精品解析：山西朔州市怀仁市怀仁大地高中学校2025-2026学年高一数学下学期第二次月考考试题

怀仁大地高中学校2025-2026学年度下学期第二次月考考试 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选图其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】 ， 又， ，解得． 2. 为庆祝中国共产党成立100周年，上饶市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，某高中学校分别有高一、高二、高三学生1200人、1000人、800人，现欲采用分层随机抽样法组建一个30人的高一、高二、高二学生红歌传唱队，则应抽取高三学生（ ） A. 6人 B. 8人 C. 10人 D. 12人 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的计算公式即可求解． 【详解】依题意，设应抽取高三学生人， 则，解得， 所以应抽取高三学生人. 故选：B． 3. 已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（     ）. A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直观图面积，再根据原图形与直观图面积关系求解. 【详解】根据题意，可知是等腰直角三角形，又， 所以，故， 所以原平面图形的面积. 故选：D. 4. 把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球．事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是(　　) A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥事件 D. 必然事件 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球.，所以白球只能分给某一个人，那么分给了甲，就不能分给乙，因此不能同时发生，所以是互斥事件，选C 5. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于 A. AC B. A1D1 C. A1D D. BD 【答案】D 【解析】 【分析】在正方体内结合线面关系证明线面垂直，继而得到线线垂直 【详解】，平面，平面， 则平面 又因为平面 则 故选D 【点睛】本题考查了线线垂直，在求解过程中先求得线面垂直，由线面垂直的性质可得线线垂直，从而得到结果 6. 由小到大排列的4个数据1，3，5，的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由极差、中位数、百分位数的定义求解即可； 【详解】这四个数据的极差为，中位数为． 由题意，得，解得． 因为， 所以所求为． 故选：B． 7. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可. 【详解】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确. 故选：D. 8. 若个样本、、、、的平均数是，方差为，则对于样本、、、、的平均数与方差分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】D 【解析】 【分析】设、、、、的平均数为，方差为，求出、的值，利用平均数和方差公式可求得样本、、、、的平均数与方差. 【详解】设、、、、的平均数为，方差为， 则，， 由题意可得 ，则， ， 所以， 样本、、、、的平均数为 ， 方差为 . 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线⊥平面，直线⊂平面．则下列结论正确的是（ ） A. B. ⊥ C. D. ⊥ 【答案】AC 【解析】 【详解】对于选项A：若，由，得，又，故，A正确. 对于选项B：若，，则或，结合，与可能平行、相交或异面，B错误. 对于选项C：若，由，得，又，故，C正确. 对于选项D：若，，则或，结合，与可能平行或相交，D错误. 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解 . 【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误； 对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误； 对于C中，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C正确； 对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：CD. 11. 某中学对参加高一年级参加体质测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其中成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为5人．则（ ） A. 的值为0.015 B. C. 中位数为75 D. 平均数为73 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合频率分布直方图逐项分析判断. 【详解】由题意可知：每组的频率依次为， 所以，解得，故A正确； 因为成绩在区间内的学生人数为5人，频率为， 所以，故B正确； 因为，， 所以中位数在内，设为， 则，解得，故C错误； 平均数为，故D错误； 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB、CD的中点，若EF＝，求异面直线AD、BC所成角的大小是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设G为AC的中点,由已知中,E、F分别是AB、CD的中点,若EF＝,根据三角形中位线定理,我们易求出为异面直线AD、BC所成的角(或其补角),解三角形EGF即可得到答案． 【详解】 设G为AC的中点,因为E、F分别是AB、CD中点 所以为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)三角形中， 即异面直线AD、BC所成的角为 【点睛】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,其中根据已知三角形中位线定理得到为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)是解答本题的关键． 13. 向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据和事件的关系定义判断即可. 【详解】设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”“点数为2或4或6”， 则. 故答案为：. 14. 若，，…，的平均数、方差分别是2和1，则的平均数为______，方差为______. 【答案】 ①. 8 ②. 9 【解析】 【分析】根据平均值和方差公式计算得到答案. 【详解】，的方差 故答案为：； 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，记忆公式是解题的关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，其中. （1）若复数为实数，求的取值范围； （2）求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由复数为实数，则，即可求解的取值范围； （2）根据题意，求得，由模的计算公式得，即可求解，得到答案. 【详解】（1）由复数为实数，则，解得， 即复数为实数，求的取值范围为； （2）因为， 所以， 故的最小值为，此时 【点睛】本题主要考查了复数的分类，以及复数的模的计算，其中解答中熟记复数的分类，以及复数的模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16. 在中，角所对的边分别为，已知，， （1）求角的大小； （2）若中点为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简，结合余弦定理计算求解； （2）利用基本不等式求出最大值，根据平面向量基本定理计算求解． 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， ，． 【小问2详解】 ， ， ，当且仅当时，等号成立，故， D为的中点，， ， 即， ，故AD的最小值为． 17. 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点． （1）求证： 平面； （2）求点D到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据已知证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理得出线面平行； （2）根据线面平行判定定理得出平面，再结合等体积法及三棱锥体积公式计算求解. 【小问1详解】 取的中点G，连接， 因G、E分别为的中点，所以， 又则， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面平面，则平面． 【小问2详解】 因平面平面，所以且， 因，所以，又，平面， 则平面，又平面，则， 由，得， 设点D到平面的距离为h，连接．则， 即， 即， 解得， 则点D到平面的距离为． 18. 某单位举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有100人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计年龄落在区间内的人的年龄的平均数（结果保留一位小数）； （2）若这100人的原始数据中第三组的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1. ①据此计算这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差. ②将所得平均数与（1）中平均数的估计值作比较，解释其有差异的原因. 【答案】（1）35.8 （2）①平均数为36，方差为15；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）取数据的中间值作为样本数据的代表值估算即可； （2）①借助样本与方差的关系计算即可得；②分析数据差异的原因，言之有理即可. 【小问1详解】 平均数； 【小问2详解】 ①设这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差分别为、 则， ②，其有差异的原因为（1）中平均数是取数据的中间值作为样本数据的代表值估算的， 而所得平均数是以具体的数据计算而得，因此不相等. 19. 如图所示，正方体的棱长为1，，求： （1）与所成角的度数； （2）与平面所成角的正切值； （3）平面与平面所成二面角的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质，利用几何法求异面直线所成角； （2）根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法求线面角； （3）根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法求面面角． 【小问1详解】 由题意得， 或其补角即为与所成的角， 在正方体中，平面， 平面，， 又，且， 平面， 平面， ， 在中，，， ， ， 即与所成角的度数为． 【小问2详解】 如图所示，过点O作于点E，连接， 平面平面，且交线为， 平面，从而即为与平面所成的角， 在中，，， ， 即与平面所成角的正切值为． 【小问3详解】 由(1)知，平面， 又平面， 平面平面， 即平面与平面所成二面角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁大地高中学校2025-2026学年度下学期第二次月考考试 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选图其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 为庆祝中国共产党成立100周年，上饶市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，某高中学校分别有高一、高二、高三学生1200人、1000人、800人，现欲采用分层随机抽样法组建一个30人的高一、高二、高二学生红歌传唱队，则应抽取高三学生（ ） A. 6人 B. 8人 C. 10人 D. 12人 3. 已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（     ）. A. B. 1 C. D. 4. 把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球．事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是(　　) A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥事件 D. 必然事件 5. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于 A. AC B. A1D1 C. A1D D. BD 6. 由小到大排列的4个数据1，3，5，的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 7. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若个样本、、、、的平均数是，方差为，则对于样本、、、、的平均数与方差分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线⊥平面，直线⊂平面．则下列结论正确的是（ ） A. B. ⊥ C. D. ⊥ 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 11. 某中学对参加高一年级参加体质测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其中成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为5人．则（ ） A. 的值为0.015 B. C. 中位数为75 D. 平均数为73 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB、CD的中点，若EF＝，求异面直线AD、BC所成角的大小是__________． 13. 向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数为2或4”，事件“点数为2或6”，事件“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是_____． 14. 若，，…，的平均数、方差分别是2和1，则的平均数为______，方差为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，其中. （1）若复数为实数，求的取值范围； （2）求的最小值. 16. 在中，角所对的边分别为，已知，， （1）求角的大小； （2）若中点为，求的最小值． 17. 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点． （1）求证： 平面； （2）求点D到平面的距离． 18. 某单位举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有100人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计年龄落在区间内的人的年龄的平均数（结果保留一位小数）； （2）若这100人的原始数据中第三组的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1. ①据此计算这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差. ②将所得平均数与（1）中平均数的估计值作比较，解释其有差异的原因. 19. 如图所示，正方体的棱长为1，，求： （1）与所成角的度数； （2）与平面所成角的正切值； （3）平面与平面所成二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $