吉林长春市第十七中学2025-2026学年高二下学期第二学程考试数学试题

**基本信息** 长春市第十七中学2025-2026下学期第二学程数学期中试卷，涵盖函数、数列、解析几何等核心内容，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、运算推理及几何直观能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数单调性、等差数列前n项和、双曲线方程|第7题结合导函数图像判断单调性，考查几何直观| |多选题|3/18|椭圆焦点性质、等差数列前n项和最值|第11题分析等差数列Sₙ最大值，检测推理能力| |填空题|3/15|等比数列性质、曲线切线方程|第13题求曲线在某点切线方程，强化运算能力| |解答题|5/77|等比数列通项与求和、函数极值与零点、导数证明不等式|19题证明不等式恒成立，综合考查数学思维与表达|

长春市第十七中学 2025—2026学年度下学期第二学程考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：刘妍妍 校对人：张莉静 一．单选题 1-8 DDACC ACD 二．多选题 9. BD 10.ABD 11.AC 三．填空题 12. 13. 14. 四．解答题 15（13分）．等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 【答案】（1）或 . （2）. 【难度】0.94 【知识点】等比数列的前n项和、写出等比数列的通项公式 【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m． 详解：（1）设的公比为，由题设得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，则．由得，此方程没有正整数解． 若，则．由得，解得． 综上，． 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题． 16（15分）．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】(1)(2)证明见详解【难度】0.85 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】（1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. 【详解】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. （2）证明：设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 17（15分）.给定函数， （1） 判断函数的单调性，并求出的极值. （2） 若方程=a有且只有2个零点，求参数a的取值范围. 18（17分）．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)(2)见解析【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项、利用等差数列通项公式求数列中的项 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 19（17分）．已知函数 (1)求的单调区间； (2)证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析(2)见解析【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第十七中学 2025—2026学年度下学期第二学程考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：刘妍妍 校对人：张莉静 1． 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若，则（   ） A． B．6 C．-3 D．3 2．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．1 5．函数在上的最大值是（    ） A．0 B． C． D．　 6．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D．数列为单调递增数列 7．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 8.已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋2)>(x－2)f(x2－4)的解集是(　　) A．(0,1) B． (2，＋∞) C．(2，3) D．(3，＋∞) 2． 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，答对部分给部分分，答错不给分） 9.下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 10．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A． B．离心率 C．的面积为3 D．的周长为12 11．已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为33 3． 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为 13．在曲线上的点(1,-1)处的切线方程为 14．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线4x-3y-5=0的距离为 四．解答题（本题共5小题，共77分） 15（13分）．等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 16（15分）．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 17（15分）.给定函数， （1） 判断函数的单调性，并求出的极值. （2） 若方程=a有且只有2个零点，求参数a的取值范围. 18（17分）．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 19（17分）．已知函数 (1)求的单调区间； (2)证明：当时，恒成立． ( — 　 1 　 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $■3■ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 可湖可 长春市第十七中学 盟 百爵 2025一2026学年度下学期第二学程考试数学试题答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 准考证号 注意事项 [0] [0] [0] [0] [0] [0] [o] [o] 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净 [2] [2] [2] [2] [2] [2] 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] [3] 3 [3] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 5. 保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5] [ [5] [5 [6] [6] [6] [6] [6] 6 [6] 6 正确填涂 缺考标记 口 [ [7] [7] [7] [7] [ [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8l [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(1~8为单选题；9~11为多选题 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12 13. 14. 解答题 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) 17.(15分) 囚囚■ ■ ■ 18.(17分) 1 19.(17分) 1 囚■囚 ■ 口 请勿在此区域作答或 者做任何标记 囚■囚 ■