精品解析：上海交通大学附属第二中学2025-2026学年七年级下学期 阶段测试数学试卷

2025学年第二学期阶段测试2七年级数学试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列数中，能使不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与是（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 4. 如图，在中，若，平行于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个等腰三角形的两边分别为3和7，那么这个三角形的周长是（    ） A. 13 B. 15 C. 19 D. 17 6. 如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. a的2倍与5的和是负数，用不等式表示为________． 8. 不等式的解集是________． 9. 如图，直线a，b所夹锐角的度数为________． 10. 如图，已知，，则________． 11. 如图，已知，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，则________，________°． 12. 不等式的正整数解为________． 13. 三角形的两边长分别为1和5，则第三条边a的取值范围是________． 14. 一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若，则________． 15. 如图，已知直线、相交于点，平分，如果，那么__________度． 16. 如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是______． 17. 如图，在长方形中，，现将这一长方形纸片沿折叠，若使平行于，则________． 18. 为了描述不同大小等腰三角形的形状特征，定义其顶角的一半与底角的比值为“伸缩比”，伸缩比越小，则等腰三角形越“细长”．等边三角形的“伸缩比”为________．已知锐角三角形ABC是一个等腰三角形，其伸缩比不小于，则这个等腰三角形顶角的取值范围是________． 三、解答题（满分64分） 19. 解不等式组，并利用数轴确定其解集 20. 关于x、y的二元一次方程组的解满足，求数m应满足的条件． 21. 某学校组织数学游园会活动，10个会场累计游玩人次达800人次，七（5）班由同学甲和乙负责统计人数，同学甲说：“我负责前半小时，观察到平均每10分钟有16个同学在这里游玩然后离开”．但同学乙遗失了自己的数据，事后老师统计发现：该班游玩人次至少为全部会场游玩总人次的．请问乙同学统计人次至少为多少？ 22. 如图，已知在中，是的一个外角，且，求的度数． 23. 如图，、、共线，、、共线，已知，，证明：平行于． 24. 根据命题描述，适当画图并证明 证明：等腰三角形底边上的中线上任意一点到两腰的距离相等 25. 按要求完成尺规作图 （1）已知直线和外一点P，过点P作直线的平行线； （2）已知直线和外一点Q，过点Q作直线的垂线； 26. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上． （1）如果AD⊥BC，BE⊥AC，试证明∠APE＝60°的理由； （2）如果BD＝EC，那么“∠APE＝60°”是否还能成立？请说明理由． 27. 在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于点D． （1）如图1，过点C作 CF⊥AD于F，延长CF交AB于点E．连接DE． ①说明AE＝AC的理由； ②说明BE＝DE的理由； （2）如图2，过点B作直线BM⊥AD交AD延长线于M，交AC延长线于点N．说明CD＝CN的理由． 28. 在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，，连接． （1）如图，当点D在的延长线上移动时，求证：； （2）设，． ①当点D在线段的延长线上移动时，与之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点D分别在线段上、线段的反向延长线上移动时，与之间有什么数量关系？请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期阶段测试2七年级数学试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列数中，能使不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解给定的一元一次不等式，得到的取值范围，再对比各选项，找出满足不等式的数即可． 【详解】解：，则， 对比选项，只有，满足不等式． 2. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可． 【详解】已知，根据不等式基本性质逐一判断： 对于A选项，∵ 不等式两边加同一个数，不等号方向不变，∴ ，A错误； 对于B选项，∵ 不等式两边减同一个数，不等号方向不变，∴ ，B错误； 对于C选项，∵ 不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，∴ ，C正确； 对于D选项，∵ 不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，∴ ，D错误． 3. 如图，与是（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义判断即可． 【详解】解：与都在截线的左侧，且都在两条被截线之间， ∴与是同旁内角． 4. 如图，在中，若，平行于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，根据平行公理的推论可得，利用两直线平行内错角相等建立角之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ． 5. 如果一个等腰三角形的两边分别为3和7，那么这个三角形的周长是（    ） A. 13 B. 15 C. 19 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】题目未明确腰和底，需要分情况讨论，再验证能否构成三角形，舍去不符合题意的情况后再计算周长． 【详解】解：①若3为腰长，7为底边长， ∵ ，不满足三角形三边关系， ∴ 该三角形不存在，舍去这种情况； ②若7为腰长，3为底边长， ∵ ，，满足三角形三边关系， ∴ 这个三角形的周长为． 6. 如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等腰三角形的“三线合一”和三角形中线平分其面积的性质，可推出的面积是面积的一半． 【详解】解：，且平分， 为的中线，为中点， 为的中线， ，， ，， ，即， ， ． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. a的2倍与5的和是负数，用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意将题目中的数量关系转化为代数式，再根据和为负数列出不等式即可． 【详解】解：的倍表示为，与的和表示为，负数是小于的数， 因此用不等式表示为． 8. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】按照一元一次不等式的解法步骤求解，解题过程中需要注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变． 【详解】解：， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 两边同时除以，得． 9. 如图，直线a，b所夹锐角的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据邻补角的定义，两条直线相交形成的邻补角之和为，利用这一性质即可求出直线，所夹锐角的度数． 【详解】解：由图可知，直线，相交，其中一个角为， 因为直线，所夹的锐角与的角互为邻补角， 所以直线，所夹锐角的度数为． 10. 如图，已知，，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据  利用平行线的判定定理得出 ，再利用平行线的性质定理得出，代入数据计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 11. 如图，已知，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，则________，________°． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，由可得，，再利用三角形内角和定理求出的度数即可求解． 【详解】解：因为，且顶点，，分别与顶点，，对应， 所以，， 由图可知， 所以， 在中，根据三角形内角和定理，， 因为，， 所以， 所以， 即． 12. 不等式的正整数解为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 不等式各边同时减，得， 计算得， 不等式各边同时除以，根据不等式的性质，不等号方向改变，得， 即不等式的解集为， 因此不等式的正整数解为． 13. 三角形的两边长分别为1和5，则第三条边a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：设第三边的长为，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得：， ． 14. 一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若，则________． 【答案】##105度 【解析】 【分析】由三角板可得，，，设与交于点，在中利用三角形内角和定理求出，利用对顶角相等求出，再在中利用三角形内角和定理求出，最后利用平角的定义即可求． 【详解】解：如图，设与交于点 由三角板得：，，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵点在上， ∴． 15. 如图，已知直线、相交于点，平分，如果，那么__________度． 【答案】80 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义，求出∠BOC的度数，再根据邻补角的和等于180°求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴, 故答案为：80． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，属于基础题． 16. 如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的周长即可得到结论． 【详解】解：，是的平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 17. 如图，在长方形中，，现将这一长方形纸片沿折叠，若使平行于，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用长方形的性质求出再根据折叠的性质得到，最后利用平行线的性质与等量代换求出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵ ∴ ∵是由沿折叠而得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 18. 为了描述不同大小等腰三角形的形状特征，定义其顶角的一半与底角的比值为“伸缩比”，伸缩比越小，则等腰三角形越“细长”．等边三角形的“伸缩比”为________．已知锐角三角形ABC是一个等腰三角形，其伸缩比不小于，则这个等腰三角形顶角的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：∵等边三角形三个内角均为 ∴根据“伸缩比”定可得等边三角形的“伸缩比”为； 设等腰三角形顶角为， 根据三角形内角和定理可得底角为， ∵“伸缩比”不小于， ∴， 是三角形内角， ， 不等式两边同乘得：， 解得：， 是锐角三角形， ，， 解得， 因此顶角的取值范围是． 三、解答题（满分64分） 19. 解不等式组，并利用数轴确定其解集 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 在数轴上表示为： 因此不等式组的解集为． 20. 关于x、y的二元一次方程组的解满足，求数m应满足的条件． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用二元一次方程组的变形，用含的式子表示出，再结合的条件列一元一次不等式求解，即可得到满足的条件． 【详解】解：， ①②得：， 等式两边同时除以得：， ∵， ∴， 解得． 21. 某学校组织数学游园会活动，10个会场累计游玩人次达800人次，七（5）班由同学甲和乙负责统计人数，同学甲说：“我负责前半小时，观察到平均每10分钟有16个同学在这里游玩然后离开”．但同学乙遗失了自己的数据，事后老师统计发现：该班游玩人次至少为全部会场游玩总人次的．请问乙同学统计人次至少为多少？ 【答案】乙同学统计人次至少为52人次 【解析】 【分析】先根据全部会场总游玩人次求出该班游玩人次的最小值，再计算出甲统计的游玩人次，通过不等式计算得到乙统计人次的最小值． 【详解】解：已知全部会场总游玩人次为800，该班游玩人次至少为总人次的，因此该班游玩人次最少为人次， 甲负责前半小时，半小时为30分钟，因此共有个10分钟，每10分钟有16人次，因此甲统计的人次为人次， 设乙统计的人次为，可得不等式 ， 解得， 答：乙同学统计人次至少为52人次． 22. 如图，已知在中，是的一个外角，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列一元一次方程，求出x，从而求出∠A的度数． 【详解】解：因为是的一个外角（已知）， 所以（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 所以 解得 所以 【点睛】此题考查的知识点是三角形的外角性质及一元一次方程的应用，关键是先根据三角形的外角性质列一元一次方程，求出x． 23. 如图，、、共线，、、共线，已知，，证明：平行于． 【答案】证明：如图，记、交于点， 则， ， ，即， ， ， ． 【解析】 【分析】记、交于点，根据三角形内角和定理得，由得，由同位角相等，两直线平行证明． 【详解】略 24. 根据命题描述，适当画图并证明 证明：等腰三角形底边上的中线上任意一点到两腰的距离相等 【答案】已知：如图，在中，，为边上的中线，为上的任一点，，， 求证：； 证明：∵，为边上的中线， ∴平分， ∵，， ∴． ∴等腰三角形底边上的中线上任意一点到两腰的距离相等． 【解析】 【分析】先根据命题画出对应图形，写出已知和求证，利用等腰三角形三线合一的性质得到底边上的中线平分顶角，再根据角平分线的性质即可证明结论． 【详解】略 25. 按要求完成尺规作图 （1）已知直线和外一点P，过点P作直线的平行线； （2）已知直线和外一点Q，过点Q作直线的垂线； 【答案】（1）如图所示，直线为所求平行线， （2）如图所示，直线为所求垂线， 【解析】 【分析】（1）过点任意作一条直线与相交，利用同位角相等两直线平行画一个角等于已知角即可； （2）以点为圆心，大于点到直线的距离为半径画圆，交于两点，作两点之间线段的垂直平分线即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 26. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上． （1）如果AD⊥BC，BE⊥AC，试证明∠APE＝60°的理由； （2）如果BD＝EC，那么“∠APE＝60°”是否还能成立？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）仍然成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一，可知∠DAC＝30°，在直角△AEP中，即可得出∠APE＝60°； （2）易证△ABD≌△BCE，得∠BAD＝∠CBE，又∠CBE+∠ABE＝60°，则∠BAD+∠ABE＝60°，根据三角形外角的性质，可得∠APE＝60°． 【小问1详解】 ∵△ABC是等边三角形中，AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠DAC＝30°， ∴在直角△AEP中， ∠APE＝90°﹣30°＝60°； 【小问2详解】 仍然成立．理由如下： 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE， ∴∠BAD＝∠CBE，又∠CBE+∠ABE＝60°， ∴∠APE＝∠BAD+∠ABE＝60°． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，应熟记等腰三角形的三线合一及证明三角形全等的几个判定方法． 27. 在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于点D． （1）如图1，过点C作 CF⊥AD于F，延长CF交AB于点E．连接DE． ①说明AE＝AC的理由； ②说明BE＝DE的理由； （2）如图2，过点B作直线BM⊥AD交AD延长线于M，交AC延长线于点N．说明CD＝CN的理由． 【答案】（1）①理由见解析；②理由见解析 （2）理由见解析 【解析】 【分析】（1）①根据角平分线的定义可得∠EAD＝∠CAD，根据垂直的定义可得∠AFE＝∠AFC＝90°，然后利用“角边角”证明△AEF和△ACF全等，进而结论得证；②利用“边角边”证明△AED和△ACD全等，则∠AED＝∠ACB，再根据三角形的外角的定义与性质可得∠AED＝∠B+∠BDE，然后求出∠B＝∠BDE，再根据等角对等边证明即可； （2）连接DN，证得△ABM和△ANM全等，则AB＝AN，再利用“边角边”证明△ABD和△AND全等，则∠ABD＝∠AND，根据三角形的外角的定义与性质可得∠ACB＝∠CDN+∠AND，然后求出∠CDN＝∠CND，再根据等角对等边证明即可． 【小问1详解】 解：①∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵CF⊥AD， ∴∠AFE＝∠AFC＝90°， 在△AEF和△ACF中， ， ∴△AEF≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AC； ②由①可知，AE＝AC， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴∠AED＝∠ACB， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠AED＝2∠B， 又∵∠AED＝∠B+∠EDB， ∴∠B＝∠EDB， ∴BE＝DE； 【小问2详解】 解：如图，连接DN， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵BM⊥AD， ∴∠AMB＝∠AMN＝90°， ∵AM=AM， ∴△ABM≌△ANM， ∴AB＝AN， 在△ABD和△AND中， ， ∴△ABD≌△AND（SAS）， ∴∠ABD＝∠AND， ∵∠ACB＝2∠ABC，即∠ACB＝2∠ABD， ∴∠ACB＝2∠AND， 又∵∠ACB＝∠CDN+∠AND， ∴∠CDN＝∠AND， ∴CD＝CN． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，等角对等边，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形． 28. 在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，，连接． （1）如图，当点D在的延长线上移动时，求证：； （2）设，． ①当点D在线段的延长线上移动时，与之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点D分别在线段上、线段的反向延长线上移动时，与之间有什么数量关系？请说明理由 【答案】（1）见解析 （2）①，理由见解析；②当D在线段上时，，当点D在线段反向延长线上时，，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）①利用证明，推出，根据三角形外角的性质即可得到结论；②当D在线段上时，证明，得到，，则可证明，得到，据此可得结论；当点D在线段反向延长线上时，同理可证明，得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当点在线段的延长线上移动时，与之间的数量关系是，理由如下： ， ， ， 又∵，， ∴， ， ， ， ，， ； ②当D在线段上时，如图2，，理由如下： ， ， ， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 当点D在线段反向延长线上时，如图3，，理由如下： 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $