微专题11 相似三角形与平行四边形的综合探究题-【练测考】2025-2026学年八年级下册数学（鲁教版五四制）

微专题十一 相似三角形 1.如图，有一块直角三角形余料ABC, ∠BAC=90°，G,D分别是AB,AC边上的 一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG,其 中E,F在BC上，若BF=4.5cm,CE= 2cm,则GF的长为 A.3 cm B.2√2cm C.2.5 cm D.3.5 cm B E 2.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD交于 点O,M为AD的中点，连接CM交BD于点 N,则S△MDN:S△D A.1:3 B.1:5 C.2:3 D.1:6 3.如图，矩形ABCD中，AB=8,C BC=12,点E为BC的中点，点 G为AD上一点，连接AE,BG 交于点F,连接CF,当CF⊥BG 时，线段AG的长度是()B A.4 B.6 C.5 D.3 4.(海南中考)如图，在菱形ABCD中，点E是 边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线 于点F,若BF:CE=1:2,EF=√7，则菱 形ABCD的边长是 A.3 D B.4 C.5 4 D.57 5.如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与 BD交于点O,E为CD延长线上一点，且 CD=DE,连接BE,分别交AC,AD于点 F,G,连接OG.下列结论： A D 只有千锤百炼，才能成为好钢。 第九章图形的相似 与平行四边形的综合探究题 ①0G=2AB: ②由点A,B,D,E构成的四边形是菱形； ③S四边形ODGF=S△ABF; ④S△ACD=4S△BOG. 其中正确结论的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，F为□ABCD的边AD的延长线上的 一点，BF分别交CD,AC于G,E,若EF= 32,GE=8,则BE= D 第6题图 第7题图 7.矩形ABCD中，E,F,M分别为AB,BC, CD边上的点，且AB=6,BC=7,AE=3, DM=2,EF⊥FM,则BF的长为 8.如图，正方形ABCD中，FA 为AB上一点，E是BC延 F G 长线上一点，且AF=EC, M 连接EF,DE,DF,M是 FE的中点，连接MC,设 FE与DC相交于点N.则以下4个结论： ①DN=DG;②△BFG∽△EDG∽△BDE; ③CM垂直BD;④若MC=√2，则BF=2. 正确的结论有 9.如图，点E为正方形ABCD的边CD的中 点，连接AE,BE,BE交对角线AC于点F, 连接FD交AE于点G,如果DF=4,求AB 的长 125 练测考八年级数学下册LJ 10.如图，在□ABCD中，AC=BC=10,AB= 12.动点P从点B出发，沿线段BA以每秒 2个单位长度的速度向终点A运动，过点 P作PH⊥BA交BC于点H;同时动点Q 从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位 长度的速度向点C运动.设运动的时间为 t秒(0<t<5). (1)点C到边AB的距离为 PH= ;(用含t的代数式表示) (2)是否存在某一时刻t,使S△PcQ· S△DcQ=1：6,若存在，求t的值；若不存 在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻t,使点P,Q,D共线？ 若存在，求t的值；若不存在，请说明理由. 126起跑领先一小步，人生领先一大步。 11.如图，矩形ABCD,点P是对角线AC上的动 点（不与A,C重合），连接PB,作PE⊥PB交 射线DC于点E.已知AD=6,AB=8.设AP 的长为x, (1)如图，PM⊥AB于点M,交CD于点 N.求证：△BMP∽△PNE; (2试探究那是香是定值？若是，请求出 这个值；若不是，请说明理由； (3)当△PCE是等腰三角形时，请求出所有 x的值. NE 备用图.△OBQp△OAP QB=2×1.2=0.6m. OQ=OP-PQ=3-1=2(m), 又Sm0=π×(1.2÷2)2=0.36π(m2), 4 ∴.S国p=0.36π÷ =0.81π(m2). 故地面上阴影部分的面积为0.81πm2 7.解：设小三角形的面积为Scm. 两相似三角形对应角平分线的比为3：10， ∴.两相似三角形的相似比为3：10， /329 .80=T0)=00.S=36(cm3). 即小三角形的面积为36cm2. 8.2或5 解析：：S△ADE:S△m边彬BED=1:8, .S△ABr:S△ADE=9:1. ·△ADE与△AB相似， .∴.△ADE与△ABC的相似比为1：3. ∠A=∠A, 0当DE/C时，则8=AD=-4-26m 3 ②当∠C=∠ADE时，则 C3..AD=AC5 AD 1 3 3 cm. 9.D 10.C解析：作任意△ABC,分别取三边 的中点为D,E,F,连线如图所示 :D,E,F分别为三边的中点， .EF-BC.DE-AB.DF- c. 既孺股 △ABC△DEF,且相似比为1：2， .S△nEr:SAAr= (1)2 2 =1:4, 1 六S△r=4X12=3.故选C 11.C解析：如图，过点D作DM⊥AC交AC于点M .S△ADE=1 S△cDE 21 AE IN 1 则 2 :AD∥BC. ∴.△ADE∽△CBE, S△cE 12.18 13.解：(1)△AEF为等边三角形. 证明：AB=AC,∠BAC=120°，.∠B=∠C=30° :DE垂直平分AB,FG垂直平分AC, ∴.BE=AE,AF=CF, ∴.∠EAB=∠B=30°，∠FAC=∠C=30°， ∠AEF=2∠B=60°，∠AFE=2∠C=60°， ∴.△AEF为等边三角形 (2)能.，DE垂直平分AB,FG垂直平分AC, D是AB的中点，G是AC的中点， DG是△AC的中位线，AD=AB. ∴.DGBC,∴.△ADG∽△ABC, 8G= (3)'.'DG=5 cm,.'.BC=2DG=10 cm, .'AE-BE.AF-CF. ..AE+EF+AF=BE+EF++CF=BC=10 cm, ∴.△AEF的周长为10cm. 14.解：(1)，AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC,∠ABC 的平分线， ∠1=2∠ABC.∠2=2∠BAC ,∠C=90, ∴∠1+∠2=-2（∠ABC+∠BAC)=2×90=45 .∠3=∠1+∠2=45 ,△ABC∽△EDA,∴.∠ABC=∠3=45°. (2)如图，过点A作AF⊥DE于点F. :∠3=45°，AE⊥AD, .△ADE是等腰直角三角形， ∴AF=DF=EP=DE, AD 设AF=a, R 则DE=2a,DF=a, ∴.AD=2a. :∠ABC=45, .2∠1=2∠2=45°， ∴.∠1=∠2， ∴.AD=BD=√2a,BF=√2a十a. 在Rt△ABF中， AB2=AF2+BF2=a2+(W2a+a)2=(4+2W2)a2, ,△ABC△EDA, ÷世-AB-4+22a22+2 SAEDA ED2 (2a)2 2 微专题十一相似三角形与平行四边形的 综合探究题 L.A解析：由题意，可知∠GFB=∠DEC=90°，GF=DE, .∠B+∠BGF=90. :∠BAC=90°，∠B+∠C=90°， ∠GF=∠C△BGFn△E8器8E .'BF=4.5 cm,CE=2 cm,GF=DE, 部罗GF=3em故选 2.D3.A4.B5.D 8 6.16解析：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.ABDC,AD∥BC,∴.△AFE∽△CBE, .EFAF AE ·EB-BCCE .'GC∥AB,.△ABE△CGE, 器器器， ∴.BE2=EF·GE=32X8=256,解得BE=±16（负数舍去）， 故BE=16. 7.3或4解析：，四边形ABCD是矩形 ∴.∠B=∠C=90°，CD=AB=6. AE=3,DM=2,.BE=3,CM=4. ,EF⊥FM,.∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠MFC=90°， .∠BEF=∠CFM,∴.△BEFC∽△CFM, 能器-73E解得即-3浅F=4 8.②③④ 9.解：如图，延长DF交BC于点H. .在正方形ABCD中，∠DCH=90°， AB=BC=CD=AD,AB∥CD,AD∥BC, .△CEF∽△ABF,△CHF∽△ADF, CF CE CF CH HF ·AF=AB'AF AD DF ..CH_HF CE ·AD-DF=AB :点E是CD的中点CE=CD=2AB. 郑腮器 ∴.HF=2,AD=CD=2CH,∴.DH=6. 在Rt△CDH中，，CD2+CH=DH, cD+(2cD)°=6. 解得CD25或-15（负值合去。 ·AB=125 5· 10.解：(1)如图1，作CE⊥AB于E. .AC=BC, BE-AE-2AB-6. ,∴.CE=√/BC2-BE2= 图1 W102-62=8. PH⊥BA, .∠HPB=∠CEB=90°. ∵∠B=∠B, ,.△HPB∽△CEB, 器跽 ..PH_2t 8=6 :.PH-3 8 答案8 (2)不存在.理由如下：如图2，作 PG⊥AC于G,作QF⊥CD 于F, .∠CFQ=∠AGP=90°. ,四边形ABCD是平行四边形， 图2 ..AB//CD.CD=AB=12. .∠PAG=∠FCQ, .△APG∽△CQF, 88报器 2CQ·PG 10-21.12-2t_1 S△cDQ CD.FQ 12 10-2t61 .∴.t=5. 经检验，t=5是原方程的增根. ∴.原方程无解，故不存在t的值 (3)存在某一时刻t,使点P,Q, D共线.如图3. ,P,Q,D三点共线，ABCD, .△APQ△CDQ, 品8 图3 1-0产。化简得-10+0-0… 2t t1=15(舍去)，t2=2. 11.(1)证明：，四边形ABCD为矩形 ∴ABCD.PM⊥AB. .PM⊥CD,.∠BMP=∠PNE=90°， ∴∠PBM+∠BPM=90. PE⊥PB,∴∠EPN+∠BPM=90, ∴.∠PBM=∠EPN. .∴.△BMPp△PNE. （2解器是定值 如图1，当点E在线段DC上时，由(1)作图，PM⊥AB于 点M,交CD于点N,得MN⊥CD. ,四边形ABCD是矩形， ∴.AB=DC=8,∠ABC=∠ADC=90° 在Rt△ACD中，AD=6,DC=8, .AC=√AD2+CD2=10. .PM⊥AB,∠ABC=90°，∴.PMBC, 记-指品8 8· 解得BM=8-5. 4 同理：△CPN∽△CAD, 器 即l0x=P 图1 10 6, 解得PV=6一多 3 PE PN 6-5 :△BMP∽△PNE.PB-BM8& 3 4 8-5x 4 9 如图2，当点E在线段DC的 延长线上时， 同上方法可以证明P形一4 PE 3 签上所述，器为定做子 图2 (3)解：如图3，当点E在线段DC上， △PCE是等腰三角形时，只能是EP=EC 连接BE交PC于点F. ,四边形ABCD是矩形 .∠ABC=∠BCD=90, AD=BC=6. .EP=EC, ∴.∠EPC=∠ECP. 图3 ,∠BPE=∠BCE=90°， .∠BPC=∠BCP, ..BP=BC, BE垂直平分CP :∠ABC=90°，BF⊥AC, BC CF ∴.△BCFp△ACB, ACBC' BC--CF.AC..CF-BC2618 AC1051 .CP-CR-AP-AC-CP-4 如图2，当点E在线段DC的延长线上， △PCE是等腰三角形时，只能是CP=EC, ∴.∠CPE=∠CEP. ,∠PFB=∠CFE,∠BPF=∠FCE, ∴.∠PBF=∠CEP,∴.∠PBF=∠CPE, ∴.∠ABP=∠APB, ∴.AP=AB=8. 综上所述，当△PCE是等腰三角形时x的值为或8， 9利用位似放缩图形 第1课时位似图形 1.D 2.D解析：A.BCED,∴.△ADE△ABC. ,△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点，对应边平 行或在同一条直线上， ,∴，△ADE与△ABC是位似图形，本选项说法正确，不符合 题意； B.点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符 合题意； C.B与D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合 题意； D.AC:AB不是相似比，AE:AC是相似比，本选项说法 错误，符合题意.故选D. 3.A解析：△ABC与△DEF位似，位似中心为点O,位似 比为2：3， ∴.AB:DE=2:3. 故选A. 4.A5.3:23:4 6点0号 解析：：△ABC与△DEF(其顶点都在该网格 5 的格点上)是位似三角形， ∴.如图，连接AD,BE, 则AD,BE相交于一点O, ∴.这两个三角形的位似中心是点O 假设正方形网格中的每个小正方形 的边长为1，则AB=√32+1严=/10，DE=√62+2= 2D,则△ABC与△DEF的相似比是A5=1」 DE 2 7.解：(1)如图，点O为所作 (2)如图，△A'B'C'为所作 A B ----1-- C 0 8.A解析：图①对应点的连线相交于点A,对应边DEBC, 对应边AD与AB在同一条直线上，对应边FE与AC在同 一条直线上，是位似图形； 图②，对应边ABDE,AC∥DF,对应边EF和BC在同一 条直线上，对应，点的连线交于一点(AD的延长线于BC的 交点)，是位似图形： 图③，对应点的连线交于点O,对应边AB∥DE,AC∥DF, BCEF,是位似图形： 图④，对应点的连线交于点O,对应边AB∥DE,AC∥DF, BCEF,是位似图形. 故选A 9.D 10.D解析：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形 的2倍得到△A'B'C', △ABC∽△A'B'C',点A,O,A'三点在同一直线上， ABAg,得- ∴选项A、B、C说法正确，不符合题意； BA△0△A088需-0- ∴.BO:BB'=1:3,故选项D说法错误，符合题意. 故选D. 1Ⅱ.0解析：如图，连接AC. 9 四边形ABCD是平行四边形，面 积为20， SAm=2X20=10. .'□ABCD和□PECF是以C为位似中心的位似图形，且 相似比为3：2 点A,P,C在同一条直线上，PFAD·CD=3 CF 2 CF)24 △CPF∽△CAD,.0 CD 9 4 40 SACPF-9SACAD- ..CF2 DF 1 CD-3CF2