1.2.4 绝对值 （第6课时）学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦绝对值知识，涵盖几何意义、代数定义、非负性及互为相反数的绝对值相等。通过智能制造精密加工、智能手环步数统计等现实情境导入，从距离入手引出概念，承接数轴和相反数知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 导学案以核心素养为导向，通过数学抽象从距离抽象出绝对值本质，借助几何直观利用数轴理解意义，通过逻辑推理培养严密思维。情境贴近生活激发兴趣，合作探究、错误诊所、分层达标检测设计，帮助学生夯实基础提升能力，适合自主学习与教师教学评估。

1.2.4 绝对值（第6课时）导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册 班级：________ 姓名：________ 日期：________ 一、学习目标 【知识技能】 2. 理解绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做|a| 3. 掌握绝对值的代数定义：a>0时|a|=a；a=0时|a|=0；a<0时|a|=-a 4. 理解绝对值的非负性：|a|≥0，会用绝对值的非负性解决相关问题 5. 掌握互为相反数的绝对值相等：|a|=|-a|，并能用它解决相关问题 【核心素养】 2. 数学抽象：从'距离'这一几何直观中抽象出绝对值的概念，理解绝对值的本质 3. 几何直观：借助数轴理解绝对值的几何意义，体会'数形结合'思想 4. 逻辑推理：利用绝对值的定义和非负性进行推理，培养严密思维能力 二、学习重难点 【学习重点】 绝对值概念的理解；绝对值代数定义的准确运用；绝对值非负性的应用。 【学习难点】 绝对值符号内含有字母时的分类讨论；利用绝对值的非负性求字母的值或证明问题。 三、情境导入 【情境一：智能制造中的精密加工】 某精密机械零件的直径要求为50mm，误差不超过±0.02mm（即实际直径d满足|d-50|≤0.02）。如果用数轴来表示，合格品的直径d对应点到______的距离应满足什么条件？ ________ 【情境二：智能手环步数统计】 某智能手环显示小明今日步数为8764步，与目标10000步相差______步（用绝对值表示）。若用数轴表示，步数点与目标点之间的距离如何用绝对值表示？ ________ 【情境三：电动汽车续航里程】 某电动汽车实际续航里程与标称续航里程的偏差可用绝对值表示。若标称续航为500km，实际续航为x km，则偏差为______；当|x-500|=10时，x=______或x=______。 ________ 思考：以上情境都涉及'距离'，这与绝对值的几何意义有何联系？ 四、合作探究 探究点1：绝对值的几何意义 观察数轴，完成下列问题： ________ （1）数轴上，表示+5的点与原点的距离是______，记作|____|=____。 ________ （2）数轴上，表示-3的点与原点的距离是______，记作|____|=____。 ________ （3）归纳：一般地，数a的绝对值|a|的几何意义是_________________________。 ________ 【知识点1】绝对值的几何意义 数轴上，表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，记作|a|。 探究点2：绝对值的代数定义 思考：根据绝对值的几何意义，填写下表： a的值 | 在数轴上的位置 | |a|等于什么 | 结论 a=5 | 原点的右侧 | 5 | |a|=a a=0 | 原点 | 0 | |a|=0 a=-3 | 原点的左侧 | 3 | |a|=-a 【知识点2】绝对值的代数定义 ① 若 a > 0，则 |a| = a（即正数的绝对值是它本身） ② 若 a = 0，则 |a| = 0（即0的绝对值是0） ③ 若 a < 0，则 |a| = -a（即负数的绝对值是它的相反数） 思考：互为相反数的两个数，它们的绝对值有什么关系？ 探究点3：非负性及应用 观察：|5|=5≥0，|-3|=3≥0，|0|=0≥0，|a|≥0 ________ 【知识点3】绝对值的非负性 ① |a| ≥ 0，即任何数的绝对值都是非负数。 ② 若 |a| + |b| = 0，则 a = 0 且 b = 0。（几个非负数之和为0，则每个都为0） 【知识点4】绝对值的常用结论 ① |a| = |−a|（互为相反数的绝对值相等） ② |a| = |b| ⇒ a = b 或 a = −b ③ 已知 |a| = m（m > 0），则 a = ±m ④ 已知 |a| = m（m = 0），则 a = 0 ⑤ 已知 |a| = m（m < 0），则无解 五、典型例题 例1 求下列各数的绝对值：+6、-8、0、-、 思路：直接运用绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 变式训练：若|a| = 7，则 a = ______。 ________ 例2 已知 |x| = 5，|y| = 3，且 x < y，求 x 和 y 的值。 思路：由|x|=5得x=5或-5；由|y|=3得y=3或-3；结合x<y确定具体值。 变式训练：已知 |x| = 5，|y| = 3，且 x > y，求 x 和 y 的值。 ________ 例3 已知 |2a - 1| + |b + 3| = 0，求 a 和 b 的值。 思路：利用非负性：几个非负数之和为0，则每个都为0。 变式训练：若 |x - 2| + |y + 1| = 0，则 x = ______，y = ______。 ________ 六、错误诊所 请判断下列说法的正误，并说明理由。 1. 判断：|-5| = -5 （ ） 2. 判断：绝对值等于3的数是3 （ ） 3. 判断：|a| 一定大于0 （ ） 4. 判断：-a 一定是负数 （ ） 七、达标检测 A组 基础达标 1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. -1 2. |-| = （ ） A. -1/2 B. C. -2 D. 3. 若 |x| = 4，则 x = （ ） A. 4 B. -4 C. 4或-4 D. 2或-2 4. 绝对值不大于3的整数有______个。 5. 已知 a > 0，b < 0，|a| = 3，|b| = 5，则 a + b = ______。 6. 比较大小：|-8| ______ |-5|（填 > 或 < ）。 B组 能力提升 7. 已知 |a - 3| + |b + 2| = 0，求 a - b 的值。 ________ 8. 已知 |a| = 6，|b| = 4，且 a > b，求 a + b 的值。 ________ 9. 若 |x - 1| = 3，则 x = ______；若 |x + 2| = 0，则 x = ______。 10. 已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，求 |a + b| + |cd| 的值。 ________ C组 拓展探究 11. 阅读材料：若 |x| = a（a > 0），则 x = a 或 x = -a。应用：解方程 |2x - 3| = 5。 ________ 12. 若 |x| = x + 2，求 x 的值。（提示：注意分类讨论） ________ 八、中考链接 1. （2024·山东青岛）若 |x| = 7，|y| = 5，且 x < 0，y > 0，则 x + y = （ ） A. 12 B. -12 C. 2 D. -2 2. （2024·浙江杭州）若 |x - 2| + |y + 1| = 0，则 x² + y² = ______。 九、数学文化长廊 【绝对值符号的历史】 绝对值符号 | | 是数学中重要的基本符号之一。它的历史可以追溯到19世纪。 ________ 1841年，德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897）首次引入双竖线记号|a|来表示绝对值。 ________ 在此之前，绝对值的概念早已存在，但缺乏统一的符号表示。魏尔斯特拉斯的这一记法简洁明了，很快被数学界广泛采用。 ________ 魏尔斯特拉斯是现代分析学之父之一，他对严格化的追求影响了整个数学的发展方向。绝对值符号的引入，正是他追求数学符号统一性的体现。 ________ 【思考】 在魏尔斯特拉斯引入绝对值符号之前，数学家们会如何表示一个数的绝对值？尝试用文字描述一下。 ________ 十、课堂小结 【知识回顾】 1. 绝对值的几何意义：数轴上点到原点的距离 2. 绝对值的代数定义： a > 0 ⇒ |a| = a a = 0 ⇒ |a| = 0 a < 0 ⇒ |a| = -a 3. 绝对值的非负性：|a| ≥ 0 4. 互为相反数的绝对值相等：|a| = |-a| 【核心思想】 数形结合思想：通过数轴直观理解绝对值的几何意义 分类讨论思想：求绝对值时需根据正负性分类讨论 【易错提醒】 ① 绝对值等于正数a的数有两个，它们互为相反数 ② 0的绝对值是0，0既不是正数也不是负数 ③ 绝对值具有非负性，几个非负数之和为0则每个都为0 课后反思 1. 本节课我学会了________________________________________________ ________ 2. 我还不明白的地方是____________________________________________ ________ 3. 我容易出错的是________________________________________________ ________ 参考答案 情境导入 情境一. 50，表示直径d与标准值50mm的距离不超过0.02mm 情境二. |8764-10000| = 124步，|x-10000| 情境三. |x-500|，510或490 合作探究 探究1(1). |+5| = 5 探究1(2). |-3| = 3 探究1(3). 数轴上表示数a的点与原点的距离 典型例题 例1. 例1变式. a = 7 或 a = -7 例2.x = -5，y = 3 或 x = -5，y = -3 例2变式. 由 |x| = 5 得 x = 5 或 -5，由 |y| = 3 得 y = 3 或 -3；因为 x > y，需讨论：x = 5 时，5 > 3 且 5 > -3，所以 y = 3 或 -3 均满足；x = -5 时，-5 < 3 且 -5 < -3，不满足 x > y。所以 x = 5, y = 3 或 x = 5, y = -3 例3 .a = 1/2，b = -3 例3变式. x = 2，y = -1 错误诊所 1. × 理由：|-5| = 5，不是 -5 2. × 理由：绝对值等于3的数有3和-3两个 3. × 理由：当 a = 0 时，|a| = 0，不大于0 4. × 理由：-a 不一定是负数，当 a < 0 时 -a > 0 达标检测 A1. B（0的绝对值最小） A2. B A3. C（|x| = 4 则 x = 4 或 x = -4） A4. 7个（-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3） A5. a = 3，b = -5，a + b = -2 A6. |-8| > |-5|，即 > B7. 由非负性 |a-3| = 0 且 |b+2| = 0，得 a = 3，b = -2，a - b = 5 B8. 由 |a| = 6 得 a = 6 或 -6，由 |b| = 4 得 b = 4 或 -4。a > b 时：a = 6, b = 4 ⇒ a + b = 10；a = 6, b = -4 ⇒ a + b = 2。a = -6 时不可能大于 b。所以 a + b = 10 或 2。 B9. |x-1| = 3 ⇒ x = 4 或 x = -2；|x+2| = 0 ⇒ x = -2 B10. a + b = 0，cd = 1，|0| + |1| = 0 + 1 = 1 C11. 由 |2x-3| = 5，得 2x-3 = 5 或 2x-3 = -5，解得 2x = 8 或 2x = -2，所以 x = 4 或 x = -1。 C12. 分类讨论：① 当 x ≥ 0 时，|x| = x，方程变为 x = x + 2，无解；② 当 x < 0 时，|x| = -x，方程变为 -x = x + 2，解得 x = -1。所以 x = -1。 中考链接 1. D（|x| = 7 得 x = 7 或 -7，|y| = 5 得 y = 5 或 -5，x < 0 且 y > 0 时：x = -7，y = 5，x + y = -2） 2. |x-2| = 0 得 x = 2，|y+1| = 0 得 y = -1，x² + y² = 4 + 1 = 5 学科网（北京）股份有限公司 $