第九章图形的相似单元练习题2025-2026学年 鲁教版（五四制）八年级数学下册

**基本信息** 聚焦图形的相似单元，以文化传承与实际应用为情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，适配单元复习，强化相似三角形性质判定、黄金分割等核心知识的理解与应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相似三角形周长比、平行线分线段成比例|结合正多边形分割（第5题）考查相似多边形判定，体现几何直观| |填空题|5/20|黄金分割、折叠与相似分类讨论|以汉字“彩”习字格（第14题）渗透文化，考查黄金分割应用| |解答题|8/90|位似变换、实际测量、动态矩形综合|设计崂山老子铜像测量（第9题）、镜面反射测树高（第22题），强化模型意识与推理能力|

第九章 图形的相似 单元练习题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知：，且则一定经过(     ) A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 2.两个相似三角形的一组对应边的长分别是和，它们周长的差是，则这两个三角形的周长分别为(     ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.如图，在中，点，分别为边，上的点，且，若，，，则的长为(     ) A. B. C. D. 4.如图，已知在中，点，分别在边，上，，，点在上，，连接，交于点，那么等于(     ) A. B. C. D. 5.如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是(     ) A. B. C. D. 6.如图，∽，若，，，则的长是(     ) A. B. C. D. 7.如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：；；；，能满足与相似的条件是(     ) A. B. C. D. 8.如果点是线段的黄金分割点，，，那么的长为． A. B. C. 或 D. 或 9.崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树大树上的标志牌写着树高测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度约是(     ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10.如图，矩形，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，若，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.若，则            ． 12.如图，直线，交于点，，若，，，则的值为           ． 13.如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，则的长为           ． 14.黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为         ． 15.如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上．连接，将矩形沿翻折，点，，的对应点分别为，，，线段恰好经过点若，则的长等于           ． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 如图，在中，，，分别是，上的点，且，，，，求和的长． 17.本小题分 一个矩形的较短边长为． 如图，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长 如图，已知矩形的另一边长为，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求余下矩形的面积． 18.本小题分 如图，四边形的对角线，交于点，点是上一点，且求证：∽． 19.本小题分 如图，在中，，沿折叠，使得点落在斜边上的点处． 求证：∽ 已知，，求线段的长度． 20.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． 画出将向左平移个单位得到的； 以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为：； 判断和是否是位似图形直接写结果若是直接写出位似中心点的坐标． 21.本小题分 如果是我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法如图： 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕和线段． 求的度数： 在第题图中，延长交于，过点作于点，得出一个以为宽的黄金矩形黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为，若已知，求的长． 22.本小题分 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端再用皮尺分别测量，，，观测者目高的长利用测得的数据可以求出这棵树的高度已知于点，于点于点，米，米米，米，求这棵树的高度的长． 23.本小题分 已知矩形，点为直线上的一个动点点不与点重合，连接，以为一边构造矩形按逆时针方向排列，连接，若为常数，请完成下列问题： 如图，当时，线段与线段的数量关系为          位置关系为           如图，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由 如图，在的条件下，连接，取线段的中点，连接，若，求线段的最小值。 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一次函数图象与系数的关系以及比例的性质，利用了比例的性质，因式分解，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据比例的性质，可得等式，根据因式分解，可得，根据函数图象与系数的关系，可得答案． 【解答】 解：由，，得   ，  ，  ， 得 ． 移项，得 ． 因式分解，得 或， 当时，，即， 函数图象过第二、三、四象限； 当时，，函数图象过第一、二、三象限， 综上所述：函数图象过第二、三象限， 故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比． 根据两个相似三角形的对应边的长，可求出它们的相似比，也就求出了它们的周长比，再根据它们的周长差为，即可求出两三角形的周长． 【解答】 解：两相似三角形的一组对应边为和， 两相似三角形的周长比为：， 设较小的三角形的周长为，则较大三角形的周长为， 依题意，有：，， ，， 因此这两个三角形的周长分别为，． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【解答】 解：， ， ， ， 故选C． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．首先，，可得，再根据可得，进而可得，设，可求出，，进而求出即可解决问题． 【解答】 解：， ， ：：，， ：：， ：：， ， ：：， 设，则， ，， ：：：， 故选B． 5.【答案】  【解析】【分析】 根据相似多边形的定义一一判断即可． 本题考查相似多边形的判定，解题的关键是理解相似多边形的定义，属于中考常考题型． 【解答】 解：中阴影部分是等边三角形，根据任意两个等边三角形都相似，可以判定选项A符合题意． ，，选项中阴影部分都不是正多边形，与原正多边形不相似， 故选A． 6.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键． 直接利用相似三角形的性质，得出   ，进而得出答案． 【解答】 解：因为 ∽，所以    ，即   ，解得． 所以的长是． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断．【解答】 解：、当， ， ∽，符合题意； 、当， ， ∽，符合题意； 、当， 即：：， ∽，符合题意； 、当，即：：， 而， 不能判断和相似，不符合题意； 故选D． 8.【答案】  【解析】解：当点是线段的黄金分割点，且， ， ， 解得：， 故选B． 9.【答案】  【解析】解：如图，，延长，交的延长线于点， ∽， ，即，， 解得：经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， ∽， ，即， 解得：． 答：老子铜像的高度约是米， 故选：． 延长，交于，证明∽，∽，得到，，将相关数据代入计算即可． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 10.【答案】  【解析】解：连接，如图： ，， ∽， ， ， 延长至点，使，连接，则， ， 当点为与的交点时，取最小值，此时 即的最小值为， 故选：． 本题的思路是先根据两条边对应成比例并且夹角相等证明三角形相似，将转化为，然后做关于的对称线段，结论自然可得． 本题考查了矩形的性质，掌握三角形相似的性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】本题考查了比例的性质，分式的求值，根据比例关系设参数表示出，再代入分式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：， 可设，， ， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：，， ， ，， ， 故答案为：． 根据题意求出，再根据平行线分线段成比例定理计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 13.【答案】 或  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质、翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情形分别求解即可； 【解答】解：当时，， ，， 当时，，，． 综上，的长为或． 14.【答案】  【解析】解：点为的黄金分割点，且，， ， 故答案为：． 根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 本题考查了黄金分割，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15.【答案】  【解析】设，，由可得，根据相似三角形的性质可得，进而可得过点作，则四边形是矩形，再证，根据相似三角形的性质可得，进而可得求得，，即． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 设，，则，， ， ， ， ， 化简得， 由折叠的性质可得，，，，， 过点作，则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 解得，， ． 16.【答案】解：， ． ， ，， ． ， ．  【解析】此题考查平行线分线段成比例，掌握其性质是解题的关键． 利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 17.【答案】【小题】 由已知得，，沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，矩形与矩形相似，，，即，，即它的另一边长为 【小题】 矩形与原矩形相似，，，，，矩形的面积．   【解析】 见答案  见答案 18.【答案】证明：， ， 即． 又，，， ． ∽．  【解析】本题考查了三角形的相似性质的利用，当然还有其他方法，但在解题中，我们要灵活应用．先由得出，再根据三角形外角性质得出，故可得出结论． 19.【答案】证明：，沿折叠， ， ， 又， ∽； 由勾股定理得，． 由折叠的性质知，，，． ， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：．  【解析】本题考查了相似三角形的判定，翻折变换，勾股定理有关知识． 根据折叠的性质得出，利用，证明三角形相似即可； 由折叠的性质知，根据题意在中运用勾股定理求，进而得出即可． 20.【答案】解：如图，即为所求； 如图，即为所求； 如图，和是位似图形，位似中心．   【解析】根据平移的性质作图即可； 根据相似比作图即可； 根据位似的概念即可得出答案． 本题主要考查作图，平移变换，掌握作图方法是解题的关键． 21.【答案】解：如图，连接， 由折叠可得：，，垂直平分， ， ， 为等边三角形， ， ． 四边形为矩形， ， ； 如图： 是矩形纸片，， ， 黄金矩形以为宽，， ， ， ， ， 由勾股定理得， ．  【解析】连接，先证明为等边三角形，从而，由等边三角形的性质及矩形的性质即可求出的度数，即可得到； 先根据黄金矩形求出，再根据得到，然后根据度角的性质和勾股定理求出，然后作答即可． 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，度角的性质和勾股定理，能够根据折叠的性质证出是解题的关键． 22.【答案】解：过点作水平线交于点，交于点，如图， 是水平线，，，都是铅垂线， 米，米，米， 米， 又根据题意，得，， ∽， ，即 ， 解得：米， 米， 答：这棵树的高度为米．  【解析】过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出∽，再根据对应边成比例解答即可． 本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 23.【答案】解：；； 由题意得：四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ≌， ，， ， ， ； ，，理由如下： ， ， ， ， ∽， ，， ， ， ； 连接交于，连接，过作交延长线于，作于， 是矩形， ， 即是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， 由可知：， ， 点在过点且垂直于的直线上运动， 根据垂线段最短，当运动到点时，的长度最小，其值等于， ， 四边形是矩形， ， 在矩形中，，， ， ， ，， ，， ∽， ， ， ， ， ， 即的最小值为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $