精品解析：吉林省实验中学2025-2026学年高二下学期学程性考试（二）数学试题

绝密★启用前 吉林省实验中学2025-2026学年度下学期 高二年级学程性考试（二） 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（ ） A. 匀速直线运动中时间与位移的关系 B. 学生的成绩和身高 C. 一块农田的小麦产量与施肥量 D. 正n边形的边数与内角度数之和 2. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为( ) A. 12 B. 24 C. 48 D. 120 4. 设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（ ） 0 1 2 A. 1 B. C. D. 5. 已知随机变量X服从正态分布，若，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，则不同的游览方式共有（ ）种 A. 12 B. 18 C. 36 D. 72 8. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动9次，则质点最可能移动到的位置是（ ） A. 7或 B. 1或 C. 3或 D. 5或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若回归方程为，则变量x与y正相关 B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本中心点 C. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数 D. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 11. 已知甲口袋中装有个红球，个白球，个黑球，乙口袋中装有个红球，个白球，个黑球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件、、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件A和B满足，，，则__________． 13. 若在上单调递增，则a的最大值为_________. 14. 设．若n是大于3的偶数，则除以1225的余数是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，二项式系数和为 （1）求的值并求展开式中的常数项； （2）求展开式中的系数． 16. 文旅部门统计了某网红景点在2025年3月至7月的旅游收入（单位：万），得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 旅游收入 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数， 参考数据：．线性回归方程：，其中，． ． 临界值表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生．该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． （1）求乙恰好答对两个问题的概率； （2）请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理? 18. 已知一个不透明的箱子内装有大小质地一样，只有颜色不同的6个小球，其中4个红球，2个白球，现从箱子内不放回地逐一依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时就停止取球．用X表示停止取球时取出的小球的总数，用Y表示停止取球时箱子内剩余的白球个数． （1）求； （2）求； （3）求Y的分布列及期望． 19. 已知函数． （1）若曲线在处的切线经过点，求的值； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围； （3）若有两个不同的零点，，证明：． 附加题． 20. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 吉林省实验中学2025-2026学年度下学期 高二年级学程性考试（二） 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（ ） A. 匀速直线运动中时间与位移的关系 B. 学生的成绩和身高 C. 一块农田的小麦产量与施肥量 D. 正n边形的边数与内角度数之和 【答案】C 【解析】 【详解】A、D是函数关系；B是不相关关系，也不是函数关系； C是相关关系，一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多. 2. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用初等函数求导公式与复合函数求导公式逐项分析即可. 【详解】选项A，，故A错误； 选项B，，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误. 3. 五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为( ) A. 12 B. 24 C. 48 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】借助捆绑法把相邻的甲乙打包，分单元内部排序、整体全排列两步相乘求解排列总数. 【详解】将甲、乙捆绑合并为1个单元，单元内部的站位排列数为， 剩余3人与该单元构成4个独立元素，4个元素全排列的排列数为. 可得总站法种数. 4. 设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（ ） 0 1 2 A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列可得，进而可计算数学期望，再根据数学期望的性质计算求解. 【详解】因为，即， 所以， 则. 5. 已知随机变量X服从正态分布，若，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为X服从正态分布，所以正态曲线关于对称， 又因为，则， 且，即， 可知a与3是关于对称的，所以． 6. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数的值域为. 7. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，则不同的游览方式共有（ ）种 A. 12 B. 18 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】先将4个主题按2,1,1的结构分组，再将三组分配给3名游客，结合分步乘法计数原理计算即可. 【详解】先将4个主题分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为； 再将分好的三组全排列，分配给3名不同的游客，排列方法数为； 根据分步乘法计数原理，总游览方式共有种. 8. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动9次，则质点最可能移动到的位置是（ ） A. 7或 B. 1或 C. 3或 D. 5或 【答案】B 【解析】 【分析】首先得出最终位置的分布满足二项分布，然后求出位置对应的概率，最后根据组合数的性质即可求解. 【详解】 设9次移动中，质点向正方向移动（），则向负方向移动次， 最终位置为： ， 每次向正/负方向移动概率均为，因此位置对应的概率为 ， 概率大小由组合数决定， 组合数​满足“先增后减，中间最大”， 当时，最大的组合数为，即和时概率最大， 时，， 时，， 因此质点最可能移动到的位置是或. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若回归方程为，则变量x与y正相关 B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本中心点 C. 若散点图中所有点都在直线上，则相关系数 D. 若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线性回归方程的相关性判断、经验回归直线的性质、相关系数的定义、决定系数的意义逐项分析判断即可. 【详解】选项A：回归方程的斜率为，所以变量与负相关，A错误. 选项B：根据经验回归直线的性质，回归直线一定经过样本点中心，B正确. 选项C：若散点图中所有点都在斜率为正的直线上，则两个变量完全正相关，相关系数，C错误. 选项D：决定系数的取值越接近1，则残差平方和越小，回归模型对样本数据的拟合效果越好，D正确. 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项式系数相等求出的值，根据二项式定理、二项式系数的性质、二项式系数和、及赋值法求解即可. 【详解】选项A：二项式展开中第项的二项式系数为，由题意知，解得，A正确. 选项B：二项式展开的二项式系数和恒为，时，二项式系数和为，B正确. 选项C：令，代入得，C正确. 选项D：令，得常数项， 令，代入原式得， 两式相减得，D错误. 11. 已知甲口袋中装有个红球，个白球，个黑球，乙口袋中装有个红球，个白球，个黑球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件、、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项：由乘法公式计算即得；B选项：运用全概率公式求解即得；C选项：由贝叶斯概率公式计算即得；D选项：利用条件概率公式分别计算和，比较两个概率的大小即可. 【详解】对于A，由概率的乘法公式得，所以A正确； 对于B，由全概率公式得 ，故B错误； 对于C，由贝叶斯公式得，故C正确； 对于D，由条件概率公式得， ，因，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件A和B满足，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】由，得 . 所以. 13. 若在上单调递增，则a的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据可导函数在上单调递增的充要条件是导函数非负恒成立，将问题转化为求参数小于等于构造的新函数的最小值，进而求新函数的最小值即为的最大值. 【详解】已知在上单调递增，故对任意，都有恒成立， 对求导得， 因此不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，只需满足即可，又， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此是的极小值点，也是最小值点， 代入得，即的最大值为. 14. 设．若n是大于3的偶数，则除以1225的余数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理化简，再将偶数换元为并展开，可证是1225的倍数，即可求得. 【详解】因为， 所以， 若是大于3的偶数，令， 则 ， 因为对，， 所以能被1225整除，故余数为0，即余数是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，二项式系数和为 （1）求的值并求展开式中的常数项； （2）求展开式中的系数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合二项式系数的性质求出，进而求出的展开式的通项公式，从而求出常数项； （2）根据（1）的结论明确问题并求出含和的项，从而求出展开式中的系数． 【小问1详解】 已知二项式系数和为，则，解得， 则的展开式的通项公式为：， 令得， 的展开式的常数项为． 【小问2详解】 ，则问题为求展开式中的系数， 由于， 由（1）知的展开式的通项公式为：， 则展开式中含的项为， 展开式中含的项为， 展开式中含的项为，故其系数为． 16. 文旅部门统计了某网红景点在2025年3月至7月的旅游收入（单位：万），得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 旅游收入 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数， 参考数据：．线性回归方程：，其中，． ． 临界值表： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）可用线性回归模型拟合与的关系，． （2）能够在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联” 【解析】 【分析】（1）计算，从而得出可用线性回归模型拟合与的关系，再根据最小二乘法求出即可得解. （2）补全列联表，计算卡方的值，进而判断即可. 【小问1详解】 由已知得： ，，，，， ，因为 ， 说明与的线性相关关系很强． 可用线性回归模型拟合与的关系， ， 则关于的线性回归方程为：． 【小问2详解】 列联表如下所示： 喜欢 不喜欢 总计 男 70 30 100 女 40 60 100 总计 110 90 200 根据列联表中数据，， 所以能够在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 17. 某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生．该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． （1）求乙恰好答对两个问题的概率； （2）请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理? 【答案】（1） （2）选择甲去参赛更合理 【解析】 【分析】（1）结合二项分布定义进行求解即可； （2）根据超几何分布求出“甲回答问题的正确个数”的分布列、数学期望和方差，结合二项分布的定义求出“乙回答问题的正确个数”的数学期望和方差，最后利用数学期望和方差的性质进行判断即可 【小问1详解】 由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则， 则乙恰好答对两个问题的概率为. 【小问2详解】 令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为， 则所有可能的取值为， 则，，， 所以， 由题意，随机变量，所以， 又，， 所以， 可见乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，所以选择甲去参赛更合理． 18. 已知一个不透明的箱子内装有大小质地一样，只有颜色不同的6个小球，其中4个红球，2个白球，现从箱子内不放回地逐一依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时就停止取球．用X表示停止取球时取出的小球的总数，用Y表示停止取球时箱子内剩余的白球个数． （1）求； （2）求； （3）求Y的分布列及期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列： 数学期望为 【解析】 【分析】（1）事件“”包含箱子内剩余2个白球或剩余2个红球，利用古典概型公式即可求解； （2）当时，对进行分类讨论，由此求得. （3）根据、，结合古典概型概率计算公式求得分布列并求得数学期望. 【小问1详解】 由题意得：事件“”包含箱子内剩余2个白球或剩余2个红球， 法一：考虑2个白球的位置，得到剩余2个白球的概率为， 剩余2个红球（前3次中有一次取白球，第4次取白球）的概率为. 法二：考虑前4次取球的排列情况， 剩余2个白球（前4次取出的都是红球）的概率为， 剩余2个红球（前4次取出2个白球2个红球， 且前3次中有一次取白球，第4次取白球）的概率为. 所以； 【小问2详解】 由题意知，当时，满足题意， 所以表示取出2个白球，剩余4个红球，所以， 得到表示取出3个球，且前两次取出1白1红，第3次取出的是白球， 剩余3个红球，所以， 得到表示取出4个球，且前3次取出1白2红，第4次取出的是白球， 剩余2个红球，所以， 得到表示取出5个球，且前4次取出1白3红，第5次取出的是白球， 剩余1个红球，所以， 所以； 【小问3详解】 由题意得的可能取值为，由（2）知， 当时，，表示取出5个球， 且前4次取出1白3红，第5次取出红球，剩1个白球，则， 当时，，表示前4次取出4个红球，剩余2个白球，， 所以的分布列为： 所以. 19. 已知函数． （1）若曲线在处的切线经过点，求的值； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围； （3）若有两个不同的零点，，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，两种情况讨论求解即可； （3）由已知，转化为，进行求解，要证，转化为证明，进而构造，判断单调性，进而求证即可. 【小问1详解】 由题意得：，即切点为． 因为，则． 据题意，切线经过点，则，解得． 【小问2详解】 由题意得， 若，因为，则恒成立， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； 若，令，得，令，得， 则在内单调递减，在内单调递增，所以为的极小值点， 由已知，，即， 则，即，得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 证明：由已知，，即， 两式相乘，得， 即，所以， 由（2）得当时，在上单调递增，至多1个零点，不符合题意，所以， 因为，则，同理，要证，即证， 即证，即证，即证， 即证，即证． 不妨设，由（2）知，，则． 因为在上单调递增，即证， 而，即证． 设， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以恒成立，则在上单调递增． 因为，则， 即，即，所以原不等式成立． 附加题． 20. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：． 【答案】（1）函数在上单调递增； （2）证明：依题意，抽取的20个号码互不相同的概率为， 而，同理，，，，， 因此，即， 当时，由（1）知，函数在上单调递增， 所以. 即当时，，取，得， 即，则，因此， 所以， 所以 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间. （2）先求得的表达式，然后结合导数证得不等式成立. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 所以函数在上单调递增. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $