期末复习专项二次根式 （核心知识点） 2025-2026学年下学期初中数学人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦二次根式核心知识点，涵盖概念、运算及几何应用，通过基础巩固、能力提升到创新应用的梯度设计，适配八年级下册期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|6|最简二次根式、运算、化简、几何应用|基础概念辨析，结合矩形、等腰三角形情境| |填空题|5|有意义条件、大小比较、同类根式、数轴化简、新定义|中档应用，融入新定义“对偶式”| |解答题|8|化简求值、新运算、阅读理解、海伦公式应用|综合创新，含跨知识整合与数学文化渗透|

期末复习专项--二次根式 （核心知识点） 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册 一、单选题 1．下列各式是最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．是整数，则正整数n的最小值是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 4．二次根式化成最简结果为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 二、填空题 7．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 8．比较大小：_________（用或填空） 9．与最简二次根式是同类二次根式，则a＝_____． 10．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：______． 11．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，所以与互为“对偶式”．则的“对偶式”是________． 三、解答题 12．化简                                  （1）                       （2） （3）                        （4） 13．先化简，再求值，如果，，求的值． 14．若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求x，y的值． (2)求的平方根． 15．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n，如：1※2． （1）求（﹣2）※； （2）若3※m＜－6，化简． 16．（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题． ， ， ……； （2）用，，表示上述规律为： ； （3）利用（2）中的结论，求的值； （4）设，，试用含，的式子表示； 17．我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题． (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 18．【阅读理解】 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件为，解得，∴， ∴原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简：； (2)已知a、b、c为的三边长，化简：． 19．【再读教材】我们八年级下册数学课本第17页介绍了“海伦-秦九韶公式”；如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】已知如图在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C C B D B 1．D 此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 解：、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 2．C 本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答． 解：A、与不能合并，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D．，符合题意． 故选：C． 3．C ∵==2， ∴当n=6时，=6， ∴原式=2=12， ∴n的最小值为6． 故选C． 4．B 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 解：∵， ∴， ∴． 故选B． 5．D 本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 6．B 本题考查了二次根式的加法，也考查了等腰三角形的性质：两腰相等，注意要用三角形的三边关系确定出第三边． 先由三角形的三边关系确定出第三边的长，再求周长． 解：∵， ∴只能是腰长为， ∴等腰三角形的周长． 故选：B． 7． 本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于， ∴， 解不等式得：． 故答案为： ． 8．< 先把两个式子分母有理化，再比较化简后的结果的大小，从而得到原式的大小关系． 解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案是：<． 本题考查二次根式的化简和大小比较，解题的关键是掌握二次根式的化简方法和比较大小的方法． 9．3 首先化简二次根式，再根据同类二次根式定义可得2a﹣3＝3，再解即可． ， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴2a﹣3＝3， 解得：a＝3， 故答案为：3． 此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 10．/ 本题主要考查二次根式的化简，实数与数轴．由数轴可得，，从而得，，再结合二次根式的性质化简进行求解即可． 解：由数轴得：，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 11． 解：根据定义，与称为一对“对偶式”， 已知所求式子为，其中，， 可得它的“对偶式”为． 12．（1）；（2）；（3）；（4） （1）先利用二次根式的性质化简，然后利用二次根式的混合计算法则进行求解即可； （2）先利用二次根式的性质化简，然后利用二次根式的混合计算法则进行求解即可； （3）先利用完全平方公式和二次根式的性质去括号和化简，然后合并即可； （4）先取绝对值和利用平方差公式去括号，然后合并即可． 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 本题主要考查了二次根式的化简和实数的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 13．， 先对b分母有理化，计算出的值，再整体代入即可求解． 解：∵， ∴， ∴． 本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，二次根式的性质，注意：． 14．(1) (2) 本题考查的是同类二次根式的题目，求一个的平方根，算术平方根，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． （1）首先由二次根式被开方数为2，可知，据此求出的值；再根据同类二次根式的定义可得，将的值代入计算即可解答； （2）先求出，则，故可求5的平方根． （1）解：根据同类二次根式的定义，得，解得． 又， 把代入解得． （2）解：， ∴， ∴5的平方根为：． ∴的平方根为． 15．（1）；（2） （1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得； （2）根据新定义列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围即可得到最终答案． 解：（1） ； （2）由已知可得：3m<-6， 解之可得：m<-2，即-m>2， ∴2-m>4>0，-m-2>0， ∴． 本题考查实数运算的综合应用，熟练掌握新定义运算的解题方法、一元一次不等式的求解及二次根式的性质是解题关键． 16．（1）=，=，=；（2）（，）；（3）2；（4） 本题主要考查了二次根式的乘法运算， 对于（1），根据二次根式乘法得出结果判断即可； 对于（2），根据（1）中计算的结果得出结论； 对于（3），根据二次根式的乘法计算； 对于（4），根据规律得，即可得出答案. 解：（1），， ； ； ； 故答案为：； （2）（，）， 故答案为：（，）； （3）； （4），， 17．(1) (2) (3) 本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）分子、分母同时乘以，进行分母有理化即可求解； （2）根据材料提示，先根据分母有理化化简，再将两数作差进行比较即可； （3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． （1）解：； （2）解： ∴； （3）解： ． 18．(1)1 (2) （1）由二次根式有意义的条件可得，解得，再化简二次根式，再合并即可； （2）根据三角形三边关系得出，，，然后化简绝对值即可． （1）解：∵， 解得：， ∴， ∴ ； （2）解：∵a、b、c为的三边长， ∴，，， ∴ ． 本题主要考查二次根式的性质与化简，三角形三边关系，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 19．(1) (2) （1）直接代入公式计算即可； （2）用底乘高除以2的面积公式与用海伦秦九韶公式计算而得的结果相等，利用（1）中所求的面积，分别求出三角形三条边上的高，再求和即可． （1）三角形三边长分别为4、5、7， ， ； （2）， ， 解得，，． ． 学科网（北京）股份有限公司 $