2025-2026学年浙教版数学八年级下册期末两周冲刺复习——平行四边形常考题突破

**基本信息** 以平行四边形为核心，整合多边形、旋转、中位线及反证法，通过典例提炼方程法、全等判定等解题方法，构建从概念到应用的逻辑链条，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形|3题（内角外角计算）|方程法求角度，内角和与外角和定理|从正多边形到四边形，内角外角关系递进| |平行四边形|3题（性质判定、尺规作图）|SAS全等证平行四边形，对角线判定法|性质与判定双向应用，结合尺规作图验证| |图形的旋转|3题（坐标变换、旋转计算）|旋转性质找对应边角，坐标变换规律|旋转与全等结合，静态到动态变换| |三角形的中位线|3题（证明与计算）|中位线定理，平行四边形判定辅助线|中位线与平行四边形性质综合| |反证法|3题（步骤补全、纠错）|假设-矛盾-结论三步法，命题否定技巧|否定结论，利用内角和等原理推导矛盾|

浙教版八下数学期末两周冲刺复习——平行四边形常考题突破 一、多边形 1．已知某正多边形的一个内角比相邻的外角大140°. （1）求这个正多边形每个外角的度数； （2）求这个正多边形的边数. 2．如图，四边形ABCD的内角∠BAD，∠CDA的平分线交于点E，∠ABC，∠BCD的平分线交于点F。 （1）若∠F═80°，则∠ABC+∠BCD=　 　，∠E=　 　。 （2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由。 （3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E=∠F。你所添加的条件是　 　。 3．在△ABC中，∠ACB=90°，D，E 分别是边AC，BC上的点，P 是AB 上的一个动点，设∠DPE=α. （1）如图1，若点 P 在线段AB 上，α=50°，J则∠ADP+∠PEB=　 　°. （2）如图2，若点 P 在边 AB 上，试判断α，∠ADP，∠PEB之间的数量关系，并说明理由. （3）如图3，当点 P 运动到边AB 的延长线上时，直接写出α，∠ADP，∠PEB 之间的数量关系. 二、平行四边形的性质与判定 4．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF。 （1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形。 （2）若AB=CE， ∠BAC=82°， ∠ABE=25°，求∠EDF的度数。 5．尺规作图问题：已知△ABC，∠ABC是钝角，AB>BC，请用尺规作AC的中点P. 小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连接BQ交AC于点P，则点P为AC的中点. 小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点. 小聪：小明，你的作法有问题. 小明：哦…我明白了. （1）证明：小聪的作法是正确的. （2）指出小明作法中存在的问题. 6． 请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题： （1）问题背景： 小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段交于点，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题． 证明：过点作且使，连接， 四边形为平行四边形，则 ▲ ， ， ▲ ， 又， 为等边三角形， ▲ ， ，即． （2）类比运用： 如图2，与相交于点，，求线段的长； 三、图形的旋转 7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点分别是A（-3，2)， B（0，4)， C（0，2) 。 （1）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°所得的△A1B1C此时点A1坐标为 ▲ 。 （2）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为 ▲ 。 8．如图，将△ABC绕点 B 沿顺时针方向旋转一定角度得到△DBE，其中点A的对应点D 恰好落在BC上，连结CE.已知AB=3， BE=5，∠ABE=64°. （1）求CD的长. （2）求∠BCE的度数. 9．如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在一起。 （1） 图2是由图1抽象出的几何图形， 且∠AOB=∠COD=90°， 若∠AOC=130°， 求∠BOD 的度数。 （2）现在把含45°角的三角尺绕直角顶点，按逆时针方向转动至图3的位置(转动的角度小于平角)。 ①请借助量角器和圆规，在图4中补全由图3所抽象出的几何图形，参照图2标上相应的字母。 ②第①题中∠AOC和∠BOD 有怎样的数量关系?请说明理由。 四、三角形的中位线 10．如图，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°， E， F分别是 BC， AC的中点，延长 BA到点 D，使 连结 DE， DF， DE交 AF于点 P. （1）求证： AP=FP； （2）若 BC=10，求 DF的长. 11．如图，在△ABC中， DE是一条中位线，连结BE，过点D作DF∥BE交CB 的延长线于点 F． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形． （2）若BF=3，求BC的长． 12．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是AB，BC的中点. （1）求证：四边形EBFO是平行四边形. （2）若△AEO的面积是2，求四边形ABCD的面积. 五、反证法 13．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角. 已知：如图4，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B，∠C必为锐角. 证明：假设结论不成立，则∠B，∠C…… 请将证明过程补充完整. 14． 已知 分别为 的边 上的点， 连结 交于点 ． 用反证法证明： 不能互相平分． 证明 ： 假设　 　， 连结 ，则四边形 是　 　 　 　∥　 　， 这与　 　相矛盾， 　 　不成立，所以　 　 15．阅读下列文字，回答问题． 题目：在Rt中，，则． 证明：假设，因为，所以． 所以，这与假设矛盾，所以． 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：设该正多边形的内角为x°， 由题意，得x-(180-x)=140， 解得x=160. 即这个正多边形的外角是20°； （2）解：因为多边形的外角和是360°，所以 ∴这个正多边形是十八边形. 【知识点】多边形内角与外角；正多边形的概念；多边形的外角和公式 【解析】【分析】本题主要考查多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理. （1）根据多边形的每个内角与相邻的外角互补，即内角+外角=180°，结合“内角比相邻的外角大140°”可列方程“x-(180-x)=140”，解出x=160，所以外角=180°-内角=180°-160°=20°； （2）根据多边形外角和定理“多边形外角和为360°”，结合正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，由第（1）问求出的外角度数，即可得出正多边形边数. 2．【答案】（1）200°；100° （2）解：∠E+∠F=180°，理由如下： ∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°， 又∵四边形ABCD的内角∠BAD，∠CDA的平分线交于点E，∠ABC，∠BCD的平分线交于点F， ∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°。 ∵∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°， ∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+ ∠F=360°。 ∴ ∠E+ ∠F=360°-(∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF)=180°。 （3）AB∥CD(答案不唯一) 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；多边形的内角和公式 【解析】【解答】解：(1)∵∠F=80°， ∴∠FBC+∠BCF=180°-∠F=100°. ∵∠ABC，∠BCD的平分线交于点 F， ∴∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF. ∴∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2(∠FBC+∠BCF)=200°. ∵四边形ABCD的内角和为360°， ∴∠BAD+∠CDA=360°-(∠ABC+∠BCD)=160°. ∴四边形 ABCD 的内角∠BAD， ∠CDA 的平分线交于点 E， ∴∠E=180°-(∠DAE+∠ADE)=180°-80°=100°， 故答案为：200°，100°. （3）∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵四边形ABCD的内角∠BAD，∠CDA的平分线交于点E， ∴∠DAE=，∠ADE=， ∴∠DAE+ADE=90°， ∴∠E=90°， 同理∠F=90°， ∴∠E=∠F； 故答案为：AB∥CD. 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，然后根据三角形的内角和定理和多边形的内角和定理解答即可； （2）求出四边形的内角和为360° ，然后根据角平分线的定义得到∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，然后求出∠E+ ∠F的度数解答即可； （3）根据平行可得∠BAD+∠ADC=180°，然后根据角平分线的定义得到∠DAE+ADE=90°，求出∠E和∠F的度数解答即可. 3．【答案】（1）140 （2）解：∠ADP+∠PEB=90°+α.理由如下： ∵∠ADP=180°-∠CDP，∠PEB=180°-∠CEP，且∠CDP+∠CEP=360°-∠C-∠DPE=360°-90°-α=270°-α， ∴∠ADP+∠PEB=90°+α. （3）∠ADP=90°+∠PEB+α 【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形的内角和公式 【解析】【解答】解： (1) ①如图1中， 连接PC. PE， 故答案为：140°. （3）解：∠ADP=90°+∠PEB+α.理由如下： 由外角的性质可知，∠ADP=∠C+∠CMD，∠CMD=∠PEB+∠DPE， ∴∠ADP=90°+∠PEB+α， 【分析】(1)如图1中， 连接PC.证明 即可. （2）利用（1）中结论解决问题. (3)利用三角形的外角的性质解决问题即可.​​​​​​​ 4．【答案】（1）证明：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAF＝∠BCE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠AFD＝∠CEB，DF＝BE， ∴DF∥BE， ∴四边形DEBF是平行四边形 （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝82°， ∴AB＝CD＝CE，AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC＝82°，∠ABD＝∠CDB， ∴∠CED＝∠EDC＝（180°﹣∠DCE）＝49°， ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴∠EBD＝∠FDB， ∴∠ABD﹣EBD＝∠CDB﹣∠FBD， ∴∠CDF＝∠ABE＝25°， ∴∠EDF＝EDC﹣∠CDF＝24°． 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用SAS得到，即可得到，，进而可得，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等得到，，然后根据等边对等角和三角形的内角和求得，然后根据平行四边形的独角相等得到 ∠EBD＝∠FDB， 再根据角的和差解答即可． 5．【答案】（1）解：由尺规作图可知：AQ=BC，AB=CQ， ∴四边形ABCQ是平行四边形， 即点P为AC的中点 （2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图所示， 【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线 【解析】【分析】(1)由作图可得，AQ=BC，AB=CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点； (2)以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案. 6．【答案】（1）BE，AOC，DE （2）解：过A作AF//CD，过D作DF//AC，两直线交于F，连接BF， ∴四边形AFDC是平行四边形， ∴∠FAB=∠AOC=30°，∠C=∠AFD，AC=DF=3. ∵∠ABD+∠C=240°， ∴∠ABD+∠DFA=240° ∴∠FDB=360°-240°-30°=90° ∴△FDB是直角三角形 ∵DF=3，BD=4. ∴由勾股定理得：， ​​​​​​​∴AB=FB， ​​​​​​​∴∠BAF=∠AFB=30° 过点B作BE⊥AF于点E， ​​​​​​​∴AE=EF， ​​​​​​​∴由勾股定理得：BF2=BE2+EF2， ​​​​​​​∴ ​​​​​​​∴ ∵四边形AFDC是平行四边形， ∴ 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：(1)过点作且使，连接， 四边形为平行四边形，则BE， ， AOC， 又， 为等边三角形， DE， ，即． 故答案为：BE，AOC，DE. 【分析】(1)根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可； (2)作AF//CD，DF//AC，两线交于F，连接BF，证△FDB是直角三角形，得FB=5，过点B作BE⊥AF于点E，根据三线合一，勾股定理得，则，根据四边形AFDC是平行四边形可得答案. 7．【答案】（1）解：如图，绕点C顺时针旋转所得的， A1（0，5）. （2）解：（﹣3，4）或（﹣3，0）或（3，4） 【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转 【解析】【解答】（1）解：点坐标为． 故答案为：（0，5）. （2）解：如图，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴点D坐标为，，． 故答案为：（﹣3，4）或（﹣3，0）或（3，4）. 【分析】（1）根据旋转的性质作出点A，B关于点C的对应点，然后连接得到 ，即可写出点坐标； （2）作出以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，写出点D的坐标即可． 8．【答案】（1）解：由旋转可得△ABC≌△DBE， ∴AB=BD=3，BC=BE=5， ∴CD=BC-B5-3=2； （2）解：∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC=∠CBE=， 又∵BC=BE， ∴. 【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，根据对应边相等得到AB=BD=3，BC=BE=5，利用线段的和差解答即可； （2）根据全等可得∠CBE=32°，然后根据等腰三角形的性质和三角形的额内角和定理解答即可. 9．【答案】（1）解：因为为周角， 所以， 因为： 所以， 即： （2）解：①：如图4 ②： 理由如下：因为，所以， 因为， 而， 即． 【知识点】角的运算；旋转的性质；尺规作图-作一个角等于已知角 【解析】【分析】（1）根据周角的定义和角的和差可得，然后代入数值计算即可； （2）①根据题意画出图形即可； ②根据，然后根据角的和差解答即可． 10．【答案】（1）证明：连接 EF， AE. ∵点 E， F分别为 BC， AC的中点， 又： ∴EF=AD. 又∵EF||AD， ∴四边形 AEFD是平行四边形. ∴AF与 DE互相平分， ∴AP=FP； （2）解：在 Rt△ABC中， ∵E为 BC的中点， BC=10， 又∵四边形 AEFD是平行四边形， ∴DF=AE=5. 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）连接、，根据三角形的中位线定理得到EF∥AB，EF=AD，即可证明结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线性质求出AE长，然后根据平行四边形的对边相等解答即可． 11．【答案】（1）证明：因为 DE是△ABC的中位线， 所以DE∥FC． 又因为DF∥EB， 所以四边形 BEDF 是平行四边形． （2）解：因为 DE是△ABC的中位线， 所以BC=2DE． 因为四边形BEDF 是平行四边形， 所以BF=DE， 所以BC=2DE=2BF=6． 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【分析】(1)由三角形中位线定理得DE∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论； (2)由平行四边形的性质得DE=BF=3，再由三角形中位线定理解答即可. 12．【答案】（1）证明：∵□ABCD， ∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC， ∵点E，F分别是AB，BC的中点， ∴BE=EF， ∴四边形EBFO是平行四边形 （2）解：∵E是AB的中点， ∴S四边形ABCD=4S△ABO=4×4=16. 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质得到，，即可证明结论； （2）根据三角形斜边中线的分出的两个三角形的面积相等得到△ABO的面积，然后根据S四边形ABCD=4S△ABO解答即可． 13．【答案】证明：假设结论不成立，则∠B，∠C为直角或钝角. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. 当∠B，∠C为直角时，∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”矛盾； 当∠B，∠C为钝角或一直角一钝角时，∠B+∠C>180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”矛盾. 因此假设不成立，∴∠B，∠C必为锐角 【知识点】三角形内角和定理；反证法 【解析】【分析】假设∠B，∠C为直角或钝角，然后分为∠B，∠C为直角，∠B，∠C为钝角或一直角一钝角两种情况，得到三角形的内角和大于180°，与“三角形三个内角的和等于180°”矛盾解答即可. 14．【答案】BE， CD互相平分；平行四边形；BD；EC；△ABC是三角形；假设；BE， CD不能互相平分 【知识点】平行四边形的判定与性质；反证法 【解析】【解答】解：证明过程：假设BE、CD互相平分， 连接DE，则四边形BDEC为平行四边形， ∴BD∥EC（平行四边形对边平行）， ∴AB∥AC(与△ABC是三角形相矛盾） ∴假设不成立， ∴BE、CD不能互相平分. 故答案为：第1空、BE， CD互相平分 第2空、平行四边形 第3空、BD 第4空、EC 第5空、△ABC是三角形 第6空、假设 第7空、BE， CD不能互相平分 【分析】采用反证法证明，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.本题要证明BE、CD不能互相平分，先假设BE、CD互相平分，进而得AB∥AC与三角形两边相交矛盾. 15．【答案】有错误．改正： 假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°， 所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，所以AC=BC不成立，所以AC≠BC． 【知识点】反证法 【解析】【分析】 反证法的步骤是（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．运用反证法证题时，应从假设出发，把假设当做已知条件，经过推理论证，得出与定义、公理、定理或已知相矛盾，从而判定假设不成立，肯定结论，而非推出结论与假设相矛盾． 学科网（北京）股份有限公司 $