期末限时训练（一）【期末复习专项】2025-2026学年第二学期八年级数学人教版

**基本信息** 聚焦初二数学核心知识，以生活情境（如小区供水管道、容器水量变化）和折叠探究活动为载体，融合运算能力、几何直观与应用意识，适配期末复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|二次根式、一次函数性质、几何计算|基础概念辨析，如最简二次根式判断、一次函数图象性质分析| |填空题|4/12|函数关系、几何中点、四边形面积|结合图像判断变量关系，如水箱放水剩余水量函数图象识别| |解答题|5/64|运算化简、几何应用、函数图像、折叠探究|14题小区供水管道实际应用考查勾股定理，17题矩形折叠探究培养空间观念与创新意识|

2025-2026 学年第二学期初二年级数学期末复习卷 数学学科期末备考资料 【八下期末复习】 2025-2026学年第二学期初二年级数学期末复习卷（一) 数学学科评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C C C A B 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.①② 10.4 12.5cm 三、解答题：本题共5小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.解： 解：1)原式=2V2+2×5-4v2 2 =2V2+V2-4V2 .3分 =-V2: C... 5分 (2.x=V5-2' .2=(V5-2=5-4V5+4=9-4V52分 则原式=(9+4⑤)(9-45)-(5+2)(V5-2)+4 第1页，共1页 2025-2026学年第二学期初二年级数学期末复习卷 数学学科期末备考资料 =81-80-(5-4)+4 =4: 5分 a原式小号 2x (x-1)(x+1 (x-1)(x+1)】 X+1 =2x +1’ 3分 当x=V2-1时， 原式=22-2=2-2 5分 V2 14.解： 解：(1)在Rt△MNB中，BN=VBM-MN2=V1502-120=90m, .∴.AN=AB-BN=250-90=160m,… 5分 在Rt△AMN中，AM=VAN2+MN2=1602+1202=200m, .7分 第2页，共1页 2025-2026学年第二学期初二年级数学期末复习卷 数学学科期末备考资料 ∴.供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长=200+150=350m;.9分 (2).AB=250m,AM=200m,BM=150m, ∴.AB2=BM+AM2, ∴.△ABM是直角三角形， .BM⊥AC, .喷泉B到小路AC的最短距离是BM=150m.12分 15.解：(1)解：，A和P点的坐标分别是(6,0)、(x,y), ∴△OPA的面积=2OAyl, -2x6xyl-3y. .x+y=8, ∴.y=8-x. .S=3(8-X)=24-3X;… 2分 .S=-3x+24>0, 解得：x<8: 第3页，共1页 2025-2026学年第二学期初二年级数学期末复习卷 数学学科期末备考资料 又点P在第一象限， .x>0, 即x的范围为：0<x<8; .S=-3x+24,S是x的一次函数， ∴.函数图象经过点(8,0)，(0,24)· 所画图象如下： 246 4分 (2)解：.S=3x+24, 第4页，共1页 2025-2026学年第二学期初二年级数学期末复习卷 数学学科期末备考资料 ∴.当X-5时，S=-3×5+249. 即当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为9； 8分 (3)解：△OPA的面积不能大于24.理由如下： .S=-3x+24,-3<0, .S随x的增大而减小， 10分 又.x0时，S=24, ∴.当0<x<8,S<24 即△OPA的面积不能大于24. .12分 16.(1)解：设y=kx, .图象过(4,20)， ∴.4k=20, k=5, 3分 .y=5X(0X4);4分 (2)解：设y=ax+b, 第5页，共1页 2025-2026学年第二学期初二年级数学期末复习卷 数学学科期末备考资料 .图象过(4,20)、(12,30)， ,20=4a+b 30=12a+b' 7分 。5 a= 解得： 4, 8分 b=15 y4x+15(4<12); 9分 (3) 解：根据图象，每分钟进水20÷4=5升， 设每分钟出水m升， 则5×(12-4)-(12-4)1n=30-20,10分 解得：m只 15 “每分钟进水、出水各是5升、4升· 12分 17.（1)△ABM是等边三角形，2分 证明：由折叠的性质可得AB=MB,AM=BM, .∴.AB=MB=AM, .△ABM是等边三角形，6分 第6页，共1页 2025-2026学年第二学期初二年级数学期末复习卷 数学学科期末备考资料 (2).四边形ABCD是正方形， .∴.AB=BC,∠BAD=∠C=90°， 由折叠可得：AB=BM,∠BAD=∠BMP=90°， .∴.BM=BC,∠BMQ=∠C=90°， 在Rt△BCQ和Rt△BMQ中， BQ=BQ BC=BM' ∴.Rt△BCQ≌Rt△BMQ(HL, ∴.∠CBQ=∠MBQ, 同(1)可证△ABM是等边三角形， .∴.∠ABM=60°， .∴.∠CBM=90°-∠ABM=30°， ∴.∠CQM=180°-30°=150°， ∴.∠PQD=30°， ∠CBQ=∠MBQ克∠CBM=15, 第7页，共1页 2025-2026学年第二学期初二年级数学期末复习卷 数学学科期末备考资料 “∠MBQ3PQD, 故答案为：上MBQ=号∠PQD;9分 2 4024 (3)AP的长为11或13 10分 理由如下： 由折叠的性质可得DF=CF=4cm,AP=PM, .'Rt△BCQ≌Rt△BMQ, ∴.CQ=MQ, 如图3，当点Q在线段CF上时， 0 E B 图3 FQ=1cm, ..MQ=CQ=3cm,DQ=5cm, 第8页，共1页 2025-2026学年第二学期初二年级数学期末复习卷 数学学科期末备考资料 在直角三角形PDQ中，由勾股定理得：PQ=PD+DQ, .(AP+3=(8-AP)2+5, AP=40 11’ 11分 如图4，当点Q在线段DF上时， B 图4 'FQ=1cm, ∴.MQ=CQ=5cm,DQ=3cm, 在直角三角形PDQ中，由勾股定理得：PQ=PD+DQ2, .(AP+5P=(8-AP)2+32, ·AP=24 13’ 12分 40 .24 综上所述，AP的长为1cm或 Cm..13分 第9页，共1页 2025-2026学年第二学期初二年级数学期末复习卷 数学学科期末备考资料 第10页，共1页■ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 回▣ 2025-2026学年第二学期初二年级期末复习卷（一) 回 数学学科 姓名： 班级： 考场/座位号： 准考证号 [0] 注意事项 [0] [0] [0] [0] [0] [o] [o] 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [1] [1] [1] [1] [1 [1] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 5. 保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] 正确填涂 缺考标记 口 [7] [7] [7] [7] [7] [] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 、 选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][c][D] 二、填空题：本题共4小题，共16分。 10. 11. 12. 三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 囚囚■ ■ 14. 圆B B 囚囚■ ■ ■ 15. y个 I 0 I 1 I I ū 囚■囚 ■ 囚■囚 fSa 10 OI 0Z 0E '91 口 口 【八下期末复习】 2025-2026学年第二学期初二年级数学期末复习卷（一） （本试卷共7页，满分100分，考试时间：60分钟 ） 温馨提示: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子中，属于最简二次根式的是(     ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(     ) A. B. C. D. 3.下列描述一次函数的图象及性质错误的是(     ) A. 随的增大而减小 B. 直线经过第一、二、四象限 C. 当时， D. 直线与轴的交点坐标是 4.如图，在菱形中，点是对角线上一点，连接若，且，，则的长为(     ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点则的面积为(     ) A. B. C. D. 6.某男装专卖店老板专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如下表：如果每件夹克的利润相同，你认为该店主最关注的销售数据是下列统计量中的(     ) 尺码 平均每天销售量件 A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 7.实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是(     ) A. B. C. D. 8.如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与正比例函数交于点，已知点的横坐标为，下列结论：关于的方程的解为；对于直线，当时，；对于直线，当时，；方程组的解为，其中正确的是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.下面的三个问题中都有两个变量： 汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间； 用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是         填序号． 10.如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，点是的中点，则___ ___． 11.如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积是______． 12.中，斜边，为斜边上的中点，斜边上的中线 ______． 三、解答题：本题共5小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； (2) 已知，求的值； 先化简，再求值：，其中． 14.本小题分 如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． 求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长； 直接写出喷泉到小路的最短距离． 15.本小题分 点在第一象限，且，点的坐标为，设的面积为． 用含的解析式表示，写出的取值范围，画出函数的图象； 当点的横坐标为时，的面积为多少？ 的面积能大于吗？为什么？ 16.本小题分 有一进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量单位：与时间单位：分之间的关系如图所示： 求时随变化的函数关系式； 当时，求与的函数解析式； 每分钟进水、出水各是多少升？ 17.本小题分 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 【课本再现】 第一步：如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点，沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处，展平后连接、根据以上操作，当点在上时，如图，连接，判断的形状并证明． 【类比应用】如图，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接，当点在上时，与的数量关系是______用数学式子表示； 【拓展延伸】在的探究中，改变点在上的位置点不与点、重合，沿折叠纸片，如图，使点落在正方形内部的点处，连接、，并延长交于点，连接当时，请求出的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【八下期末复习】 2025-2026学年第二学期初二年级数学期末复习卷（一） （满分100分，考试时间：60分钟 ） 温馨提示: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子中，属于最简二次根式的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意； 选项，原式，故该选项不符合题意； 选项，是最简二次根式，故该选项符合题意； 选项，原式，故该选项不符合题意； 故选：． 根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 2.下列运算正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：． 根据二次根式的加法，乘法，除法法则，二次根式的性质，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3.下列描述一次函数的图象及性质错误的是(     ) A. 随的增大而减小 B. 直线经过第一、二、四象限 C. 当时， D. 直线与轴的交点坐标是 【答案】D  【解析】解：一次函数中，， 随的增大而减小．A正确． ， 直线与轴的交点在轴的上方． 直线经过第一、二、四象限． B正确． 当时，，且随的增大而减小， 当时，． C正确． 在中，令，得． 直线与轴的交点坐标为． D错误． 故选：． 由的系数可判断、；利用不等式可判断；令可求得与轴的交点坐标，可判断，可得出答案． 本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键，注意与不等式相结合． 4.如图，在菱形中，点是对角线上一点，连接若，且，，则的长为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：连接交于， ， ， ，， ， 四边形是菱形， ，， 的面积， ， ， ， ． 故选：． 连接交于，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式求出的长，由勾股定理求出的长，由菱形的性质即可求出的长． 本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，关键是连接，由菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，求出的长． 5.如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点则的面积为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：作于，根据基本作图得平分， ， ， 在中，，， ，， ， 在中，， ， ， ， ． 故选：． 作于，根据角平分线的性质得到，利用勾股定理和角的直角三角形的性质求出，的长，再根据三角形的面积公式计算即可． 本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、基本作图，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 6.某男装专卖店老板专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如下表：如果每件夹克的利润相同，你认为该店主最关注的销售数据是下列统计量中的(    ) 尺码 平均每天销售量件 A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】C  【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策、引起店主最关注的统计量是众数． 故选：． 平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 7.实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由数轴可知，， ， ． 故选：． 由数轴可知，，所以，化简即可解答． 此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 8.如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与正比例函数交于点，已知点的横坐标为，下列结论：关于的方程的解为；对于直线，当时，；对于直线，当时，；方程组的解为，其中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程可以化成一次函数．根据已知条件得到，把代入得到，当时，，当时，，求得，，于是得到结论． 【解答】 解：点的横坐标为， 当时，， ， 把代入得，， ， 当时，，当时，， ，， 关于的方程的解为，正确； 对于直线，当时，，正确； 对于直线，当时，，故错误； ， 方程组的解为，正确； 故选B． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.下面的三个问题中都有两个变量： 汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间； 用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是        填序号． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题过程即可解决问题． 根据汽车的剩余路程随行驶时间的增加而减小，并且减小的变化量相等，判断即可； 根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小，并且减小的变化量相等，判断即可； 根据矩形的面积公式判断即可得到答案． 【解答】 解：汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间，随增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间，随增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故符合题意； 用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长，矩形的长宽之间存在关系，可以用表示另一边长，根据面积公式得到的是二次函数，故不符合题意； 故答案为． 10.如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，点是的中点，则______． 【答案】  【解析】解：在中，， ， ， ， ，， ， ，， 是的中位线， ， 故答案为：． 根据勾股定理求出，得到的长，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理解答即可． 本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 11.如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积是______． 【答案】  【解析】解：在中，，，，由勾股定理得：， ，， ， ， 四边形的面积 ， 故答案为：． 根据勾股定理求出长，根据勾股定理的逆定理求出，再求出和的面积，相加即可求出答案． 本题考查了三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能求出是解此题的关键． 12.中，斜边，为斜边上的中点，斜边上的中线 ______． 【答案】  【解析】解：． 故答案是：． 根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，理解性质是关键． 三、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 已知，求的值； 先化简，再求值：，其中． 【答案】解：原式 ； ， ， 则原式 ； 原式 ， 当时， 原式．  【解析】先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可； 先计算出的值，再代入计算即可； 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可． 本题主要考查二次根式和分式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式和分式混合运算顺序和运算法则． 14.本小题分 如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． 求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长； 直接写出喷泉到小路的最短距离． 【答案】解：在中，， ， 在中，， 供水点到喷泉，需要铺设的管道总长； ，，， ， 是直角三角形， ， 喷泉到小路的最短距离是．  【解析】根据勾股定理解答即可； 根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可． 此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理、逆定理和垂线段解答． 15.本小题分 点在第一象限，且，点的坐标为，设的面积为． 用含的解析式表示，写出的取值范围，画出函数的图象； 当点的横坐标为时，的面积为多少？ 的面积能大于吗？为什么？ 【答案】(1)解：∵A和P点的坐标分别是（6，0）、（x，y）， ∴△OPA的面积=OA•|yP|， ∴S=×6×|y|=3y． ∵x+y=8， ∴y=8-x． ∴S=3（8-x）=24-3x； ∵S=-3x+24＞0， 解得：x＜8； 又∵点P在第一象限， ∴x＞0， 即x的范围为：0＜x＜8； ∵S=-3x+24，S是x的一次函数， ∴函数图象经过点（8，0），（0，24）． 所画图象如下：    (2)解：∵S=-3x+24， ∴当x=5时，S=-3×5+24=9． 即当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为9；  (3)解：△OPA的面积不能大于24．理由如下： ∵S=-3x+24，-3＜0， ∴S随x的增大而减小， 又∵x=0时，S=24， ∴当0＜x＜8，S＜24． 即△OPA的面积不能大于24．  【解析】  此题考查了一次函数的图象与性质及三角形的面积，难度一般，解答本题的关键是正确地求出与的关系，另外作图的时候要运用两点作图法，并且注意自变量的取值范围． 根据三角形的面积公式列式，即可用含的解析式表示，然后根据及已知条件，可求出的取值范围，根据一次函数的性质可画出函数的图象；  本题考查了求函数值，将代入中所求解析式，即可求出的面积；  本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质及自变量的取值范围即可判断． 16.本小题分 有一进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量单位：与时间单位：分之间的关系如图所示： 求时随变化的函数关系式； 当时，求与的函数解析式； 每分钟进水、出水各是多少升？ 【答案】(1)解：设y=kx， ∵图象过（4，20）， ∴4k=20， ∴k=5， ∴y=5x （0≤x≤4）；  (2)解：设y=ax+b， ∵图象过（4，20）、（12，30）， ∴， 解得：， ∴y=x+15 （4＜x≤12）；  (3)解：根据图象，每分钟进水20÷4=5升， 设每分钟出水m升， 则5×（12-4）-（12-4）m=30-20， 解得：m=， ∴每分钟进水、出水各是5升、升．  【解析】  此题这样考查了一次函数的应用问题，解题时首先正确理解题意，然后根据题意利用待定系数法确定函数的解析式，接着利用函数的性质即可解决问题． 用待定系数法求对应的函数关系式；  用待定系数法求对应的函数关系式；  每分钟的进水量根据前分钟的图象求出，出水量根据后分钟的水量变化求解． 17.本小题分 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 【课本再现】 第一步：如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点，沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处，展平后连接、根据以上操作，当点在上时，如图，连接，判断的形状并证明． 【类比应用】如图，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接，当点在上时，与的数量关系是______用数学式子表示； 【拓展延伸】在的探究中，改变点在上的位置点不与点、重合，沿折叠纸片，如图，使点落在正方形内部的点处，连接、，并延长交于点，连接当时，请求出的长．  【解析】是等边三角形， 证明：由折叠的性质可得，， ， 是等边三角形， 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 在和中， ， ≌， ， 同可证是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 的长为或理由如下： 由折叠的性质可得，， ≌， ， 如图，当点在线段上时， ， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 如图，当点在线段上时， ， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 综上所述，的长为或． 由折叠的性质可得，，进而可得，可知是等边三角形； 由“”可证≌，可得，求得，于是得到结论； 分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $