2025-2026学年高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章）4.1.3独立性与条件概率的关系期末基础巩固训练三

**基本信息** 聚焦独立性与条件概率关系，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化概念辨析与实际应用，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析与基础计算|单选4题、多选2题|独立事件判断、概率公式直接应用|从独立事件定义到概率公式推导，构建概念-原理逻辑| |实际应用与综合计算|填空2题、解答2题|结合比赛、检验等场景，考查分步/分类计算|从基础计算到多情境应用，形成原理-应用拓展链条|

高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章) 4.1.3独立性与条件概率的关系期末基础巩固训练（三) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一 个球，下列结论中不正确的是() A,两个球都是红球的概率为 B.两个球中恰有一个红球的概率为 C,两个球中至少有一个红球的概率为 D.有球不是红球的概率为 2.某保密单位有两个相互独立的安全防范系统A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障 的概率分别为和日若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为() A品 B. c D 3.下列各对事件中，相互独立的是() A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中”与“甲、乙都没有射中” D.甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中”与“甲射中但乙未射中” 第1页，共4页 4某产品需要通过两类质量检验才能出货，是否通过两类检验相互独立.已知该产品第一 类检验单独通过率为2，第二类检验单独通过率为(0<p<1),规定第一类检验不通过则不 能进入第二类检验，每类检验未通过可修复后再检验一次，修复后无须从头检验，通过 率不变且每类检验最多两次若该产品能出货的概率为，p() A B c D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知事件A,B,且P(A)=0.4,P(B)=0.3,则() A.如果B∈A,那么P(AB)=0.3 B.如果B∈A,那么P(AUB)=0.4 C.如果A与B相互独立，那么P(AUB)=0.7 D.如果A与B相互独立，那么P(AB)=0.42 6.己知P(A)=P(B|A)=若随机事件A,B相互独立，则() A.PB)=月 B.PAB)=品 C.PB)= D.P(A+B) 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛 结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取 胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜 的概率是 8.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到 红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率 是 第2页，共4页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 对某型号1000只灯泡的使用寿命（单位：小时）统计如下表所示： [2000, 寿命分组[500,1000)[1000,1500)[1500,2000) +∞) 灯泡个数 172 428 392 71 (1)从这1000只灯泡中任选1只，求该灯泡寿命不足1500小时的概率； (2)从这1000只灯泡中任选3只灯泡，求至多有2只灯泡寿命不足1500小时的概率. 第3页，共4页 10.(本小题14分) OpenClaw(俗称“龙虾”)是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执 行层工具.某单位为了解员工是否喜欢使用0 penClaw,对不同年龄段的100名员工进行了 调查统计，得到如下2×2列联表： 是否喜欢使用OpenClaw 年龄 合计 是 否 不超过45岁 40 60 超过45岁 30 合计 100 (1)完成2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“是否喜欢使 用OpenClaw”与年龄有关联； (2)若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随 机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率. 参考公式：X= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 其中n=a+b+c+d.xo0o1≈10.828 第4页，共4页 高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章）4.1.3独立性与条件概率的关系期末基础巩固训练（三） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论中不正确的是(    ) A. 两个球都是红球的概率为 B. 两个球中恰有一个红球的概率为 C. 两个球中至少有一个红球的概率为 D. 有球不是红球的概率为 2.某保密单位有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为(    ) A. B. C. D. 3.下列各对事件中，相互独立的是(    ) A. 运动员甲射击一次，“射中环”与“射中环” B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中环”与“乙射中环” C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中”与“甲、乙都没有射中” D. 甲、乙两运动员各射击一次，“至少有人射中”与“甲射中但乙未射中” 4.某产品需要通过两类质量检验才能出货，是否通过两类检验相互独立已知该产品第一类检验单独通过率为，第二类检验单独通过率为规定第一类检验不通过则不能进入第二类检验，每类检验未通过可修复后再检验一次，修复后无须从头检验，通过率不变且每类检验最多两次若该产品能出货的概率为，(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知事件，，且，，则(    ) A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与相互独立，那么 6.已知，若随机事件，相互独立，则(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以：获胜的概率是          ． 8.某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 对某型号只灯泡的使用寿命单位：小时统计如下表所示： 寿命分组 灯泡个数 从这只灯泡中任选只，求该灯泡寿命不足小时的概率 从这只灯泡中任选只灯泡，求至多有只灯泡寿命不足小时的概率． 10.本小题分 俗称“龙虾”是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具某单位为了解员工是否喜欢使用，对不同年龄段的名员工进行了调查统计，得到如下列联表： 年龄 是否喜欢使用 合计 是 否 不超过岁 超过岁 合计 完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用”与年龄有关联 若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过岁和不超过岁的员工中各随机抽取人，求这两人中至少有人喜欢使用的概率． 参考公式：，其中． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章) 4.1.1条件概率期末基础巩固训练（一） (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一 个球，下列结论中不正确的是() A两个球都是红球的概率为 B.两个球中恰有一个红球的概率为 C.两个球中至少有一个红球的概率为 D.有球不是红球的概率为 【答案】C 2.某保密单位有两个相互独立的安全防范系统A和B,系统A和系统B在任意时刻发生 故障的概率分别为和若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为() A员 B c D动 【答案】C 3.下列各对事件中，相互独立的是() A.运动员甲射击一次，射中9环与射中8环 B.甲、乙两运动员各射击一次，甲射中10环与“乙射中9环” 第1页，共5页 C.甲、乙两运动员各射击一次，甲、乙都射中”与“甲、乙都没有射中” D.甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中”与甲射中但乙未射中” 【答案】B 4.某产品需要通过两类质量检验才能出货，是否通过两类检验相互独立.已知该产品第一 类检验单独通过率为2，第二类检验单独通过率为p(0<p<1)规定第一类检验不通过则 不能进入第二类检验，每类检验未通过可修复后再检验一次，修复后无须从头检验，通 过率不变且每类检验最多两次若该产品能出货的概率为，D() A B月 c D. 【答案】C 【解析】提示：设A,表示第i次通过第一类检验，B,表示第i次通过第二类检验1=1,2)， 由题意，得PA1nB1+A1nAnB1+A1nB1nB,+A1nA,nB1nB,)= 即×p+××p+×(1-pp+××(1-pp=解得p=或p=(舍去)，故选C. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.己知事件A,B,且P(A)=0.4,P(B)=0.3,则() A.如果B≤A,那么P(AB)=0.3 B.如果BcA,那么P(AUB)=0.4 C.如果A与B相互独立，那么P(AUB)=0.7 D.如果A与B相互独立，那么PAB)=0.42 【答案】AB 【解析】由B∈A,得PAB)=PB)=0.3,P(AUB)=P(A)=0.4,故A,B正确； 由A与B相互独立，得P(AB)=P(A)P(B)=0.I2,所以P(AUB)=P(A)+PB)- P(AB)=0.58,PAB)=1-P(AB)=0.88,故C,D错误. 6.已知PA)=3PB|A)=若随机事件A,B相互独立，则() A.P(B)= B.P(AB)= C.P(A B)= D.P(A+B)- 【答案】BCD 第2页，共5页 【解析】对于B,PBA)-架=4-子所以PAB)=六故B正确：对于A P(A) PAB)=PA)P(B)=P(B),所以PB)=子故A错误；对于C,PAB)=PA)P(B)=× }所以PA1B)-©-1-放C正确：对于D,PA+可=PA+P@ P(B) PUAB=PA)+P间)-PAP间)-+-x-手 故D正确.故选BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛 结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的 概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概 率是 【答案】0.18 【解析】【分析】 本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题， 甲队以4：1获胜”，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一 场，利用独立事件同时发生的概率公式计算即可 【解答】解：记事件M为甲队以4：1获胜”， 则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场， 所以PM0=0.6×(0.62×0.52×2+0.6×0.4×0.52×2)=0.18 故答案为0.18. 8.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到 红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率 是 【答案】 第3页，共5页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 对某型号1000只灯泡的使用寿命（单位：小时）统计如下表所示： 寿命分组[500,1000)[1000,1500)[1500,2000) [2000, +00) 灯泡个数 172 428 392 71 (1)从这1000只灯泡中任选1只，求该灯泡寿命不足1500小时的概率， (2)从这1000只灯泡中任选3只灯泡，求至多有2只灯泡寿命不足1500小时的概率。 【答案】()没事件A灯泡的使用寿命不足1500小时则P(A)=o需= (Q)设事件B:至多有2只灯泡使用寿命不足1500小时则PB)-1-(③=三 10.(本小题14分) OpenClaw(俗称龙虾)是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行 层工具.某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw,对不同年龄段的l00名员工进行了调 查统计，得到如下2×2列联表： 是否喜欢使用OpenClaw 年龄 合计 是 否 不超过45岁 40 60 超过45岁 30 合计 100 (1)完成2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用 OpenClaw与年龄有关联， (2)若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随 机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率 n(ad-bc)2 参考公式：X=aX+0asX0+可 其中n=a+b+c+d.xoo1≈10.828 第4页，共5页 【答案】解：(1)2×2列联表如下： 是否喜欢使用OpenClaw 年龄 合计 是 否 不超过45岁 40 20 60 超过45岁 10 30 40 合计 50 50 100 零假设为Ho:“是否喜欢使用OpenClaw与年龄无关联， 根据列联表中的数据，得X=10o40x30-20x102 50×50×60×40 ≈16.667>10.828=x0001· 依据小概率值=0.001的独立性检验，我们推断H,不成立， 即是否喜欢使用OpenClaw与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.00l. (2)由题意知：年龄超过45岁的员工中喜欢使用OpenClaw的频率为 不超过45岁的员工中喜欢使用OpenClaw的频率为， 故这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率P=1-1-)×(1-)= 第5页，共5页 高二数学下学期阶段测试（人教版B版选择性必修二第四章）4.1.1条件概率期末基础巩固训练（一） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论中不正确的是(    ) A. 两个球都是红球的概率为 B. 两个球中恰有一个红球的概率为 C. 两个球中至少有一个红球的概率为 D. 有球不是红球的概率为 【答案】C  2.某保密单位有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  3.下列各对事件中，相互独立的是(    ) A. 运动员甲射击一次，“射中环”与“射中环” B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中环”与“乙射中环” C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中”与“甲、乙都没有射中” D. 甲、乙两运动员各射击一次，“至少有人射中”与“甲射中但乙未射中” 【答案】B  4.某产品需要通过两类质量检验才能出货，是否通过两类检验相互独立已知该产品第一类检验单独通过率为，第二类检验单独通过率为规定第一类检验不通过则不能进入第二类检验，每类检验未通过可修复后再检验一次，修复后无须从头检验，通过率不变且每类检验最多两次若该产品能出货的概率为，(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】提示：设表示第次通过第一类检验，表示第次通过第二类检验． 由题意，得， 即解得或舍去，故选C． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知事件，，且，，则(    ) A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】AB  【解析】由，得，，故A，B正确 由与相互独立，得，所以，，故C，D错误． 6.已知，若随机事件，相互独立，则(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】对于，，所以，故B正确；对于，，所以，故A错误；对于，，所以，故C正确；对于，，故D正确故选BCD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以：获胜的概率是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题． “甲队以获胜”，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，利用独立事件同时发生的概率公式计算即可． 【解答】解：记事件为“甲队以获胜”， 则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场， 所以． 故答案为． 8.某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是          ． 【答案】  四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 对某型号只灯泡的使用寿命单位：小时统计如下表所示： 寿命分组 灯泡个数 从这只灯泡中任选只，求该灯泡寿命不足小时的概率 从这只灯泡中任选只灯泡，求至多有只灯泡寿命不足小时的概率． 【答案】设事件灯泡的使用寿命不足小时则 设事件至多有只灯泡使用寿命不足小时则 10.本小题分 俗称“龙虾”是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具某单位为了解员工是否喜欢使用，对不同年龄段的名员工进行了调查统计，得到如下列联表： 年龄 是否喜欢使用 合计 是 否 不超过岁 超过岁 合计 完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用”与年龄有关联 若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过岁和不超过岁的员工中各随机抽取人，求这两人中至少有人喜欢使用的概率． 参考公式：，其中． 【答案】解：列联表如下： 零假设为“是否喜欢使用”与年龄无关联． 根据列联表中的数据，得． 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即“是否喜欢使用”与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于． 由题意知：年龄超过岁的员工中喜欢使用的频率为， 不超过岁的员工中喜欢使用的频率为， 故这两人中至少有人喜欢使用的概率．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $