综合与实践 进位制的认识与探究 （第8课时）学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦进位制的认识与探究，核心知识点包括进位制概念、十进制与二进制转换、二进制加法及其他进制简单转换。通过课前预习复习十进制位值制，活动一从十进制抽象出进位制一般概念，类比推理二进制转换方法，搭建从已知到未知的学习支架。 资料特色在于融合数学文化与生活应用，含数轴对照图、加法表、八卦符号对照图等直观图示，设计小组合作实践任务，达标检测分基础、提升、拓展层次。通过数学抽象理解位值制思想，逻辑推理类比运算规律，应用意识感受计算机与传统文化中的进制应用，有效培养核心素养与学习兴趣。

综合与实践 进位制的认识与探究 2026--2027学年人教版七年级数学上册 班级：________ 姓名：________ 日期：________ 一、学习目标 【知识技能】 1. 理解进位制的概念，知道“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几 2. 掌握十进制与二进制之间的转换方法，能将二进制数转换为十进制数，也能将十进制数转换为二进制数 3. 了解八进制、十六进制等其他进位制，能进行简单的进制转换 4. 掌握二进制加法运算法则，能进行简单的二进制加法运算 5. 了解计算机选择二进制的原因，感受不同进位制在生活中的应用 【核心素养】 1. 数学抽象：从十进制中抽象出进位制的一般概念，理解位值制思想 2. 逻辑推理：类比十进制法则推理二进制的表示与运算，感悟运算规律的一致性 3. 数学运算：掌握不同进制之间的转换方法和二进制加法运算 4. 数学建模：用进制转换模型解决实际问题（如计算机存储、密码解密等） 5. 应用意识：感受进位制在计算机科学、天文历法、传统文化中的应用 二、课前预习（自主完成，课上校对） 1. 我们日常使用的计数方式是______进制，它的特点是“逢______进一”，使用的数字有______个。 ________ 2. 在十进制数3721中，3在______位，表示______；7在______位，表示______。 ________ 3. 将十进制数3721写成各数位上数字与基数的幂的乘积之和的形式：3721 = 3× + 7× + 2× + 1× ________ 4. 二进制使用______和______两个数字，特点是“逢______进一”。 ________ 5. 查一查：计算机为什么选择二进制？请写出至少一条原因。 ________ 三、活动一：认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换 探究1 进位制的概念 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统。“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几。 在十进制中，每一个数都可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式。例如： 3721 = 3× + 7× + 2× + 1× 探究2 二进制与十进制的转换 二进制是逢二进一的记数系统，各数位上的数字只能是0或1。为了区分不同进位制，常在数的右下角标明基数，如(1011)₂表示二进制数1011。 例1 将二进制数(1011)₂转换为十进制数。 思路：将各数位上的数字与2的幂相乘再求和。 解：(1011)₂ = 1× + 0× + 1× + 1× = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 图1 十进制数与二进制数对照数轴 例2 将十进制数13转换为二进制数。 思路：用“除2取余法”——将十进制数连续除以2，记录余数，直到商为0，再将余数逆序排列。 解： 13 ÷ 2 = 6 …… 1 （最低位） 6 ÷ 2 = 3 …… 0 3 ÷ 2 = 1 …… 1 1 ÷ 2 = 0 …… 1 （最高位） 逆序排列：13 = (1101)₂ 探究3 其他进位制的转换 同样的方法可以推广到其他进位制。把十进制数转换为k进制数的方法叫做“除k取余法”。 例3 将十进制数89转换为八进制数。 思路：八进制逢八进一，数字0~7。用“除8取余法”。 解： 89 ÷ 8 = 11 …… 1 11 ÷ 8 = 1 …… 3 1 ÷ 8 = 0 …… 1 逆序排列：89 = (131)₈ 1. 将二进制数(1101)₂转换为十进制数：______ ________ 2. 将十进制数25转换为二进制数：______ ________ 3. 将十进制数89转换为二进制数：______ ________ 思考：通过研究二进制数与十进制数之间的转换，你有哪些发现？进一步地，你能进行其他不同进制数之间的转换吗？ 四、活动二：探究进制数的加法运算 探究4 二进制加法法则 二进制只用0和1两个数字，这正好与电路的“通”和“断”两种状态对应，因此计算机内部都使用二进制。 二进制加法法则： 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 （逢二进一） 图2 二进制加法表 例4 计算 (10010)₂ + (111)₂ 思路：与十进制加法类似，从最低位开始逐位相加，逢二进一。 解： 1 0 0 1 0 + 1 1 1 ————————— 1 1 0 0 1 验证：(10010)₂ = 18，(111)₂ = 7，18 + 7 = 25，(11001)₂ = 16 + 8 + 1 = 25 ✓ 探究5 计算机存储容量 计算机的存储容量是指存储器能存放二进制代码的总位数，基本单位是字节（byte）。 常见单位换算： 1 KB = 1024 B 1 MB = 1024 KB 1 GB = 1024 MB 1 TB = 1024 GB 注意：1024 = 2¹⁰，所以 1 KB = 2¹⁰ B，1 MB = 2²⁰ B，1 GB = 2³⁰ B 4. 一部手机存储容量为128GB，相当于多少MB？（用科学记数法表示）______ ________ 探究6 生活中的其他进位制 古人在研究天文、历法时，曾经采用七进制、十二进制、六十进制等。至今我们仍在使用：一周7天（七进制）、一年12个月（十二进制）、一小时60分钟（六十进制）。 5. 计算45 + 23。方法：先将45和23分别转换为二进制数，用二进制加法计算，再把结果转换为十进制数，验证是否与45+23=68一致。 ________ ________ 五、活动三：数学文化与拓展探究 数学文化 八卦与二进制 我国古代的八卦与二进制有着奇妙的联系。德国数学家莱布尼茨（Leibniz）在1703年发表论文，阐述了二进制算术，他后来看到中国古籍《易经》中的八卦图，惊叹其中蕴含的二进制思想。 在八卦中，阳爻（—）对应1，阴爻（--）对应0，每个卦象由三条爻线从下到上组成，恰好可以对应一个三位二进制数： 图3 八卦符号与二进制数对照 例如：乾卦☰ 三条阳爻从下到上对应二进制(111)₂ = 7，坤卦☷ 三条阴爻对应(000)₂ = 0。 拓展探究 国际数学教育大会会徽 2002年在北京召开的第24届国际数学教育大会的会徽是一个正方形图案，其中包含了一些中国古代的记数符号。经研究发现，这些符号实际上可以用八进制数来解读。 6. 已知会徽中的某组符号对应的八进制数为(345)₈，请将其转换为十进制数。______ ________ 7. 一个八进制数(27)₈转换为十进制数是多少？______ ________ 综合实践任务 请从以下任务中任选一个，小组合作完成： 任务A：调查生活中还有哪些进位制的应用实例（如时间、角度、商品包装等），整理成一份小报告。 任务B：查阅资料，了解计算机如何用二进制表示文字、图像和声音，写一篇200字左右的科普短文。 任务C：研究十六进制的特点及其在计算机领域（如颜色代码、内存地址）中的应用，举例说明。 ________ ________ 六、达标检测 A组 基础达标（★~★★） 1. 十进制数的特点是（ ） A. 逢二进一 B. 逢八进一 C. 逢十进一 D. 逢十六进一 2. 二进制数(110)₂转换为十进制数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 十进制数6转换为二进制数是（ ） A. (100)₂ B. (101)₂ C. (110)₂ D. (111)₂ 4. (1010)₂ = ______（十进制） 5. 二进制加法 1 + 1 = ______ 6. 1 KB = ______ B = 2______B（填10的幂次） B组 能力提升（★★★~★★★★） 7. 计算 (1011)₂ + (110)₂ = ______（结果用二进制表示） ________ 8. 将十进制数100转换为二进制数：______ ________ 9. 八进制数(56)₈转换为十进制数：______ ________ 10. 已知(11111)₂ = 31，(100000)₂ = 32，观察规律，(1000000)₂ = ______（十进制） ________ 11. 一个二进制数由4位组成（如0000~1111），这样的数最多可以表示多少个不同的十进制数？______ ________ C组 拓展探究（★★★★★） 12. 某种密码系统使用四进制（数字0~3，逢四进一）。（1）将四进制数(213)₄转换为十进制数；（2）将十进制数50转换为四进制数；（3）计算四进制加法 (123)₄ + (210)₄。 ________ ________ 13. 探究题：观察二进制数 1, 10, 100, 1000, 10000, …（即2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, …）（1）这些数在十进制中分别是______；（2）你发现什么规律？______；（3）利用你的发现，快速计算(11111)₂的十进制值。 ________ ________ 七、课后反思 1. 本节课我学会了________________________________________________ ________ 2. 我还不明白的地方是____________________________________________ ________ 3. 我容易出错的是________________________________________________ ________ 4. 生活中还有哪些进位制的应用？__________________________________ ________ 参考答案 课前预习 1. 十，十，10（0~9） 2. 千位，3×1000=3000；百位，7×100=700 3. 已直接给出 4. 0，1，二 5. 二进制只有0和1两个数字，正好对应电路的通和断两种状态，便于用电子器件实现（答案合理即可） 活动一 1. (1101)₂ = 1× + 1× + 0× + 1× = 8+4+0+1 = 13 2. 25÷2=12…1，12÷2=6…0，6÷2=3…0，3÷2=1…1，1÷2=0…1，逆序：(11001)₂ 3. 89÷2=44…1，44÷2=22…0，22÷2=11…0，11÷2=5…1，5÷2=2…1，2÷2=1…0，1÷2=0…1，逆序：(1011001)₂ 活动二 4. 128GB = 128 × 1024 MB = 131072 MB ≈ 1.31× MB 5. 45 = (101101)₂，23 = (10111)₂，(101101)₂ + (10111)₂ = (1000100)₂ = 68 ✓ 活动三 6. (345)₈ = 3× + 4× + 5× = 192+32+5 = 229 7. (27)₈ = 2× + 7× = 16+7 = 23 达标检测 A1. C A2. C A3. C A4. (1010)₂ = 1× + 0× + 1× + 0× = 8+0+2+0 = 10 A5. 10（逢二进一） A6. 1024，10 B7. (1011)₂ + (110)₂ = (10001)₂ B8. 100÷2=50…0，50÷2=25…0，25÷2=12…1，12÷2=6…0，6÷2=3…0，3÷2=1…1，1÷2=0…1，逆序：(1100100)₂ B9. (56)₈ = 5× + 6× = 40+6 = 46 B10. 64（规律：二进制1后跟n个0等于2ⁿ，(1000000)₂ = 2⁶ = 64） B11. 16个（从0000到1111，即0到15，共16个不同数） C12. (1)(213)₄ = 2× + 1× + 3× = 32+4+3 = 39；(2)50÷4=12…2，12÷4=3…0，3÷4=0…3，逆序：(302)₄；(3) (123)₄ + (210)₄ = (333)₄ C13. (1)1, 2, 4, 8, 16；(2)二进制中1后面每多一个0，十进制值就乘以2，即10…0（n个0）= 2ⁿ；(3)(11111)₂ = 100000 - 1 = 2⁵ - 1 = 31 学科网（北京）股份有限公司 $