精品解析：2026年山东省青岛市黄岛区中考二模考试数学试题

九年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1、本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共9小题，27分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，π，3，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. π C. 3 D. 2. 中国古代铜镜的背面常饰有精美纹样，其中许多体现了对称之美．下列四个铜镜纹样示意图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由几个小立方块搭成的几何体，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点A落在点处，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，，，点是直线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 无人机送外卖已在多个城市进入常态化运营阶段．某一外卖订单，若由外卖员骑行配送，路程为；若由无人机飞行配送，路程为．已知无人机速度是外卖员速度的倍，且无人机比外卖员早到分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 研究发现，近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数，其图象如图所示．小明经过一段时间的矫正治疗后，他的镜片焦距由米调整到了米，则他的眼镜度数减少了（ ） A. 度 B. 度 C. 度 D. 度 8. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，是上一点，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线经过点，，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 方程的解为， D. 若抛物线上有点，，，则 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 计算：=_____． 11. 根据中国汽车工业协会发布的数据，2025年，我国汽车产销量均突破34000000辆，再创历史新高．将34000000用科学记数法表示为______． 12. 我国古代《养鱼经》中已有“数鱼”的智慧．现代渔业中，常采用“标记重捕法”估算池塘中鱼的数量．某养殖户先从池塘中捕捞40条鲤鱼，做标记后放回；过一段时间后，再捕捞50条，发现其中带有标记的有5条，估计该池塘中鲤鱼的总数是_____条． 13. 如图，在中，，，，将绕点C按顺时针方向旋转（旋转角为锐角），得到，点A，B的对应点分别为，．连接，，当点恰好落在直线上时，线段的长度为_____． 14. 如图，在等腰中，，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，，是两弧的交点，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图，在正方形中，，是的中点．将沿折叠，点落在正方形所在平面内的点处，的延长线交于点，将沿折叠，点的对应点恰好落在上．下列结论： ① ②； ③； ④与重叠部分的面积为． 正确的是_______（填写序号）． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：，点是边上一点．求作：点，使得点在的内部，到两边的距离相等，且到点的距离最小． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. 计算、解不等式组（并写出整数解）： （1）； （2） 18. 某校举办校园科技节，小明入围编程决赛．决赛任务分为两轮，每轮从相应题库中随机抽取一项任务完成（每项任务抽到的可能性相同）． 第一轮任务库：A（图形绘制）、B（逻辑推理）、C（算法设计）； 第二轮任务库：D（代码调试）、E（模块搭建）、F（路径规划）． 根据规则，解答下列问题： （1）“小明在第一轮抽到D（代码调试）”是________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）请用画树状图或列表的方法表示小明抽取的两轮任务所有可能出现的结果，并求出他两轮抽取的任务均为逻辑与规划类任务（逻辑推理、算法设计、路径规划）的概率． 19. “人人讲安全个个会应急”，每年5月12日为全国防灾减灾日．为提升学生灾害风险防范意识和能力，某校组织学生参加“防灾减灾应急急救知识竞赛”，并对九年级（1）班和（2）班全体学生的测试成绩进行了收集、整理和分析，部分信息如下： 信息一：知识竞赛共10道题目，每小题10分，所有参赛学生成绩均不低于60分； 信息二：两个班级的人数均为45人； 信息三：九年级（1）班成绩的条形统计图如下； 信息四：九年级（2）班平均成绩的计算过程如下； （分）． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）九年级（1）班测试成绩的众数为______分； （3）九年级（2）班测试成绩的中位数为______分； （4）若将九年级（2）班的测试成绩绘制成扇形统计图，则测试成绩为80分的人数占九年级（2）班总人数的百分比为____，对应的扇形圆心角的度数为____． 20. 青岛的标志性雕塑“五月的风”是我国最大的钢质城市雕塑．某校组织学生进行综合实践活动-测量“五月的风”的高度．如图，将无人机上升到距地面点100米的处，测得点的俯角为，雕塑顶端的俯角为，点与雕塑的水平距离为185米（点，，，在同一平面内，），求“五月的风”的高度．（参考数据：，，，，，） 21. 【概念呈现】若四边形满足，则称这个四边形为等幂四边形． （1）【概念理解】已知四边形是等幂四边形，，，，则的长为_______． （2）【图形判定】如图1，在四边形中，对角线与相交于点，．求证：四边形是等幂四边形． （3）【问题解决】如图2，在矩形中，，，交于点，，则的长为_______． 22. 2026年3月12日，第十四届全国人民代表大会第四次会议表决通过了《中华人民共和国生态环境法典》，这是我国继民法典之后第二部以“法典”命名的法律．为响应环保号召，某社区开展“垃圾分类宣传月”活动，计划向居民发放宣传单和环保袋．工作人员从一家印刷厂了解到：购买2捆宣传单和3箱环保袋共需260元；购买3捆宣传单和2箱环保袋共需240元． （1）求每捆宣传单和每箱环保袋的单价； （2）社区计划购买宣传单和环保袋共50件（一捆或一箱均算一件），其中宣传单的数量不少于环保袋数量的1.5倍，若社区准备了2400元用于采购，请你判断资金是否一定够用，并说明理由． 23. 如图，在中，E为的中点，延长交的延长线于点F，连接，． （1）求证：； （2）已知_________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 条件①：； 条件②：． 24. 某智能物流公司在自动化仓库开展堆垛机安全避障实验．测试开始时，堆垛机以初速度驶入一段足够长的水平直轨（堆垛机的自身长度忽略不计），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小的直线运动）；与此同时，在同一直轨上有一辆搬运车从其正前方处开始以恒定速度（）做同向匀速运动．为确保堆垛机在任何时刻均不与搬运车发生接触（即全程保持非负间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的初始间距的最小值．实验测得堆垛机在水平直轨上运动的数据如表： 时间 0 0.5 1 1.5 2 速度 22 18 14 10 6 行驶路程 0 10 18 24 28 已知速度与时间是一次函数关系，行驶路程与时间是二次函数关系． （1）求速度与时间的关系式及行驶路程与时间的关系式； （2）求堆垛机从驶入水平直轨到完全停下所行驶的总路程； （3）堆垛机驶入水平直轨的同时，搬运车以的速度匀速向前行驶．为保证堆垛机始终不与搬运车发生接触，求初始间距的最小值． 25. 如图1，在中，，，，是中线．动点从点出发，沿以的速度向点运动，过点作，交折线于点，以为边，为内角作菱形，设点运动的时间为（）． （1）当点在边上时，求的值； （2）设菱形与重叠部分的面积为，当时，求与的函数关系式； （3）如图2，点在运动过程中，点关于的对称点为，点与点关于点中心对称，连接，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1、本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共9小题，27分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，π，3，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. π C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵正数大于一切负数， ∴四个数中的正数，大于两个负数和， 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ，，且， ，因此四个数中最小的数是． 2. 中国古代铜镜的背面常饰有精美纹样，其中许多体现了对称之美．下列四个铜镜纹样示意图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解；A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 3. 如图是由几个小立方块搭成的几何体，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】该几何体的俯视图是． 4. 在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点A落在点处，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】图形平移时所有点的坐标变化规律相同，先由点A平移前后的坐标得到平移规律，再计算点B对应点的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后得到， ∴平移规律为：横坐标加，纵坐标减， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 5. 如图，直线，，，点是直线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，设直线分别交于点、，在中利用内角和定理及，求出的度数，再利用平行线的性质及角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图 ，， ． 设直线分别交于点、， 在中，， ∵， ∴ ， ∴ 解得． ， ∴， ， ． 6. 无人机送外卖已在多个城市进入常态化运营阶段．某一外卖订单，若由外卖员骑行配送，路程为；若由无人机飞行配送，路程为．已知无人机速度是外卖员速度的倍，且无人机比外卖员早到分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“时间=路程÷速度”统一单位后，利用两者的时间差关系列方程即可． 【详解】解：∵设外卖员配送速度为，则无人机速度为， 可得外卖员用时为小时，无人机用时为小时， ∵24分钟小时，无人机比外卖员早到小时，即外卖员用时比无人机多小时， ∴ 可列方程为． 7. 研究发现，近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数，其图象如图所示．小明经过一段时间的矫正治疗后，他的镜片焦距由米调整到了米，则他的眼镜度数减少了（ ） A. 度 B. 度 C. 度 D. 度 【答案】A 【解析】 【分析】求得反比例函数的解析式，再代入求值，相减即可． 【详解】解：近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数， 设解析式为， 把代入可得， 解得， 所以近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的解析式为， 当时，， （度）， 所以他的眼镜度数减少了度． 8. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，是上一点，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，利用同角的余角相等求出的度数，再根据圆周角定理即可求解 【详解】解：连接，  ∵与相切于点，为直径， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴ ． 9. 如图，抛物线经过点，，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 方程的解为， D. 若抛物线上有点，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点判断的符号及关系；利用二次函数的性质判断最值问题；利用方程根与系数的关系或倒数关系判断方程的解；利用二次函数图象上点的坐标特征及对称性比较函数值大小 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交于点，，  对称轴为直线，  ，即， 当时，， 由图象可知，  ，故A错误；  抛物线开口向上，对称轴为，  当时，函数取得最小值，  对于任意实数，都有 ， 即，  ，故B错误；  抛物线经过点，，  方程的解为，，  方程的解为原方程解的倒数，即，，故C错误；  抛物线的对称轴为直线，且开口向上，  离对称轴越远的点，函数值越大，  ，，，  ，  ，故D正确． 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 计算：=_____． 【答案】6 【解析】 【详解】解：． 11. 根据中国汽车工业协会发布的数据，2025年，我国汽车产销量均突破34000000辆，再创历史新高．将34000000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】科学记数法的表示形式为，其中，为整数 确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，为正整数 将表示为科学记数法，得， 小数点向左移动了位，因此， 即 12. 我国古代《养鱼经》中已有“数鱼”的智慧．现代渔业中，常采用“标记重捕法”估算池塘中鱼的数量．某养殖户先从池塘中捕捞40条鲤鱼，做标记后放回；过一段时间后，再捕捞50条，发现其中带有标记的有5条，估计该池塘中鲤鱼的总数是_____条． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用样本估计总体的思想，根据总体中标记鲤鱼的比例与放回再捕捞的样本中标记鲤鱼的比例相等，列出方程求解即可． 【详解】解：设该池塘中鲤鱼的总数为条． 根据用样本估计总体的思想，可得， 交叉相乘得， 解得， 即估计该池塘中鲤鱼的总数是条． 13. 如图，在中，，，，将绕点C按顺时针方向旋转（旋转角为锐角），得到，点A，B的对应点分别为，．连接，，当点恰好落在直线上时，线段的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质可得，，，结合点在直线上，利用等腰三角形“三线合一”的性质求出的长，再证明，利用相似比求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得． 由旋转的性质可知， ，，， ，． 点恰好落在直线上， ， ， ． ，， ， ． ，， ． ， ， ， ． 14. 如图，在等腰中，，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，，是两弧的交点，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接、、，延长交于点，可知是的垂直平分线，是等边三角形，根据等边三角形的性质和垂直平分线的性质可以求出，，利用勾股定理求出，根据扇形的面积公式可以求出，根据三角形的面积公式可以求出，可得，根据等边三角形的性质可以证明，可知，根据即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、、，延长交于点， 由作图可知， ， ， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ， 同理可得：， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， ． 15. 如图，在正方形中，，是的中点．将沿折叠，点落在正方形所在平面内的点处，的延长线交于点，将沿折叠，点的对应点恰好落在上．下列结论： ① ②； ③； ④与重叠部分的面积为． 正确的是_______（填写序号）． 【答案】 ②④ 【解析】 【分析】①假设结论正确，得到与题干不符合的结论即可论证；②连接，利用翻折的性质论证即可；③利用全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理得出，即可判断；④通过论证四边形是矩形，即可求解. 【详解】解：①若， ∵正方形中， ∴， ∵由折叠可知：， ∴， ∴， ∴， ∴结论错误； ②连接， 由折叠可知，，， ∵正方形中，是的中点， ∴即：， ∴结论正确； ③∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴结论错误； ④∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴结论正确； 故答案为：②④． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：，点是边上一点．求作：点，使得点在的内部，到两边的距离相等，且到点的距离最小． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题意作的平分线，且过点作该角平分线的垂线，交于点即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. 计算、解不等式组（并写出整数解）： （1）； （2） 【答案】（1） （2）解集为，整数解为1， 2， 3． 【解析】 【分析】（1）先计算括号内的异分母分式减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可得到结果； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，找出解集中的整数解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴x的整数解为1， 2， 3． 18. 某校举办校园科技节，小明入围编程决赛．决赛任务分为两轮，每轮从相应题库中随机抽取一项任务完成（每项任务抽到的可能性相同）． 第一轮任务库：A（图形绘制）、B（逻辑推理）、C（算法设计）； 第二轮任务库：D（代码调试）、E（模块搭建）、F（路径规划）． 根据规则，解答下列问题： （1）“小明在第一轮抽到D（代码调试）”是________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）请用画树状图或列表的方法表示小明抽取的两轮任务所有可能出现的结果，并求出他两轮抽取的任务均为逻辑与规划类任务（逻辑推理、算法设计、路径规划）的概率． 【答案】（1）不可能 （2）所有可能出现的结果共9种，所求概率为 【解析】 【分析】（1）本题考查事件的分类，D任务不属于第一轮任务库，该事件一定不会发生，据此判断事件类型即可； （2）通过列表或画树状图列举所有等可能的结果，再找出符合要求的结果数，根据概率公式计算即可得到最终概率． 【小问1详解】 解：第一轮任务库包含的任务为A，B，C，不包含D， 因此小明不可能在第一轮抽到D，该事件是不可能事件； 【小问2详解】 用列表法表示所有可能结果如下： D E F A B C 由上表可得，所有等可能出现的结果共有9种， 根据题意，逻辑与规划类任务为B(逻辑推理)，C(算法设计)，F(路径规划)，两轮任务都属于该类的结果有 ， 共2种， ∴所求概率为． 19. “人人讲安全个个会应急”，每年5月12日为全国防灾减灾日．为提升学生灾害风险防范意识和能力，某校组织学生参加“防灾减灾应急急救知识竞赛”，并对九年级（1）班和（2）班全体学生的测试成绩进行了收集、整理和分析，部分信息如下： 信息一：知识竞赛共10道题目，每小题10分，所有参赛学生成绩均不低于60分； 信息二：两个班级的人数均为45人； 信息三：九年级（1）班成绩的条形统计图如下； 信息四：九年级（2）班平均成绩的计算过程如下； （分）． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）九年级（1）班测试成绩的众数为______分； （3）九年级（2）班测试成绩的中位数为______分； （4）若将九年级（2）班的测试成绩绘制成扇形统计图，则测试成绩为80分的人数占九年级（2）班总人数的百分比为____，对应的扇形圆心角的度数为____． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4）； 【解析】 【分析】（1）计算九年级（1）班成绩为分的人数，再补全条形统计图即可； （2）根据众数的定义即可解答； （3）根据九年级（2）班平均成绩的计算过程，可得九年级（2）班的各成绩人数，再根据中位数的定义即可解答； （4）计算测试成绩为80分的人数占九年级（2）班总人数的百分比，再计算所占圆心角即可． 【小问1详解】 解：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：九年级（1）班测试成绩中，分出现的次数最多， 所以九年级（1）班测试成绩的众数为分； 【小问3详解】 解：根据九年级（2）班成绩的平均数计算过程， 可得九年级（2）班成绩为分人，分人，分人，分人，分人 按照从小到大排列，第位学生的成绩为分， ∴九年级（2）班成绩的中位数为分； 【小问4详解】 解：测试成绩为80分的人数占九年级（2）班总人数的百分比为， 对应的扇形圆心角的度数为. 20. 青岛的标志性雕塑“五月的风”是我国最大的钢质城市雕塑．某校组织学生进行综合实践活动-测量“五月的风”的高度．如图，将无人机上升到距地面点100米的处，测得点的俯角为，雕塑顶端的俯角为，点与雕塑的水平距离为185米（点，，，在同一平面内，），求“五月的风”的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】“五月的风”的高度约为米 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，解直角三角形，求得，即可求得，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 根据题意可得四边形为矩形，，， 在中，米， 米， 米， 在中，米， 米， 答：“五月的风”的高度约为米． 21. 【概念呈现】若四边形满足，则称这个四边形为等幂四边形． （1）【概念理解】已知四边形是等幂四边形，，，，则的长为_______． （2）【图形判定】如图1，在四边形中，对角线与相交于点，．求证：四边形是等幂四边形． （3）【问题解决】如图2，在矩形中，，，交于点，，则的长为_______． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义即可解答； （2）利用勾股定理可得，即可解答； （3）连接，根据（2）中可得，可得，再利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：四边形是等幂四边形， ， ， 解得（负值舍去）； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ， 四边形是等幂四边形； 【小问3详解】 解：如图，连接， ， 根据（2）中证明，可得， 设，则，， 在矩形中，，，， ， ， 在中，， 即， 解得（负值舍去）， ． 22. 2026年3月12日，第十四届全国人民代表大会第四次会议表决通过了《中华人民共和国生态环境法典》，这是我国继民法典之后第二部以“法典”命名的法律．为响应环保号召，某社区开展“垃圾分类宣传月”活动，计划向居民发放宣传单和环保袋．工作人员从一家印刷厂了解到：购买2捆宣传单和3箱环保袋共需260元；购买3捆宣传单和2箱环保袋共需240元． （1）求每捆宣传单和每箱环保袋的单价； （2）社区计划购买宣传单和环保袋共50件（一捆或一箱均算一件），其中宣传单的数量不少于环保袋数量的1.5倍，若社区准备了2400元用于采购，请你判断资金是否一定够用，并说明理由． 【答案】（1）每捆宣传单单价为40元，每箱环保袋单价为60元． （2）解：够用，理由如下： 设购买宣传单捆，则购买环保袋箱，总费用为元， 根据题意得  ， 解得 ， 总费用  ， ，  随的增大而减小 ， 当取最小值时，取得最大值 （元）， 即总费用最高为2400元，等于准备的资金 ， 答：资金一定够用． 【解析】 【分析】（1）根据两种购买方案的总费用列出二元一次方程组求解即可得到单价； （2）设购买宣传单捆，则购买环保袋箱，总费用为元，先根据宣传单的数量不少于环保袋数量的1.5倍得到不等式，得到的取值范围，再结合一次函数的增减性求出最高总费用，和准备的资金比较即可得出结论． 【小问1详解】 （1）设每捆宣传单单价为元，每箱环保袋单价为元， 根据题意可得  解得  答：每捆宣传单单价为40元，每箱环保袋单价为60元． 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，E为的中点，延长交的延长线于点F，连接，． （1）求证：； （2）已知_________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 条件①：； 条件②：． 【答案】（1）见解析 （2）①，四边形是矩形；②，四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）选择条件①可证明四边形是矩形，选择条件②可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：在中，， ， ， E为的中点， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 四边形是平行四边形， 若选择条件①：， 在中，， ， 平行四边形是矩形； 若选择条件②：， 在中，， ， 平行四边形是菱形． 24. 某智能物流公司在自动化仓库开展堆垛机安全避障实验．测试开始时，堆垛机以初速度驶入一段足够长的水平直轨（堆垛机的自身长度忽略不计），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小的直线运动）；与此同时，在同一直轨上有一辆搬运车从其正前方处开始以恒定速度（）做同向匀速运动．为确保堆垛机在任何时刻均不与搬运车发生接触（即全程保持非负间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的初始间距的最小值．实验测得堆垛机在水平直轨上运动的数据如表： 时间 0 0.5 1 1.5 2 速度 22 18 14 10 6 行驶路程 0 10 18 24 28 已知速度与时间是一次函数关系，行驶路程与时间是二次函数关系． （1）求速度与时间的关系式及行驶路程与时间的关系式； （2）求堆垛机从驶入水平直轨到完全停下所行驶的总路程； （3）堆垛机驶入水平直轨的同时，搬运车以的速度匀速向前行驶．为保证堆垛机始终不与搬运车发生接触，求初始间距的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，将，；，代入求出、的值即可得出速度关于时间的一次函数解析式；设，将，；，；，代入求出、、的值即可得出路程关于时间的二次函数解析式， （2）求出时的、的值即可得出堆垛机从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程； （3）目标搬运车行驶的路程为，要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足，则可推得，结合二次函数的最大值即可得的最小值； 【小问1详解】 解：设， 将，；，代入， 得， 解得， 速度关于时间的一次函数为； 设， 将，；，；，代入， 得， 解得， 路程关于时间的二次函数为， 【小问2详解】 解：路程关于时间的二次函数为， 当时，，即， 此时， 堆垛机从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程为． 【小问3详解】 解：目标搬运车行驶的路程为， 要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足， ， ， ， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值16， 最小值为时才安全， 安全初始距离的最小值是． 25. 如图1，在中，，，，是中线．动点从点出发，沿以的速度向点运动，过点作，交折线于点，以为边，为内角作菱形，设点运动的时间为（）． （1）当点在边上时，求的值； （2）设菱形与重叠部分的面积为，当时，求与的函数关系式； （3）如图2，点在运动过程中，点关于的对称点为，点与点关于点中心对称，连接，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中，勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，证明，根据相似三角形的性质求出，根据点在边上，得出点与点重合，则，列出方程，即可解答． （2）当时，，则点E在上运动，证明点与点重合，证出，根据相似三角形的性质求出，过点作，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据求解即可． （3）如图，连接，交的延长线于点，交于点，过点作于点，根据点关于的对称点为，得出，根据四边形是菱形，得出，，根据（1）可得，则，等积法求出，则，即可求出，证明四边形是矩形，得出，则，，延长交于点，根据点与点关于点中心对称，得出，，则，当时，，则，求出，，列出方程，即可解答． 【小问1详解】 解：∵在直角三角形中，， ∴， ∵是的中线， ∴， ， ∴， ∴， ， 即， ∴， 点在边上， ∴点与点重合， ∴， ， 解得：． 【小问2详解】 解：当时，， ∴点E在上运动， ∵， ， ， ， ， 点与点重合， ， ， ， 即， ∴， 过点作， ， ∴， ， 即， ， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，交的延长线于点，交于点，过点作于点， ∵点关于的对称点为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， 根据（1）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 延长交于点， ∵点与点关于点中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $