专题02 勾股定理（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 系统覆盖勾股定理从基础概念到综合应用的全题型训练，通过分层设计实现知识逻辑与解题能力的双提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股数识别|8题|聚焦整数勾股数判定与规律探究|从概念本质出发，构建勾股定理认知基础| |直接应用|11题|含分类讨论与动态问题|体现定理基本应用，培养几何直观与运算能力| |勾股树与面积|14题|结合图形变换与面积转化|强化数形结合思想，发展空间观念| |折叠与网格|15题|涉及对称性质与坐标计算|提升空间想象与数学抽象能力| |逆定理应用|12题|包含形状判定与综合计算|形成知识闭环，培养推理意识| |综合攻坚|23题|多知识点交叉融合|发展数学应用意识与创新思维|

专题02 勾股定理 目 录 A题型建模・专项突破 题型一、勾股数的识别 1 题型二、勾股定理的直接应用（常考点） 4 题型三、勾股树问题 12 题型四、勾股定理面积问题（常考点） 18 题型五、勾股定理网格问题 28 题型六、勾股定理折叠问题（重点） 33 题型七、勾股定理中线段的平方关系 43 题型八、勾股定理中以弦图为背景的问题（难点） 49 题型九、利用勾股定理的逆定理判断三角形形状 59 题型十、利用勾股定理的逆定理求解 64 B综合攻坚・能力跃升 71 题型建模·专项突破 A 题型一、勾股数的识别 1．下列各组数中，是一组勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．，， C．1，1， D．5，13，13 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：A、，是一组勾股数，故选项符合题意； B、，，都是分数，不是正整数，不满足勾股数要求，故选项不符合题意； C、不是正整数，不满足勾股数要求，故选项不符合题意； D、，不满足勾股数要求，故选项不符合题意； 故选：A． 2．下列各组数据中，不是勾股数的是（    ）． A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．1，2，3 【答案】D 【分析】本题考查勾股数问题，根据三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，这三个数为勾股数，进行判断即可． 【详解】解：A、，是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，符合题意； 故选D． 3．下列各组数据为勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，4 C． D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握定义是解题的关键．根据勾股数的定义，勾股数必须是正整数且满足，逐项判断即可． 【详解】解：勾股数需为正整数，且满足， A．0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数； B．，，，不是勾股数； C．和不是正整数，不是勾股数； D．3，4，5均为正整数，且，是勾股数． 故选：D． 4．下列四个数中，可以和，构成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数．如果三个正整数满足，则这三个数就是勾股数，设可以和，构成勾股数的另一个数为，当时，有，当时，有，分情况求出的值，再根据勾股数必须为正整数进行判断． 【详解】解：设可以和，构成勾股数的另一个数为， 当时，有， 解得：或(舍去)， 当时，有， 解得：(不是整数，舍去)， 可以和，构成勾股数的是， 故选： B． 5．已知勾股数的两个数分别是，，则勾股数的第三个数是______． 【答案】 【分析】此题考查了勾股数，构成一个直角三角形的三边的一组正整数，叫做勾股数，根据勾股数的定义列式计算即可，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， 则 ， ∴，是整数，符合题意； ， ∴，不是整数，不符合题意； 综上可知：勾股数的第三个数是， 故答案为：． 6．若9、41、m是一组勾股数，则m的值为______． 【答案】40 【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数是解题的关键． 分两种情况讨论：当m最大时，当41最大时，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：当m最大时，，不是正整数，舍去 当41最大时， ，符合题意． 故答案为：40． 7．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根据上面的规律，写出第8组勾股数：_____________． 【答案】17，144，145 【分析】观察得出规律：第组勾股数的第一个数为，第二个数为，第三个数为，即可解决问题．本题考查了勾股数的运用以及数字规律． 【详解】解：①；；． ②；；． ③；；． ④；；． 则第组勾股数的第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第8组勾股数为：17，144，145， 故答案为：17，144，145． 8．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是和，则第三个数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是， 故答案为：． 题型二、勾股定理的直接应用（常考点） 9．如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据中点，求出的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴ 10．已知一个直角三角形的两边长分别为，，则这个三角形的第三条边长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，分为直角边和斜边两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵ 直角三角形两边长分别为，， ∴ 当为直角边时，第三边（斜边）为  ， 当为斜边时，第三边（直角边）为 ， ∴第三边长为或， 故选：D． 11．直角三角形的一条直角边长是，另一条直角边比斜边短，则斜边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．设另一条直角边为，则斜边为，再由勾股定理求出的值，则可得出答案． 【详解】解：设另一条直角边为，则斜边为， ∵直角边长是， ∴， 解得， ∴斜边长为， 故选：D． 12．如图，在数轴上，点，对应的实数分别为，，，，以为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数与数轴及勾股定理的概念，即在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；通过勾股定理求出的长度，因为，再根据点对应的实数求出点对应的实数． 【详解】解：∵点， 对应的实数分别为，， ∴， ∵，，在直角三角形中， 根据勾股定理， ∵以为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点， ∴， 又∵点对应的实数为， ∴点对应的实数为． 故选：A． 13．如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 先根据勾股定理求出，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等得，从而得解． 【详解】解：∵于点M，，， ∴， 当时，的值最小， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的最小值为3． 故选：B． 14．如图，中，，为上一点，且，则______． 【答案】5 【分析】如图，过点A作于点E，首先由三线合一得到，然后利用勾股定理得到，，相减得到，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴ ∴， 得， ∴ ∴ ∴． 15．如图，，D为边中点，且于D，交于E，若面积为，长为，则长为______． 【答案】/ 【分析】连接，根据中线的性质得出，再由求出，利用垂直平分线的性质得出，再用勾股定理求出，从而得解． 【详解】解：连接， ∵D为边中点，面积为， ∴， 又∵长为， ∴， ∴， ∵D为边中点，且， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 16．在中，． (1)已知，，求； (2)已知 ，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理,二次根式的性质化简； （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理，二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：在中，， ，， ∴． 17．如图，已知在中，，，，求线段的长． 【答案】 【分析】此题涉及的知识有：含直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，利用了转化及方程的思想，其中作出辅助线构建直角三角形是本题的突破点． 过作垂直于，可得出三角形为直角三角形，根据一个锐角为，求出为，利用所对的直角边等于斜边的一半，得到，再利用勾股定理表示出，由直角三角形中为，得到此三角形为等腰直角三角形，即，最后根据求出的长即可． 【详解】解：过作于点，如图所示： 在中，，， ， ，， 又， ， ， ． 18．在中，，，．求的面积． 某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．如图，作，垂足为D，设，用含x的代数式表示CD，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型，利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．    【答案】，面积 【分析】设由勾股定理得：由此建立关于的方程求得的值，进而得出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作交于点． 在中，，设则． 在中，． 在中，． ． 解这个方程得：． ． ． ． 答：的长为，三角形的面积为336． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是“搭桥”建立等量关系是解题的关键． 19．如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设点的运动时间为秒． (1)当时，求的面积； (2)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)当为等腰三角形时，或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论动点的运动情况是解题的关键． （1）过点作，垂足为点，勾股定理求得，进而根据等面积法求得，再根据三角形的面积公式计算即可求解； （2）依题意，，分三种情况讨论，当时，当时，当时，结合图形分别求解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ∵在中，，，， ∴， 在中， 即， ， 当时， ∴的面积为： （2）依题意得， 当时，， 当时，， ， ∴ ∴ ∴ 解得：； 当时，过点作，垂足为，则 在中，， ∴ ∴ ∴， 当或或时，为等腰三角形． 题型三、勾股树问题 20．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理得，，，代入数值即可求解． 【详解】解：如图所示，标记正方形E， 由题意可知，，， ∴， ∵正方形B、C、D的面积依次为8、6、18， ∴， ∴， 故选：C． 21．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 故选：A 22．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形的面积为，由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积为， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… “生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：C． 23．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及规律型：图形的变化类，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， 以此类推，“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024， 故选A． 24．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2023次后形成的图形中所有正方形的面积之和为_____． 【答案】2024 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得， “生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024， 故答案为：2024． 25．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是_________． 【答案】215 【分析】本题主要考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，，正方形的面积是正方形、的面积和，同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和，正方形的面积是正方形、的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图所述，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ， 同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和， 所以正方形的面积=， 同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和， 所以正方形的面积=， 故答案为：215 26．如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为______；的值为______；的值为______． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2，1，． 题型四、勾股定理面积问题（常考点） 27．如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了半圆的面积计算公式，正确的根据勾股定理是解题的关键． 【详解】设直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c， 则， ， ， 故选择：C 28．如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ∵， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：B． 29．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为，，；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为，，．其中，，则（   ） A．86 B．64 C．54 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解． 先算出，再结合面积公式得，即，，再根据勾股定理得，故，同理得，，再把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：如图1所示：过点作， ∵是等边三角形，， ∴ 则， ∴ 同理得， 依题意，得， ∴ 即 即 ∴； 如图2： ， ， ， ∵， ∴， 则， 即， ∵， 上两式子相加，得， 故选：C． 30．如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据和勾股定理求出，，再求出，即可得到答案． 【详解】解：∵以为斜边在外侧作，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：C 31．如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，得出．设分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】解：如图，设分别交、于点、点， ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：38． 32．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是连接，构造两个直角三角形，利用勾股定理找到四个正方形的面积之间的关系是，再根据，求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ，，，， ， ， ． 故答案为： ． 33．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为__________． 【答案】12 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理以及正方形、长方形的面积进行解答即可． 【详解】解：设的斜边为：，两直角边为：b，c，斜边的正方形面积为：；直角边的正方形面积为：和， 故， 由勾股定理可知， ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 34．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析； (2)该飞镖状图案的面积是； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 则． （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 35．综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 【答案】【解决问题】；【拓展探究】结论仍成立，理由见解析；【推广应用】30 【分析】本题主要考查勾股定理； （1）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （2）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （3）先分别求得三个半圆和的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于大半圆的面积，再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和的面积的和减去大半圆的面积进行计算即可． 【详解】[解决问题]解：在中，，，，，由勾股定理得： ， 由正方形面积公式可得：， ∴； 故答案为； [拓展探究]解：成立，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 根据圆的面积公式可得：， ∴； [推广应用]解：如图， 根据（2）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． 阴影部分的面积直径为5与直径为12的两个半圆面积之和直角三角形的面积直角为13的半圆 直角三角形的面积， 阴影部分的面积． 36．现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形） (1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①：图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：_________________记为结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：____________记为结论③： (2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式__________________，结合结论②和结论③，可以得到一个等式_________________； (3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4）三个半圆的面积分别记作，，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何表示形式，勾股定理几何意义，圆面积公式，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据图形分别表示出图2中的大正方形的面积和图3中的大正方形的面积即可； （2）根据结论进行等量代换，即可解题； （3）根据图形和圆的面积公式分别表示出，，，再根据建立等式，结合求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ， 图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ， 故答案为：，． （2）解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式：； ，即， 所以结合结论②和结论③，可以得到一个等式：； 故答案为：，； （3）解：由图知， ，， ， ， ， ， ， 解得． 题型五、勾股定理网格问题 37．如图是由边长为的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从，则它所走的路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图片可知，、均为长、宽的矩形的对角线，运用勾股定理分别求出、的长再相加即可；本题考查了勾股定理，精准识图、准确计算是解题的关键． 【详解】解：， ． 故选：C． 38．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形网格，全等三角形的判定和性质，邻补角的性质，通过三角形全等求解是解题的关键．通过全等三角形的性质，邻补角的性质即可求解． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． ， 39．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长均为1，则方格纸上的中边长为无理数的边数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理求格点间的距离，再判断否过化简二次根式，判断是否为无理数，解题的关键是熟悉勾股定理求线段长． 【详解】解：的顶点在格点上，每个小正方形的边长为， ；；． 都是无理数， 无理数的边数是． 故选：． 40．如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为______．（可以用含根号的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，先求解，再进一步求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得，， 则， 点表示的数是1， ， 点所表示的数为． 故答案为：． 41．在的方格中，已知三点都在格点上． (1)如图，请仅用一把无刻度的直尺按要求作图（请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）．画出的平分线． (2)若每个小方格的边长为1，在的角平分线上有一点，已知，试求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征与勾股定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质作图； （2）根据网格与勾股定理得到，，由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∴即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 42．（1）如图，以一个单位长度为边画一个正方形，以正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴的交点表示两个数为：_______、_______．    （2）利用如图所示方格，请画出顶点在格点上且边长为无理数的2个正方形．    【答案】（1），；（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再确定弧与数轴的交点表示的数即可； （2）在方格中画出边长为和的正方形即可． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为1， ∴， ∴， ∴点B表示的实数为，点D表示的实数为；    故答案为：，． （2）如图：正方形即为所求．    43．如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． (1)画一个三边长分别为4，，的三角形； (2)画一个腰长为的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，正确画图是解答本题的关键． （1）根据勾股定理画出的线段可得三边长分别为4，，的三角形； （2）运用勾股定理求出边长为，可画出腰长为的等腰直角三角形 【详解】（1）解：，， 如图，即为边长分别为4，，的三角形， （2）解：， 如图，即为腰长为的等腰直角三角形 题型六、勾股定理折叠问题（重点） 44．如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键．首先由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ∴． 故选：B． 45．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是翻折的性质和勾股定理的应用．设，则，由翻折的性质可知，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由翻折的性质可知：， ∵点D是的中点， ∴． 在中，由勾股定理可知：， 即， ∴， ∴， 故选：A． 46．如图，长方形中，，，把这个长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，是折痕，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 根据折叠的性质可得，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵将此长方形折叠，使点B与点D重合， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 47．如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的周长为______． 【答案】21 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据图形翻折变换的性质得出，进而求出的周长． 【详解】解：在中，， ∴， ∵是翻折而成， ∴， ∴， ∴的周长． 48．如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是________，最大值是________ 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 本题分点与点重合，此时的值最大，点与点重合，此时的值最小，求出两个极值即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∴，如图1： 点与点重合，此时的值最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， 点与点重合，此时的值最小，如图2： ∵点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上所述，最小值是，最大值是， 故答案为：，； 49．如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 50．在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先证，再证明进而得出即可； （2）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合， ∴， 在中， ∴， ∴， ， ，即D是的中点； （2）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 51．已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)2或8 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， ， ， ， ， ∴重叠部分（阴影）的面积； （3）解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，，， ， ， ，即：，解得：； 当点D在线段上时， ∵将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为2或8． 52．折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则为所求作； （2）连接；设，则，在中由勾股定理建立方程求出的值，再在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如下：作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则关于对称，且是等腰三角形，，则为所求作折痕； （2）解：如图，连接； 设， ∵是等腰三角形， ∴； 由折叠知，， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 题型七、勾股定理中线段的平方关系 53．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故④正确； ，， ， 故③不正确， 故选：D． 54．如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 55．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，进而求出DC，再用勾股定理即可得结论． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 56．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 57．如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 题型八、勾股定理中以弦图为背景的问题（难点） 58．如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键．如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为． 故选：C． 59．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】首先求出四个直角三角形的面积，即可得到的值，根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后根据即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是41，小正方形的面积是1， 所以一个小三角形的面积是，， 所以，即， 所以． 所以． 60．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 利用勾股定理、线段的和差、完全平方公式、直角三角形的面积公式逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，由勾股定理得，，， ∴选项②错误，不符合题意，选项④正确，符合题意； 由得，，整理得， ∴， ∴选项③正确，符合题意（或由图形面积来证明）； 由③得， ∴， ∴， ∴选项①错误，不符合题意； 故选：C． 61．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为_________． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，即四个直角三角形的面积和，从而不难求得的值． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 故答案为：24． 62．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是______． 【答案】 【分析】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，，根据勾股定理得：，，整体代入可得结论． 【详解】解：正方形的面积为， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，， ， ， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ， ， ， ，， ， ， 则的值是； 故与的面积差为； 故答案为： 63．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形和正方形的面积公式，根据题目读懂题意，列出等量关系，验证勾股定理是解答本题的关键． （1）依题分析，直角三角形两个直角边长分别，，正方形的边长为，根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为； （2）剪开前，直角三角形的两直角边长分别为，，两个正方形边长分别为，；剪开后正方形的边长为，直角三角形的两直角边长分别为，，根据直角三角形和正方形的面积公式，列出剪开前后的面积公式，两个面积相等，得到验证． 【详解】（1）解：由图知， 直角三角形的两个边长为，， 正方形的边长为， ， ， 故答案为，， （2）根据题意，得， ， ， ，即 64．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【答案】(1)；；； (2)； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）运用等面积法计算即可； （2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可； （3）将风车周长表示出来，其中，再结合勾股定理求解出，最后计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：， 方法2：， ， 故答案为：；；； （2）解：， 当时，； （3）解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 65．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 【答案】(1)①见解析，② (2)新路比原路少千米； (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）①用两种不同的方法去求正方形的面积，然后整理即可解答．②利用①中发现的结论求解即可； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）如图：作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）①证明：中间小正方形的边长为， 四个直角三角形的面积为：， ， ． ②解：由①可知，， ， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路CH比原路CA少0.2千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 66．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图1，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积，解题的关键是数形结合． （1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积进行计算即可； （2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证． 【详解】（1）解：设斜边的长为， 由题意，得：，， ， ， 小正方形的面积为：； （2）图形的总面积可以表示为或， ， ． 题型九、利用勾股定理的逆定理判断三角形形状 67．下列条件不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理逆定理可判断A、B选项，由三角形内角和为可判断C、D选项． 【详解】解：A选项，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； B选项，由，设， 则，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； C选项，由，结合， 则，解得，是直角三角形； D选项，由，设， 则，解得， 此时最大角，不是直角三角形． 68．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，若三角形中，两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此判断出对应图形中直角三角形的个数即可得到答案． 【详解】解：A、，， ∴图中只有一个直角三角形，不符合题意； B、，， ∴图中有两个直角三角形，符合题意； C、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； D、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； 故选：B． 69．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴的形状是等腰三角形或直角三角形． 70．在中，，，的对边分别是a、b、c．下列条件中，可以判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理，直角三角形判定，解题的关键在于利用方程的思想解决问题． 根据各选项所给条件，结合勾股定理逆定理，三角形内角和定理，以及直角三角形判定，进行推理判断，即可解题． 【详解】解：A. ， 设， ， 则不是直角三角形，不符合题意； B. ，不能判定为直角三角形，不符合题意； C. ，， ，能判定为直角三角形，符合题意； D. ， 设，则， 有， 解得， 则， 不是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 71．在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，根据角度关系及内角列式求解即可判断A和C，根据勾股定理逆定理即可判断B和D，即可得到答案； 【详解】解：当时， ∵， ∴，解得：，故A能判断直角三角形，不符合题意， 当， ∴，故B能判断直角三角形，不符合题意， 当时，设 ∵， ∴，解得：， 则，，，故C不能判断直角三角形，符合题意， 当时， ， ∴，故D能判断直角三角形，不符合题意， 故选：C． 72．用三根长度分别为、、长的木棍__________围成一个直角三角形（填“能”或者“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵，， 即，， 故用三根长度分别为、、长的木棍不能围成一个直角三角形． 故答案为：不能． 73．已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为________． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理和等腰三角形的定义，直接利用非负数的性质，得出a，b，c之间的关系是解题关键． 由非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 74．已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为______． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质是解题的关键． 根据已知，，可得且，进而得出，，即，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义即可得出答案． 【详解】解： ， 且， ，，即， ，是直角三角形， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 75．已知a、b、c是的三边，且满足，．试判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据已知条件用含a的式子分别表示出b、c，再由建立方程求出a的值， 进而求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 题型十、利用勾股定理的逆定理求解 76．若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆应用和三角形面积的计算，解决此题的关键是合理的利用勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再求出面积即可； 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为3，4，5， 又， ∴这个三角形是直角三角形，且直角边分别为3，4， ∴该三角形的面积为， 故选：C． 77．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 78．如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，角平分线的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，再作于H，由角平分线的性质可得出，设，再由即可得出结论． 【详解】解：，，，， 是直角三角形， 作于H， 由题意，平分， ，， ，设， ， ， ， ， ， 故选：C． 79．已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则．②当时，则． ③当时，则．④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 80．如图，在四边形中，，则的度数为 ___________，四边形的面积为 ___________． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论；再由三角形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， 在中，， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为； 四边形的面积的面积的面积 ， ∴四边形的面积为． 故答案为：， 81．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是________． 【答案】234 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．连接，先利用勾股定理可得的值，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据四边形的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积等于 ； 故答案为：234． 82．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中， 根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解： 在中，， 由勾股定理得； （2）解：在中， 由于，即， 则是直角三角形， 因此． 83．如图，在中，D为边上的一点，． (1)请说明． (2)求的面积． 【答案】(1)说明见解析 (2)的面积为84 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，求三角形的面积， 对于（1），根据，可知为直角三角形，即可得出答案； 对于（2），先根据勾股定理求出，即可得出，然后根据的面积得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∴为直角三角形， ∴； （2）解：∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 84．如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】114 【分析】利用勾股定理求出的长，利用勾股定理的逆定理可证明，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ． 85．如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据三角形面积公式得出，再利用勾股定理得出，进而解答即可． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的周长． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）如图，在中，点D，E分别为，的中点，若，，则的长为（   ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】D 【分析】根据中点定义由求出，由求出，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵E为的中点，， ∴， ∵D为的中点，， ∴， 在中，， ∴．. 2．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为（   ）． A． B． C．24 D．25 【答案】B 【分析】连接，在和中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，，， 则由勾股定理可得， 在中，， 则是等腰直角三角形， 由勾股定理可得，解得， 则点到的距离为 ． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出的长度，根据角平分线和线段平行的性质，证明，则的周长可转换为，将长度代入即可求解． 【详解】解：在中，， ， 由平移可知， ， ∴， 又∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，． ∴的周长为． 4．（25-26八年级下·广西百色·期中）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合勾股定理逆定理求出即可． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ， ． 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是0，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，结合点在原点左侧即可求出点表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数为． 6．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）在中分别是的对边，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关判定方法即可解题，结合条件逐项判断即可得到结果． 【详解】解：对于A选项，∵ ， ∴ ，符合勾股定理的逆定理， ∴ 是直角三角形，A不符合题意． 对于B选项，∵ ， ∴ ，符合勾股定理的逆定理， ∴ 是直角三角形，B不符合题意． 对于C选项，∵ ，， ∴ 最大角 ， ∴ 不是直角三角形，C符合题意． 对于D选项，∵ ，且 ， ∴ ，代入内角和得 ，即 ， ∴ 是直角三角形，D不符合题意． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入较大的正方形内．若正方形和正方形的面积分别为4和9，则两块阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理以及二次根式的混合运算进行求解． 【详解】解：∵四边形、四边形和四边形都是正方形， 根据对称性可得两块阴影部分的面积相等， ∵， ∴由勾股定理得， ∴阴影部分的面积为． 8．（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，在中，，，，分别以的三条边为直径画半圆，则两个月牙形图案的面积之和（阴影部分）为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，半圆面积的计算，利用勾股定理证明两个月牙形图案的面积之和为的面积是解题的关键． 首先利用勾股定理求出的长，设以为直径的半圆分别为①，②，③，求出，从而得出两个月牙形图案的面积之和为的面积，进而得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 设以为直径的半圆分别为①，②，③， ∴， ，， ∴， ∴． 9．（2026·山西晋中·一模）如图，在中，，，点为的中点，连接并延长到点，连接．若，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及勾股定理的综合应用，解题关键是通过作辅助线构造等腰三角形的高，利用角的关系证明平行线与全等三角形，再结合中位线定理与勾股定理求解．先由等腰三角形三线合一得到平分，结合推出，进而证得；再利用证明，得到线段等量关系，结合三角形中位线定理求出相关线段长度，最后通过勾股定理计算出的长，进而求得的长度． 【详解】解：， 为等腰三角形， 过点作， 平分，， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ，， ，为中点， 为的中位线， ，为中点， 在中，， ，， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·天津北辰·期中）有10个边长为1的小正方形，排列形式如图（1），请将其分割，拼接成一个正方形．①拼接后的正方形的边长等于________．②在图（1）中画出分割线，在图（2）中画出拼接后的正方形（网格中小正方形的边长为1）． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】解：（1）拼接后的正方形的面积等于 则边长等于； （2）如图所示，即为所求． 11．（25-26八年级下·江西新余·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：最大的正方形的面积为， 根据题意，可得，，， 则， 正方形，，，的面积之和为． 12．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出，由折叠得，，，，设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 13．（25-26九年级下·江苏盐城·月考）如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2026个正方形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据题意得到第个正方形面积，即可得到答案． 【详解】解：第一个正方形面积， 第二个正方形面积， 第三个正方形面积， 故第个正方形面积， 则第2026个正方形的面积为． 14．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、，试判断这个三角形的形状． 【答案】 △是等腰三角形 【详解】解：∵、、， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形. 15．（25-26八年级下·北京·期中）如图．四边形中，，连接，且，若，求的长． 【答案】 【分析】根据，，，利用勾股定理求出；过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 过点作交延长线于． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 16．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）张大爷要修建一个如图所示的蔬菜大棚，大棚的横截面是直角三角形，棚宽米，高米，长米，求覆盖在棚顶的塑料薄膜至少需要多少平方米？ 【答案】平方米 【分析】利用勾股定理求出的长，再求出长方形的面积即可得到答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得（米）， （平方米）， 答：覆盖在棚顶的塑料薄膜至少需要平方米． 17．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解）研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以1，，为三边长构造三角形，利用三角形的三边关系进行比较． 解题过程：如图，在正方形网格中构造，使，，． 由三角形的两边之和大于第三边，得， 即 任务： (1)补全研究报告中“……”处的解题过程； (2)比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1) 根据二次根式运算求出分别平方后的值进行判断即可； (2) 方法一：根据二次根式运算求出分别平方后的值进行判断即可，方法二：在网格中构造边长分别是，，利用三角形三边关系确定三角形形状即可． 【详解】（1）解：∵ ，， ， ， ． （2）方法一： ，， ， ， 方法二：如图， 在正方形网格中构造，使，，. 由三角形的两边之和大于第三边，得， 即． 18．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，某住宅小区有一块空地（四边形），已知，，，，．小区为美化环境，计划在这块空地上铺草坪，已知草坪的价格为30元/． (1)计算四边形的面积； (2)用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1) (2)用该草坪铺满这块空地共需花费1080元 【分析】（1）先由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理证明为直角三角形，，再根据计算即可； （2）用四边形的面积乘以30，即可求总花费． 【详解】（1）解：连接，如图， ， 为直角三角形， 又∵，， 根据勾股定理得， ∵，， ，， ， 为直角三角形，， 则； （2）解：（元）， 用该草坪铺满这块空地共需花费1080元． 19．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． (1)由此得到等式________； (2)【探索研究】数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为、，斜边长为，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边、、的等式，整理后发现，，请说明此等式成立； 【推广应用】数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边、，斜边都存在的等量关系，利用此发现，解决下面问题： (3)如图3，是直角三角形，，大于，将绕点顺时针旋转得点的对应点为，点的对应点为，连接，若，，，，的面积为10，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）两种方法所表示的图形的面积相等即可得出答案； （2）利用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可； （3）根据旋转的性质，勾股定理以及三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：图2中大正方形的边长为，因此大正方形的面积为， 拼成图2的五部分的面积和为， 所以有， 即， ； （3）解： 是直角三角形，， ， 由旋转可知，，， ， ， 即， ， ， 即， ， ， ， ． 20．（25-26八年级下·安徽池州·期中）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【延伸扩展】 (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)新路比原路少米； (3)． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）证明：由图可知，， ，， ， 又 ， ， ， ， ； （2）设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ； 答：新路比原路少米． （3）解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ， 解得：． 21．（2026·安徽芜湖·二模）【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________； (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． ①当，时，如图4，___________；当，___________时，； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 【答案】(1)梯形的面积为或；见解析 (2) (3)①6；3；②；见解析 【分析】（1）此等腰梯形的面积由三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程求解即可； （2）由图可知行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，将n行n列的棋子分割为图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，，故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答； （3）①根据条件画图即可解答； ②根据多边形的内角和以及分割后的所有三角形的内角和分别计算，即可得出方程求解． 【详解】（1）解：有三个直角三角形，其面积分别为，和， 直角梯形的面积为， 由图形可知：， ， ， ． 直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形中，； （2）解：n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为， 将n行n列的棋子分割为如图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，， 则； （3）解： ①如图，当，时，； 如图，当，时，； ②． 验证：把n边形剪成y个三角形，内角和为， 在n边形内画m个点，内角和为n边形内角和与m个周角的和， 即， 可得， 故． 22．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 (1)__________，__________； (2)请用含有（为正整数）的式子填空：__________，__________； (3)求的值． 【答案】(1)6； (2)， (3) 【分析】（1）阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （2）阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （3）先根据阅读材料代入，然后分母有理化，最后再整理即可解答． 【详解】（1）解：根据已知内容归纳总结可得： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 …， （是的面积）． （2）解：阅读新定义，根据已知内容归纳总结可得： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 …， （是的面积）． （3）解： ． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠． 【初步尝试】 (1)如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则 ． 【拓展迁移】 (2)如图2，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，． ① ， ； ②求正方形的边长． 【答案】(1) (2)①，；②正方形的边长是 【分析】（1）由勾股定理求出的长，由正方形的性质可得出答案； （2）由全等三角形的性质及正方形的性质可得出答案； 由勾股定理得出，设 ，则，求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵长方形纸片可看作由个全等的小正方形组成，是的中点， ∴， ∴， ∵拼接成一个大正方形纸片， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ②由①可知，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 设， ∴ ， 解得， ∴， ∴， ∴正方形的边长是． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理目 录 A题型建模・专项突破 题型一、勾股数的识别 1 题型二、勾股定理的直接应用（常考点） 2 题型三、勾股树问题 4 题型四、勾股定理面积问题（常考点） 6 题型五、勾股定理网格问题 10 题型六、勾股定理折叠问题（重点） 12 题型七、勾股定理中线段的平方关系 15 题型八、勾股定理中以弦图为背景的问题（难点） 16 题型九、利用勾股定理的逆定理判断三角形形状 20 题型十、利用勾股定理的逆定理求解 21 B综合攻坚・能力跃升 24 题型建模·专项突破 A 题型一、勾股数的识别 1．下列各组数中，是一组勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．，， C．1，1， D．5，13，13 2．下列各组数据中，不是勾股数的是（    ）． A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．1，2，3 3．下列各组数据为勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，4 C． D．3，4，5 4．下列四个数中，可以和，构成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知勾股数的两个数分别是，，则勾股数的第三个数是______． 6．若9、41、m是一组勾股数，则m的值为______． 7．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根据上面的规律，写出第8组勾股数：_____________． 8．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是和，则第三个数是_______． 题型二、勾股定理的直接应用（常考点） 9．如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 10．已知一个直角三角形的两边长分别为，，则这个三角形的第三条边长为（    ） A． B． C． D．或 11．直角三角形的一条直角边长是，另一条直角边比斜边短，则斜边长为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在数轴上，点，对应的实数分别为，，，，以为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数为（   ） A． B． C． D． 13．如图，平分，点P是上一点，于点M，点N是射线上的一个动点．若，，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 14．如图，中，，为上一点，且，则______． 15．如图，，D为边中点，且于D，交于E，若面积为，长为，则长为______． 16．在中，． (1)已知，，求； (2)已知 ，，求． 17．如图，已知在中，，，，求线段的长． 18．在中，，，．求的面积． 某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．如图，作，垂足为D，设，用含x的代数式表示CD，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型，利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．    19．如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设点的运动时间为秒． (1)当时，求的面积； (2)当是等腰三角形时，求的值． 题型三、勾股树问题 20．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 21．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．1 22．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 23．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 24．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2023次后形成的图形中所有正方形的面积之和为_____． 25．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是_________． 26．如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为______；的值为______；的值为______． 题型四、勾股定理面积问题（常考点） 27．如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（   ） A． B． C． D． 28．如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．4 C．5 D．8 29．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为，，；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为，，．其中，，则（   ） A．86 B．64 C．54 D．48 30．如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B． C． D． 31．如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则______． 32．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则_____． 33．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为__________． 34．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 35．综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 36．现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形） (1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①：图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：_________________记为结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：____________记为结论③： (2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式__________________，结合结论②和结论③，可以得到一个等式_________________； (3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4）三个半圆的面积分别记作，，，且，求的值． 题型五、勾股定理网格问题 37．如图是由边长为的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从，则它所走的路程是（   ） A． B． C． D． 38．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 39．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长均为1，则方格纸上的中边长为无理数的边数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 40．如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为______．（可以用含根号的式子表示） 41．在的方格中，已知三点都在格点上． (1)如图，请仅用一把无刻度的直尺按要求作图（请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）．画出的平分线． (2)若每个小方格的边长为1，在的角平分线上有一点，已知，试求四边形的面积． 42．（1）如图，以一个单位长度为边画一个正方形，以正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴的交点表示两个数为：_______、_______．    （2）利用如图所示方格，请画出顶点在格点上且边长为无理数的2个正方形．    43．如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． (1)画一个三边长分别为4，，的三角形； (2)画一个腰长为的等腰直角三角形． 题型六、勾股定理折叠问题（重点） 44．如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 45．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 46．如图，长方形中，，，把这个长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，是折痕，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 47．如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的周长为______． 48．如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是________，最大值是________ 49．如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 50．在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 51．已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 52．折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 题型七、勾股定理中线段的平方关系 53．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 54．如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 55．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ______． 56．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 57．如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 题型八、勾股定理中以弦图为背景的问题（难点） 58．如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 59．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 60．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 61．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为_________． 62．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是______． 63．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 64．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 65．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 66．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图1，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 题型九、利用勾股定理的逆定理判断三角形形状 67．下列条件不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 68．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 69．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 70．在中，，，的对边分别是a、b、c．下列条件中，可以判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 71．在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 72．用三根长度分别为、、长的木棍__________围成一个直角三角形（填“能”或者“不能”）． 73．已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为________． 74．已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为______． 75．已知a、b、c是的三边，且满足，．试判断的形状，并说明理由． 题型十、利用勾股定理的逆定理求解 76．若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 77．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 78．如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 79．已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则．②当时，则． ③当时，则．④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 80．如图，在四边形中，，则的度数为 ___________，四边形的面积为 ___________． 81．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是________． 82．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 83．如图，在中，D为边上的一点，． (1)请说明． (2)求的面积． 84．如图，在四边形中，，求四边形的面积． 85．如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）如图，在中，点D，E分别为，的中点，若，，则的长为（   ） A．18 B．16 C．14 D．12 2．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为（   ）． A． B． C．24 D．25 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广西百色·期中）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是0，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）在中分别是的对边，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入较大的正方形内．若正方形和正方形的面积分别为4和9，则两块阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，在中，，，，分别以的三条边为直径画半圆，则两个月牙形图案的面积之和（阴影部分）为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·山西晋中·一模）如图，在中，，，点为的中点，连接并延长到点，连接．若，则线段的长为________． 10．（25-26八年级下·天津北辰·期中）有10个边长为1的小正方形，排列形式如图（1），请将其分割，拼接成一个正方形．①拼接后的正方形的边长等于________．②在图（1）中画出分割线，在图（2）中画出拼接后的正方形（网格中小正方形的边长为1）． 11．（25-26八年级下·江西新余·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为___________． 12．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 13．（25-26九年级下·江苏盐城·月考）如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2026个正方形的面积为_________． 14．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、，试判断这个三角形的形状． 15．（25-26八年级下·北京·期中）如图．四边形中，，连接，且，若，求的长． 16．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）张大爷要修建一个如图所示的蔬菜大棚，大棚的横截面是直角三角形，棚宽米，高米，长米，求覆盖在棚顶的塑料薄膜至少需要多少平方米？ 17．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解）研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以1，，为三边长构造三角形，利用三角形的三边关系进行比较． 解题过程：如图，在正方形网格中构造，使，，． 由三角形的两边之和大于第三边，得， 即 任务： (1)补全研究报告中“……”处的解题过程； (2)比较与的大小． 18．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，某住宅小区有一块空地（四边形），已知，，，，．小区为美化环境，计划在这块空地上铺草坪，已知草坪的价格为30元/． (1)计算四边形的面积； (2)用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 19．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． (1)由此得到等式________； (2)【探索研究】数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为、，斜边长为，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边、、的等式，整理后发现，，请说明此等式成立； 【推广应用】数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边、，斜边都存在的等量关系，利用此发现，解决下面问题： (3)如图3，是直角三角形，，大于，将绕点顺时针旋转得点的对应点为，点的对应点为，连接，若，，，，的面积为10，求的面积． 20．（25-26八年级下·安徽池州·期中）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【延伸扩展】 (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 21．（2026·安徽芜湖·二模）【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________； (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． ①当，时，如图4，___________；当，___________时，； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 22．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 (1)__________，__________； (2)请用含有（为正整数）的式子填空：__________，__________； (3)求的值． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠． 【初步尝试】 (1)如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则 ． 【拓展迁移】 (2)如图2，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，． ① ， ； ②求正方形的边长． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $