江苏省南京市大厂高级中学2024届高三三模数学试题

高三数学 2024.5. 命题人 李晓怡 审核人 李传喜 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试卷共4页 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是（ ） A. 90 B. 75 C. 95 D. 70 2. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 4. 为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（ ） A. 1.4 B. 1.45 C. 1.5 D. 1.55 5. 已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差的等差数列，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部（包含边界），且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数、，下列说法正确的是（ ） A. B. 若， C. 若，则 D. 10. 对于事件与事件，若发生的概率是0.72，事件发生的概率是事件发生的概率的2倍，下列说法正确的是（ ） A. 若事件与事件互斥，则事件发生的概率为0.36 B. C. 事件发生的概率的范围为 D. 若事件发生的概率是0.3，则事件与事件相互独立 11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中项的系数为___________. 13. 已知直线x+y=a与圆交于A､B两点，且，其中O为坐标原点，则实数a的值为________. 14. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且． （1）求角的值； （2）求面积的取值范围． 16. 已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在斜三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A在C上，当轴时，；当时，. （1）求C的方程； （2）已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线交于点Q，且点M，N在直线的两侧，点．若，是否存在到直线l的距离的P点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，设正项数列满足：， ①求证：； ②求证：. 高三数学 2024.5. 命题人 李晓怡 审核人 李传喜 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试卷共4页 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】42 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：时，，即. 又，也符合， 所以时，，即. 又，所以， 所以，所以数列成等比数列. （2）. 【17题答案】 【答案】（1）证明如下： 如图，连接. 因为四边形是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，则. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为，，所以. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）存在， 【19题答案】 【答案】（1） 函数在上单调递增，在上单调递减 （2）①证明如下： 当时，， 令，可得， 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 又由函数在为单调递增函数， 所以，所以， 得， 所以， 所以， 相乘得，，即得证. ②证明如下： 因为，且，可得，， 当时，， ，所以，又， 所以， 所以当时，， 所以，， 所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $