽取到抽到正品为止；抽到正品后，本轮结束并换另一人开始下一轮． 由于甲先开始，所以前10轮中甲进行第1，3，5，7，9轮，乙进行第2，4，6，8，10轮，即甲、乙各进行5轮． 甲从A盒抽取时，抽到次品的概率为，抽到正品的概率为． 设甲一轮的期望得分为． 若甲第一次抽到正品，本轮得分为0；若第一次抽到次品，甲先得1分， 再继续进行与开始时相同的有放回抽取过程，后续期望得分仍为． 因此．解得． 同理，乙从B盒抽取时，抽到次品和正品的概率均为． 设乙一轮的期望得分为，则，解得． 所以前10轮结束后，甲、乙得分期望值的差为． 18. 如图，在四棱锥中，，，15，25. （1）求证：面； （2）求证：二面角是直二面角； （3）在平面上求点，使面. 【答案】（1）如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO，因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O，也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，又因为，满足所以， 又，所以面； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系：则 易得，则，设，则， 因为 ，所以，解得，则 所以， 设平面PBC的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 设平面PCD的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 因为，所以，则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接BD，取BD的中点O，连接PO，易得平面ABCD，从而，再由得到，然后利用线面垂直的判定定理证明； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PBC和平面PDC，利用向量法求解； （3）根据面，得到，设，由求解. 【小问1详解】 如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO， 因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O， 也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD,所以， 又因为，满足 所以，又， 所以面； 【小问2详解】 以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系： 则 易得，则， 设，则 ，因为 ， 所以，解得， 则 所以， 设平面PBC的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 设平面PCD的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 因为，所以， 则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； 【小问3详解】 因为面，所以，设， 则， 因为， 所以， 解得， 则. 19. 已知到点的距离与到直线的距离相等，的轨迹为. （1）是轨迹的方程上一点，，求的最小值. （2）若直线过点交轨迹于两点，过分别作轨迹的切线，两切线交于点. （i）求的轨迹方程； （ⅱ）求到直线的距离的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）4 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义求出轨迹的方程，设出点的坐标，再利用两点间距离公式及导数求出最小值. （2）（i）设出点的坐标，求出切线方程，进而求得直线方程，再由直线过定点求出的轨迹方程；（ⅱ）利用点到直线的距离公式及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由点到点的距离与到直线的距离相等，得轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 因此轨迹的方程为，设点， 令， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以的最小值为. 【小问2详解】 （i）设点， 由题意知轨迹在点处的切线不垂直于轴，设切线的方程为， 由消去得，则， 而，则，即，解得， 所以切线的方程为， 整理得，同理得切线的方程为. 又直线过点，则， 因此点的坐标都满足方程，则直线的方程为. 又直线过点，则，解得， 所以点的轨迹方程为. （ⅱ）如图，由（i）知直线的方程为，则点到直线的距离 ， 当且仅当，即时取等号， 所以到直线的距离的最小值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市第六十六中学高三数学校内三模 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 6 B. 9 C. 4 D. 5 4. 已知函数在上单调，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知，则的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. D. 8. 已知，与在上有三个交点，若，则=（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知，当时，可以认为，如果，当，可以认为.某校高中有学生人，近视人数有人.从中随机抽取人，记这人中近视人数为随机变量；若从中有放回的一个一个的抽查人，这人中近视人数为随机变量.则（ ） 附：若随机变量ξ服从正态分布，则，，． A. B. C. 随机变量的取值在之间的概率大于0.6826 D. 10. 正三棱柱中，棱长均为3，在棱上，且（在上面），则（ ） A. 五面体的体积是定值 B. 与可能垂直 C. D. 当时，称五面体为刍甍，该刍甍体积为 11. 如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点，过与底面平行的平面绕点逆时针转动，截圆锥依次得到圆，椭圆，部分椭圆，抛物线，双曲线.则（ ） A. 截面中圆的面积为 B. 截面是完整椭圆的离心率最大是 C. 截面是抛物线的焦准距 D. 垂直于底面的双曲线截面的离心率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若曲线，则曲线在的切线方程为_______________. 13. 数学王老师在一个四选一的单选题中，提问一个数学基础非常差的甲同学，当甲同学随机选了一个选项后，王老师在剩余的三个选项中剔除了一个错误选项，甲同学放弃原来的选择，并从另外两个未被剔除的选项中随机选择一个，则甲同学选对的概率为________. 14. 已知数列的通项公式，当时，均为素数，这40个素数中，被3除余2的数有___________个. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知在中，角的对边分别为，满足，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 16. 已知数列中，其前项和记为，且. （1）数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； （2）若，记，求的前20项的和. 17. ，两盒中各有10件产品，其中盒中有4件次品，盒中有5件次品. （1）在盒中随机取4件产品，这4件产品中次品数为变量，求变量的概率分布及. （2）若随机交换盒与盒中两件产品后，再从，盒中各随机取2件产品，这4件产品中次品数为变量，求. （3）甲乙两人轮流从A盒中和B盒中有放回地抽取一件产品，规则如下：甲先从A盒中抽取，抽到次品加一分后甲继续抽，若抽到正品换乙从B盒中继续抽，规则一样.求前10轮结束后，甲乙得分期望值的差？ 18. 如图，在四棱锥中，，，15，25. （1）求证：面； （2）求证：二面角是直二面角； （3）在平面上求点，使面. 19. 已知到点的距离与到直线的距离相等，的轨迹为. （1）是轨迹的方程上一点，，求的最小值. （2）若直线过点交轨迹于两点，过分别作轨迹的切线，两切线交于点. （i）求的轨迹方程； （ⅱ）求到直线的距离的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $