专题01 二次根式期末常考知识点题型基础练（高效培优期末专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 围绕二次根式从概念到应用的7大题型系统编排，覆盖定义、性质、运算及实际应用，形成“概念识别-性质应用-综合运算-实际建模”的完整知识链，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式的定义|4题|概念辨析题，考查√a(a≥0)的识别|概念生成基础，为后续性质应用铺垫| |有意义的条件|7题|含分母/多条件的取值范围题|定义的直接应用，强化数学符号意识| |二次根式的性质|6题|√a²化简、结合数轴/绝对值综合题|深化概念内涵，培养逻辑推理能力| |最简二次根式|5题|根式化简判断题，考查化简标准|运算基础，连接性质与运算| |二次根式的运算|8题|加减乘除及新定义运算题|性质的综合应用，提升运算能力| |化简求值|5题|结合代数变形的求值题|运算与代数知识融合，培养数学语言表达| |实际应用|8题|几何面积、长度计算及生活应用题|知识生活化迁移，发展应用意识|

专题01 二次根式常考知识点题型 1 学科网（北京）股份有限公司 题型01：二次根式的定义 题型02：二次根式有意义的条件 题型03：二次根式的性质 题型04：最简二次根式 题型05：二次根式的运算 题型06：二次根式的化简求值 题型07：二次根式的实际应用 题型01：二次根式的定义 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．已知x为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（　　） A． B． C． D． 4．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（　　） A．16 B．21 C．27 D．32 题型02：二次根式有意义的条件 5．若二次根式有意义，则x的取值范围为（　　） A．x≥1 B．x≥0 C．x＞1 D．x＞0 6．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2 7．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0 8．使式子有意义的x的取值范围是（　　） A．x≤3 B．x≤3且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜3且x≠﹣2 9．若代数式有意义，则x的取值范围是 　 ． 10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 ． 11．如果代数式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是： 　 ． 题型03：二次根式的性质 12．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 13．若，则a的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 14．已知|a|＝4，，且，则a+b的值为（　　） A．﹣2或﹣10 B．2或10 C．10 D．﹣10 15．已知1≤x≤3，则化简后的结果是（　　） A．2 B．4﹣2x C．﹣2 D．2x﹣4 16．化简的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2025 D．2026 17．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简的结果为 ． 题型04：最简二次根式 18．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 19．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 20．下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 21．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 22．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 题型05：二次根式的运算 23．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 24．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D．3 25．下列各式计算错误的是（　　） A． B． C． D． 26．现定义一种新运算◎：对于任意正有理数x、y，都有x◎y2．例如：9◎3232，则6◎8＝ ． 27．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：a※．例：3※．按照这种运算方法，则7※9＝ 　 　 ． 28．计算下列各式： （1）； （2）． 29．计算： （1）； （2）． 30．计算： （1）； （2）． 题型06：二次根式的化简求值 31．若x+y，x﹣y＝﹣2，则x2﹣y2的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 32．若，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 33．已知a+b＝﹣2，ab＝1，则化简求的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 34．已知，，求下列各题的值： （1）ab； （2）a2﹣3ab+b2． 35．已知a、b满足0，求的值． 题型07：二次根式的实际应用 36．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（　　） A． B． C． D． 37．把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．20cm B． C． D． 38．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形ABCD，正方形ABCD的面积为50，AE＝3，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（　　） A． B．2 C．3 D．4 39．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为20cm2，相邻两张正方形正方形纸片的边长均相差1cm，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（　　） A． B． C．42cm2 D． 40．已知长方形的长为，宽为，其面积为　 　 m2． 41．如图，某农家乐有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为m，宽AB为m，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为（1）m，宽为（1）m． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 42．有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE． （1）求长方形木板ABCD的面积； （2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 43．材料1：古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． 阅读上述材料解决下列问题： （1）当三角形的三边长为5、6、7时，求这个三角形的面积为． （2）当三角形的三边长为、、时，求这个三角形的面积为． $ 专题01 二次根式常考知识点题型 1 学科网（北京）股份有限公司 题型01：二次根式的定义 题型02：二次根式有意义的条件 题型03：二次根式的性质 题型04：最简二次根式 题型05：二次根式的运算 题型06：二次根式的化简求值 题型07：二次根式的实际应用 题型01：二次根式的定义 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．当a＜0时，不是二次根式； B．∵﹣2＜0，∴不是二次根式； C．是二次根式； D．的根指数是3，不是二次根式； 故选：C． 2．下列是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据二次根式的被开方数必是非负数逐项分析判断如下： A、无意义，不符合题意； B、，当a＜0时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、，当a＜﹣1时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、，a为任意实数，a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 3．已知x为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零可得： A．当x＜0时，没有意义，不符合题意； B．当1+x≥0，即x≥﹣1时，有意义，即当x＜﹣1时，无意义，不符合题意； C．当，即x≠0时，有意义，即当x＝0时，无意义，不符合题意； D．当x2+1≥0，即x取全体实数时，有意义，符合题意． 故选：D． 4．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（　　） A．16 B．21 C．27 D．32 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，， 又∵是整数，且n是正整数， ∴正整数n的最小值是21． 故选：B． 题型02：二次根式有意义的条件 5．若二次根式有意义，则x的取值范围为（　　） A．x≥1 B．x≥0 C．x＞1 D．x＞0 【答案】A 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴x﹣1≥0， 解得：x≥1． 故选：A． 6．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x≥﹣2 【答案】D 【解答】解：由题意，得x+2≥0， 解得x≥﹣2． 故选：D． 7．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0 【答案】D 【解答】解：由题意可知：， ∴x≥﹣2且x≠0， 故选：D． 8．使式子有意义的x的取值范围是（　　） A．x≤3 B．x≤3且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜3且x≠﹣2 【答案】B 【解答】解：由条件可知3﹣x≥0，且2+x≠0， 解得：x≤3且x≠﹣2， 故选：B． 9．若代数式有意义，则x的取值范围是 x＜3　 ． 【答案】x＜3． 【解答】解：代数式有意义的x的取值范围是3﹣x＞0， 解得x＜3， 故答案为：x＜3． 10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞6　 ． 【答案】x＞6． 【解答】解：若式子在实数范围内有意义， 由题意可得：被开方数为非负数，且分式有意义的条件：分母不为0，可得x﹣6＞0， 解得：x＞6， 故答案为：x＞6． 11．如果代数式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是：　　 ． 【答案】． 【解答】解：由分母不为零和二次根式的被开方数必须是非负数可得， 解3x﹣2≠0得； 要使，需要3x﹣2＞0， 解得； 故答案为：． 题型03：二次根式的性质 12．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、a，原计算错误，不符合题意； B、±a，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、a+b，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 13．若，则a的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：∵， ∴a﹣1≤0， ∴a≤1， ∴若，则a的值可以是1． 故选：D． 14．已知|a|＝4，，且，则a+b的值为（　　） A．﹣2或﹣10 B．2或10 C．10 D．﹣10 【答案】B 【解答】解：∵|a|＝4，， ∴a＝±4，b＝±6， ∵， ∴a﹣b＜0， ∴a＝4，b＝6或a＝﹣4，b＝6， ∴a+b＝10或2， 故选：B． 15．已知1≤x≤3，则化简后的结果是（　　） A．2 B．4﹣2x C．﹣2 D．2x﹣4 【答案】A 【解答】解：∵1≤x≤3， ∴1﹣x≤0，3﹣x≥0， ∴原式＝x﹣1+3﹣x＝2． 故选：A． 16．化简的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【解答】解：由条件可知x﹣2026≥0， ∴x≥2026， 则 ＝|x﹣2025|﹣（x﹣2026） ＝x﹣2025﹣x+2026 ＝1， 故选：B． 17．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简的结果为c ． 【答案】c． 【解答】解：由题意得：a＜b＜0＜c， ∴a+b＜0，c﹣b＞0， ∴ ＝|a|﹣（﹣a﹣b）+|c﹣b| ＝﹣a+a+b+c﹣b ＝c， 故答案为：c． 题型04：最简二次根式 18．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．2，不是最简二次根式，故此选项不合题意； B．，是最简二次根式，故此选项符合题意； C．，不是最简二次根式，故此选项不合题意； D．，不是最简二次根式，故此选项不合题意． 故选：B． 19．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据最简二次根式的定义逐项分析判断如下： A、被开方数5为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意； B、，含平方因子4，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数π不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 20．下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 21．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．3，选项A不符合题意； B．，选项B不符合题意； C．是最简二次根式，选项C符合题意； D．a2，选项D不符合题意； 故选：C． 22．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、，不是最简二次根式； B、，被开方数21a中21不是完全平方数，a为变量，无平方因子，故为最简二次根式； C、，可化简，不是最简二次根式； D、，可化简，不是最简二次根式． 故选：B． 题型05：二次根式的运算 23．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．3与不能合并，所以A选项不符合题意； B．2，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．32，所以D选项不符合题意； 故选：B． 24．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【解答】解：A、2，故A不符合题意； B、32，故B不符合题意； C、4，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 25．下列各式计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、43，此选项计算正确； B、，此选项计算正确； C、（）2﹣（）2＝3﹣2＝1，此选项计算错误； D、3，此选项计算正确； 故选：C． 26．现定义一种新运算◎：对于任意正有理数x、y，都有x◎y2．例如：9◎3232，则6◎8＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵x◎y2， ∴6◎8 2 ＝34 ， 故答案为：． 27．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：a※．例：3※．按照这种运算方法，则7※9＝ 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：7※934． 故答案为：4． 28．计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）4； （2）210． 【解答】解：（1） 3 ＝23 ＝4； （2） ＝3﹣9﹣（3+1﹣2） ＝3﹣9﹣4+2 ＝210． 29．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4； （2）9+2． 【解答】解：（1）原式2 ＝42 ＝4； （2）原式＝18﹣3﹣（1﹣25） ＝18﹣3﹣6+2 ＝9+2． 30．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7； （2）8． 【解答】解：（1）原式＝3﹣（2）﹣（1）+3 ＝32﹣13 ＝7； （2）原式＝3+48﹣3+48 ＝8． 题型06：二次根式的化简求值 31．若x+y，x﹣y＝﹣2，则x2﹣y2的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【答案】C 【解答】解：∵x+y，x﹣y＝﹣2， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）， 故选：C． 32．若，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解答】解：由题意得，a3b+2a2b2+ab3 ＝ab（a2+2ab+b2） ＝ab（a+b）2． 又∵，ab＝1， ∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝1×3＝3． 故选：B． 33．已知a+b＝﹣2，ab＝1，则化简求的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【答案】B 【解答】解：∵a+b＝﹣2，ab＝1， ∴a＜0，b＜0， ， 当a+b＝﹣2，ab＝1，原式＝﹣1×（﹣2）＝2， 故选：B． 34．已知，，求下列各题的值： （1）ab； （2）a2﹣3ab+b2． 【答案】（1）2； （2）10． 【解答】解：（1）原式 ＝5﹣3 ＝2； （2）原式＝a2﹣2ab+b2﹣ab ＝（a﹣b）2﹣ab ＝12﹣2 ＝10． 35．已知a、b满足0，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵0， ∴， 解得：， 则原式 ． 题型07：二次根式的实际应用 36．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由添加可知阴影部分的长为：， ∴正方形②的边长为：， ∴正方形③的边长为：， ∴正方形③的面积为：． 故选：D． 37．把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．20cm B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设小长方形卡片的长为xcm， 根据题意得：， ∴， 则图②中两块阴影部分周长和是： ＝20（cm）， ∴图②中两块阴影部分的周长和是20cm． 故选：A． 38．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形ABCD，正方形ABCD的面积为50，AE＝3，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为50， ∴AB＝BC＝5， ∴BE＝532， ∴小正方形的边长为32，∴小正方形的面积为2， 故选：B． 39．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为20cm2，相邻两张正方形正方形纸片的边长均相差1cm，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（　　） A． B． C．42cm2 D． 【答案】D 【解答】解：中间正方形的边长为：cm， 根据题意：最小正方形的边长为：（1）cm， 最大正方形的边长为：（1）cm． ∴最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差： （1）2﹣（1）2 ＝20+1+220﹣1+2 ＝4 ＝4×2 ＝8（cm2）． 故选：D． 40．已知长方形的长为，宽为，其面积为　1　 m2． 【答案】1． 【解答】解：该长方形的面积为． 故答案为：1． 41．如图，某农家乐有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为m，宽AB为m，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为（1）m，宽为（1）m． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】（1）长方形ABCD的周长是； （2）如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元． 【解答】解：（1）由题意得，长方形ABCD的周长； 答：长方形ABCD的周长是； （2）由题意得，蔬菜地的面积 ＝48﹣（10﹣1）＝39（m2）， ∴销售收入＝39×8×15＝4680（元）． 答：如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元． 42．有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE． （1）求长方形木板ABCD的面积； （2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】（1）18cm2（2）木工乙的想法可行，理由见解析． 【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：， ∴，． ∴矩形ABCD木板的面积为． （2）木工乙的想法可行，理由如下： 从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为， ∴裁出长为：， 由（1）得长方形ABCD的长为宽为， ∵4，6，， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料． ∴木工乙的想法可行． 43．材料1：古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． 阅读上述材料解决下列问题： （1）当三角形的三边长为5、6、7时，这个三角形的面积为　　 ． （2）当三角形的三边长为、、时，这个三角形的面积为　　 ． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：． （2）由条件可得： ． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $