2025-2026学年浙教版数学八年级下册期末两周冲刺复习——一元二次方程应用

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，以“问题情境—公式建模—变式拓展”为主线，系统整合四大应用模块，提炼核心公式与解题通法，强化数学模型观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |百分率问题|4题|复利公式：a(1±x)ⁿ=b，增长率/降低率方程构建|从单一增长到两次降价，结合疫情等现实情境，强化变量关系抽象| |销售问题|5题|利润公式：总利润=单件利润×销量，含方案选择|从单店到双店销售，整合函数与方程，培养数据处理与决策能力| |几何问题|6题|面积公式：矩形/长方形面积计算，图形转化（平移法）|从靠墙围地到纸盒折叠，结合劳动教育等场景，深化空间观念| |图表信息问题|3题|函数建模：用表格数据建立一次函数关系，解决利润问题|从数据读取到方程求解，提升数学语言表达与模型应用能力|

浙教版八下数学期末两周冲刺复习——一元二次方程应用 一、百分率问题 1．新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆.设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是(　　) A． B． C．1000(1+2x) =1210 D．1210(1-2x) =1000 2．某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为 500 元，连续两次降价，最终售价为 320 元，则平均每次降价的百分率m的值为　 　. 3．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是32.4元，求这两次降价的平均降价率是多少? （2）若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元? 4．金华市区某超市以原价为40元瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为32.4元瓶． （1）求平均每次降价的百分率． （2）金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买一批洗手液(超过200瓶）.该超市对购买量大的客户有优惠措施，在32.4元瓶的基础上推出方案一：每瓶打九折；方案二：不超过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪一种方案更省钱？请说明理由． 二、销售问题 5．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售，经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．(60-x)(200+8x)=8450 B．(20-x)(200+x)=8450 C．(40-x)(200+8x)= 8450 D．(20-x)(200+8x)=8450 6．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价　 　元． 7．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎.某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个.为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动.已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个. （1）降价5元时，日销量增加了多少个? （2）当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元? 8．根据以下销售情况，解决销售任务． 　 销售情况分析 　 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量 　 　（用含的代数式表示）． 任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 9． 近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人． （1）求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？ 三、几何问题 10．为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为480m2的长方形场地作为劳动基地若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为70m的第笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设靠墙的长方形边长为x（m），则下列方程正确的是（　　）， A．x（72-2x）=480 B．x（68-2x）=480 C．x（72-x）=480 D．x（68-x）=480 11．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　） A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2 12．如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为　 　m． 13．公益中学乐益农场准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个长方形菜地，设平行于墙一边 CD长为 xm. （1）如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边由篱笆ECDF围成，当菜地的面积为时，求x的值； （2）如图2，如果长方形菜地的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，当菜地面积为时，求x的值. 14．用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。 （1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？ （2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？ 15． 根据以下素材，探索完成任务． 智能农业种植基地设计 背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量． 素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物．已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长AD比宽AB多10米． 素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P（视为一个点），当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统． 素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米． ⑴任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为 ▲ 米，根据素材1的信息可列方程： ▲ ． ⑵任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请给出改进方案． ⑶任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值． 四、图表信息问题 16． 在水果销售旺季， 某水果店购进一种优质水果， 进价为 20 元/千克， 售价不低于 20 元/千克， 且不超过 32 元/千克． 根据销售情况， 发现该水果一天的销售量 (千克)与该天的售价 (元/千克) 满足如下表所示的一次函数关系． 销售量 (千克) 34.8 32 29.6 28 售价 (元/千克) 22.6 24 25.2 26 （1）某天这种水果的售价为 23.5 元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为多少元？ （3）每天销售这种水果的利润能达到 220 元吗？ 若能， 求出当天售价为多少元； 若不能， 请说明理由． 17．根据以下素材，探索完成以下任务： 任务背景 2026年春节档，《飞驰人生3》票房一骑绝尘.在此期间，咔搭CaDA联名推出遥控积木赛车，开售即火热. 数据信息 素材1：经销售部统计，该遥控积木赛车在2月份销售20000辆， 4月份销售28800辆，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同. 素材2：根据市场部反馈，当每辆遥控积木赛车售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆. 问题解决 （1）根据素材1中的信息，请求出遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率； （2）从生产部得知，该遥控积木赛车的生产成本为每件160元，为使月销售利润达到1440000元，则应将遥控积木赛车的实际售价定为多少元/辆. 18．某景区5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少10%． （1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a 　 　 　 　 （2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率； （3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程 【解析】【解答】解：设月平均增长率为x， 根据题意可列方程为：1000(1+x)2=1210 故选B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可． 2．【答案】20% 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为m， 根据题意列方程得： 500(1-m)2=320 解得m1=0.2=20%，m2=1.8(舍去) 故答案为：20%. 【分析】设平均每次降价的百分率为m，初始售价为500元，降价两次后售价为320元，代入公式即可列出方程，进而即可求解. 3．【答案】（1）解：设这两次降价的平均降价率是a， 根据题意可得： 解得： （舍去)， 答：这两次降价的平均降价率是 10% （2）解：每件商品降价x元，则每件盈利（40-x)元，平均每天可售出（20+2x)件，根据题意得： （40-x)（20+2x) =1232， x1=12， x2=18， ∵40-18=22<24， ∴x=12， 答：若该商店每天销售利润为1232元，每件商品可降价12元 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】(1)本题是典型的增长率问题，核心公式为：最终利润=初始利润×(1-平均降价率)2。设平均降价率为a，根据“两次降价后利润为32.4元”列方程，解出a后，舍去大于1的不合理解，即可得到降价率； (2)本题是利润问题，核心公式为：总利润=单件利润×销售量。设降价元，则单件利润为(40-x)元，销售量为(20+2x)件，根据”总利润1232元”列方程，解出后，结合“每件盈利不少于24元”的条件进行取舍，最终得到答案。 4．【答案】（1）解：设平均每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去)． 答：平均每次降价的百分率为10%． （2）解：设学校购买瓶洗手液，则选择方案一所需费用为元，选择方案二所需费用为元， 当时，， 当时，学校选择方案一更省钱； 当时，， 当时，学校选择两种方案所需费用相同； 当时，， 当时，学校选择方案二更省钱． 答：当购买数量超过200瓶且不足400瓶时，学校选择方案一更省钱；当购买数量等于400瓶时，学校选择两种方案所需费用相同；当购买数量超过400瓶时，学校选择方案二更省钱． 【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【分析】（1）设平均每次降价的百分率为x，则经过两次降价后的售价为40(1-x)2元。结合经过两次降价后，售价为32.4元/瓶列出方程，求解即可； （2）设学校购买y（y>200）瓶洗手液，则选择方案一所需费用为32.4×0.9y=29.16y元，选择方案二所需费用为32.4×200+32.4×0.8(y-200)=(25.92y+1296)元，分别令29.16y>25.92y+1296、29.16y<25.92y+1296、29.16y=25.92y+1296，求出y的值或范围，据此解答. 5．【答案】D 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；列一元二次方程 【解析】【解答】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为 元，平均每周可售出 件， 根据题意得： 故答案为：D. 【分析】当每件降低x元时，每件的销售利润为 元，平均每周可售出 件，利用每周销售该款T恤获得的总利润=每件的销售利润×每周的销售量，可得出关于x的一元二次方程，此题得解. 6．【答案】3或4 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【解答】设每箱降价x元，则有 (100+20x)(12-x)=1440，解得x=3或4 故答案：3或4. 【分析】设降价x元，其利用为12-x，销量为100+20x，列出方程求解方程即可. 7．【答案】（1）解：销量增加了5×5=25个 （2）解：设降价 x元，则售价(50-x) 元，销量(320+50x)个，单价(20-x)元 由题意得(20-x)(320+50x) =5940 解得 (舍去)， 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元. 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；有理数乘法的实际应用 【解析】【分析】（1）根据“玩偶售价每降价1元，日销量可增加5个”列式计算即可； （2）设每个玩偶降价x元，根据“当日总利润可达到 5940 元”列方程，求出x的值取舍根解答即可． 8．【答案】任务1：件，件； 解：任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）； 当时，乙店每天的盈利为（元）； 任务3，设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2244元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：任务1，根据题意得： 甲店每天的销售量为件，乙店每天的销售量为件， 故答案为：件，件； 【分析】任务1，根据题意列代数式即可； 任务2，根据盈利＝每件盈利×销售量列式计算解题； 任务3，设每件衬衫下降元时，根据盈利＝每件盈利×销售量得到两家分店一天的盈利和为2244元，列一元二次方程解题即可． 9．【答案】（1）解：设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为x， 由题意得：1000(1+x)2=1210， 解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1(不符合题意，舍去)， 答：2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10% （2）解：设该护膝肌贴组每组应降价m元，则4月份销售量为(1600+200m)组， 由题意得：(50-m-30)(1600+200m)=36000， 整理得：m2-12m+20=0， 解得：m1=2(不符合题意，舍去)，m2=10， 答：该护膝肌贴组每组应降价10元 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】(1)设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为x，根据复利公式：初始值×(1+增长率)^年数=最终值，进而即可求解； (2)设该护膝肌贴组每组应降价m元，则4月份销售量为(1600+200m)组，根据总利润=单件利润×销量，进而即可求解. 10．【答案】A 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【解答】解：设靠墙的长方形边长为x(m)，根据题意得 故答案为：A. 【分析】设靠墙的长方形边长为xm，根据矩形的面积公式即可得到结论. 11．【答案】C 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题 【解析】【解答】解：设矩形的长为x cm，宽为y cm， 根据题意可得， ， 将(②-①)3可得出：y-x+1=0，即x=y+1③， 将③代入②中可得：y (y+1) =16+3(y-4)+11， 整理得：， 解得：或（舍）， 则x=y+1=6， 则矩形的宽为5cm，长为6cm， 按照图③放置的时候，未覆盖的面积为：， 故答案为：C． 【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式表示出三个图形中未被覆盖的面积，然后根据①②两个等式求出①②，然后计算③的面积即可． 12．【答案】1 【知识点】平移的性质；一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【解答】解：设所修道路的宽为．根据题意，得， 整理，得，解得（不合题意，舍去），， 即所修道路的宽为． 故答案为：1． 【分析】 利用平移法将不规则的种植区转化为规则的矩形，从而根据面积公式列出方程求解. 13．【答案】（1）解：四边形是矩形， ， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ， 不合题意舍去， ． 答：当苗圃园的面积为60时，x的值为． （2）解：四边形是矩形， ， ， 解得：， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 不合题意舍去， ． 答：当苗圃园的面积为60时，x的值为． 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【分析】（1）表示CE长，根据矩形的面积公式列方程，求出x的值检验解答即可； （2）表示AC长，根据矩形的面积公式列方程，求出x的值并检验解答即可． 14．【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)， 由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450， 化简、整理，得：2x2-65x+275=0， 解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)， 答：纸盒的高为5cm. （2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)， 由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912， 化简、整理，得：x2+20x-44=0， 解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)， 答：裁去的正方形的边长为2cm. 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【分析】(1)设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面是长为(40-2x)cm，宽为(25-2x)cm的长方形，根据纸盒底面积为450cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； (2)设裁去的正方形的边长为xcm，根据折成纸盒的表面积为912cm2(即长方形硬纸板的面积-阴影部分的面积)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论. 15．【答案】解：（1）（x+10）；x（x+10）＝1200； （2）任务2：该设计达标．理由如下： 由题意，结合任务1，x（x+10）＝1200， ∴x2+10x﹣1200＝0． ∴x＝﹣40（不合题意，舍去）或x＝30． ∴AD＝40m，AB＝30m． ∴对角线BD＝50m． ∴AP＝BP＝CP＝DP＝25m． ∵当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标， ∴该设计达标． （3）任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米， ∴（30﹣2a）（40﹣2a）＝24． ∴a＝14或a＝21（此时30﹣2a＜0，不合题意，舍去）． 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程；用代数式表示和差倍分的数量关系 【解析】【解答】解：（1）任务1：由题意，∵矩形大棚的宽为x米，则长为 （x+10）米， ∴x（x+10）＝1200． 故答案为：x（x+10）＝1200． 【分析】（1）设矩形大棚的宽为x米，由题意“长AD比宽AB多10米 ”得长为米，则方程为； （2）解（1）中的方程可得矩形的长与宽分别为40和30，当点P位于矩形正中心时，即P为矩形两对角线的交点，由于矩形的对角线互相平分且相等，则可利用勾股定理求出对角线的长，则点P到矩形的四个顶点的距离最大，最大值为25，显然不超过28，即符合要求； （3）由题意可列方程，再解方程并根据生活实际对根进行取舍即可. 16．【答案】（1）解：， 答：当天该水果的销售量为33千克. （2）解：， ， 答：该天水果的售价为25元. （3）解：不能， ∴每天销售这种水果获利不能达到220元. 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-图表信息问题 【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据“ 某天销售这种水果获利 150 元 ”列出方程，再求解即可； （3）根据“ 每天销售这种水果的利润能达到 220 元 ”列出方程，再求解即可. 17．【答案】（1）解：设遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为x， 解得： (舍去)， 答：遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为20%， （2）解：设遥控积木赛车的实际售价定为m元/辆， (m-160)[20000-100(m-200)]=1440000 解得： m=280 则遥控积木赛车的实际售价定为280元/辆. 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）利用4月份的销售量=2月份的销售量列方程，求出x的值并检验解答即可； （2）设遥控积木赛车的实际售价定为m元/辆根据“售价每涨1元，则月销售量将减少100辆”列方程求出m的值解答即可． 18．【答案】（1）； （2）解：设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为20%； （3）解：设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵为尽快销售完该款商品 ． 答：每件售价应定为52元． 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；代数式的实际意义 【解析】【解答】解：（1）由题意可得： 5月份的游客人数为(1+60%)a=1.6a 6月份的游客人数为(1-10%)×1.6a=1.44a 故答案为：1.6a；1.44a 【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案. （2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $