专题03整式的乘除期末复习讲义 (26大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题03整式的乘除期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方运算法则，掌握零指数幂、负整数指数幂的规定。 2.理解整式乘、除法运算规则，能区分单项式、多项式之间的运算形式。 3.吃透平方差、完全平方公式的结构特点，牢记公式并掌握正向、逆向用法。 4.会用负整数指数幂表示较小的数，掌握科学记数法的相关应用。 1.能准确辨析各类幂运算，灵活选用法则进行计算。 2.熟练完成整式乘除混合运算，提升运算准确率与速度。 3.巧用乘法公式简化计算、化简代数式，掌握整体代入的解题方法。 4.学会分析含参数题型，锻炼代数推理与知识迁移能力。 1.理清易混淆公式与运算法则，杜绝符号出错、漏项、公式用错等问题。 2.吃透计算、化简求值、简便运算等常考题型，做到题型熟练。 3.规范书写解题步骤，运算过程条理清晰，力争计算类题目少失分、不失分。 题型01.同底数幂乘法及逆用 题型02.幂的乘方及逆用 题型03.积的乘方及逆用 题型04.同底数幂除法及逆用 题型05.零指数幂与负整数指数幂 题型06.单项式乘单项式计算 题型07.单项式乘法求字母或代数式值 题型08.单项式乘多项式及求值 题型09.单项式乘多项式的应用 题型10.单项式乘多项式并求字母的值 题型11.多项式乘多项式 题型12.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型13.多项式乘积不含某项求字母的值 题型14.多项式乘多项式--化简求值 题型15.多项式乘多项式与图形面积 题型16.多项式乘法中的规律性问题 题型17.整式乘法混合运算 题型18.平方差公式计算与几何应用 题型19.完全平方公式计算与几何应用 题型20.完全平方变形求值与系数确定 题型21.整式的混合运算 题型22.小数科学记数法的表示与还原 题型23.单项式除单项式 题型24.多项式除单项式 题型25.整式四则混合运算 题型26新定义运算题型 知识点01.幂的运算性质 1. 基本幂运算法则（a≠0，m、n为正整数） 运算类型 法则表达式 适用条件 核心要点 同底数幂乘法 aman=am+n a0，m、n为正整数 底数不变，指数相加 幂的乘方 (am)n=amn a0，m、n为正整数 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn a0，b0，n为正整数 把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 同底数幂除法 am÷an=am−n （a0，m>n） 底数不变，指数相减 2. 特殊指数幂 名称 公式 限制条件 易错备注 零指数幂 a0=1 a≠0 00无意义 负整数指数幂 a−p= a≠0，p为正整数 补充要点 1.符号判断：(-a)n，n 为偶数结果为正，n 为奇数结果为负。 2.运算顺序：先乘方，再乘除，有括号先算括号内。 3.公式逆用：常用于化简、求值、比较幂的大小。 知识点02:公式逆向运用（期末拔高、压轴必考） 七年级想拿高分，必须会逆用公式，所有难题全部来自逆向变形 正向公式 逆向公式 解题用途 am+n=aman aman=am+n 指数拆分、凑指数、求值 am−n=am÷an am÷an=am−n 已知高次幂求低次幂 amn=(am)n amn=(an)m 高次幂改写、幂的大小比较 anbn=(ab)n anbn=(ab)n 同指数简便合并运算 知识点03.科学记数法 1. 表示绝对值大于 10的数 形式：a×10n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数整数位数减 1 2. 表示绝对值小于 1的正数 形式：a×10−n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数左起第一个非零数字前所有 0 的个数（含小数点前的 0） 3.易错规范 (1)a 绝对不能大于等于 10 或小于 1 (2)小数科学记数法极易写错指数绝对值 知识点04:整式乘除运算法则 运算类型 法则要点 易错提示 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘，独有字母保留 先定符号，再算数值 单项式×多项式 m(a+b+c)=ma+mb+mc 负单项式乘各项全部变号 多项式×多项式 逐项相乘，再合并同类项 不漏乘任意一项 单项式÷单项式 系数相除，同底数幂相除，被除式独有字母保留 符号优先判断 多项式÷单项式 各项分别除以单项式，再相加 不能单项式 ÷ 多项式拆分 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号优先括号内 知识点05:乘法公式（重难点，期末必考，正用、逆用、变形全覆盖） 1. 平方差公式 标准公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数。 常见变形：(b+a)(-b+a)=a2-b2、(-a+b)(-a-b)=a2-b2 逆用（因式分解）：a2-b2=(a+b)(a-b)，用于化简、简便计算。 2. 完全平方公式 标准公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方。 易错提醒：严禁写成 (a b)2=a2b2，漏掉中间项 2ab。 高频常用变形（化简、求值压轴题常考）： a2+b2=(a+b)2-2ab a2+b2=(a-b)2+2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 拓展：三项完全平方 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 知识点06:本章核心解题思想（老师最爱、亮点加分） 1.转化思想：复杂整式运算转化为基础幂运算、公式运算。 2.整体代入思想：不单独求字母，把代数式整体代入求值。 3.公式模型思想：识别算式结构，套用平方差、完全平方公式简便计算。 知识点07:期末高频易错扣分点（老师反复强调） 1.混淆幂公式：相乘加指数、乘方乘指数，最容易记反。 2.负指数、零指数忽略底数不能为 0的条件。 3.多项式乘法、除法容易漏项、少项。 4.完全平方公式计算漏掉中间 2ab 项（期末最大坑）。 5.符号混乱：负号、括号去括号出错。 6.混合运算顺序错乱：先乘方、再乘除，最后加减。 题型01.同底数幂乘法及逆用 1．已知，则的值为_____________． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法法则，将已知两式相乘，得到的值，将结果化为同底数幂后，根据指数相等求出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 2．计算：_____． 【答案】 【分析】先利用同底数幂的乘法逆运算将原式变形为，再由积的乘方逆运算求解即可． 【详解】解： ． 3．若a、b是正整数，且满足（左右都是9个），则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，转化为即可得到a与b的关系． 【详解】解：∵（左右都是9个）， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方运算，积的乘方逆运算，同底数幂乘法的逆用．根据有理数乘方运算的意义可得，再利用积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：D 5．回答下列问题 (1)已知，，求： ①的值； ②的值． (2)已知，求m的值． 【答案】(1)①17；②72 (2) 【分析】（1）①逆用幂的乘方计算即可； ②先逆用同底数幂的乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可； （2）根据幂的乘方及同底数幂的乘法得到，根据幂的乘方得到，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：， ∵ ∴， 解得． 题型02.幂的乘方及逆用 6．已知，则_________．（用含k的代数式表示） 【答案】 【分析】先由得到，再将变形为，然后结合幂的乘方运算法则和积的乘方逆运算法则求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ． 7．已知，则的大小关系是___________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、有理数的大小比较等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先将b和c转换为底数为3的幂，再根据同底数幂和同指数幂的大小比较方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵，，， ∴，即， ∴． 故答案为． 8．若正整数满足，则（    ） A．32 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法可知8个相加可表示为，根据幂的乘方可知8个相乘可表示为，进而可知即可求出的值． 【详解】解：8个相加可表示为，8个相乘可表示为， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 9．已知，，则x、y、z三者的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用幂的乘方法则，将三个数变形为指数相同的形式，再通过比较底数大小得到幂的大小关系，运用初中幂的运算性质即可求解． 【详解】解：∵ ，，，根据幂的乘方法则，可得 ， ， . ∵ 指数相同的正幂，底数越大，幂越大，且， ∴ ，即． 10．我们给出以下两个定义： ①三角形； ②3×3的方格图． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)若，求的值． 【答案】(1)16；48 (2)18 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义得到，根据同底数幂的乘法得到，进而可知，再根据新定义计算的值即可． 【详解】（1） 解：， ； （2）解：依题意， ∴， ∴， ∴ ． 题型03.积的乘方及逆用 11．______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握积的乘方幂的乘方运算法则成为解题的关键． 先根据积的乘方幂的乘方运算法则化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的相关运算法则，需要根据合并同类项法则、单项式乘法法则、积的乘方法则逐一判断选项的计算是否正确． 【详解】选项A，与不是同类项，不能合并， A计算错误，不符合题意； 选项B，， B计算错误，不符合题意； 选项C，， C计算错误，不符合题意； 选项D，，计算符合运算法则， D计算正确． 13．计算______． 【答案】/ 【分析】因为可拆分为，所以可将原式变形为，逆用积的乘方法则，对进行计算． 【详解】原式 ． 14．计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算；将1.5化为分数，并利用积的乘方逆用法则化简即可. 【详解】解：原式 . 故选：B. 15．解决下面问题． (1)计算下列各组数后再比较大小： ①______， ②______， ③______，； (2)通过上述计算，猜一猜：______，归纳得出公式：______； (3)请逆用上述公式计算：． 【答案】(1)①；②；③ (2)， (3) 【分析】本题考查的是有理数乘方的法则，积的乘方逆用法则，解答此题的关键是根据（1）中各数的特点找出规律，再根据此规律进行解答． （1）根据有理数的乘方的定义解答即可； （2）根据（1）中的各数的值找出规律即可解答； （3）根据（2）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②∵， ∴， ③∵， ∴； （2）解：由（1）可猜想∶， 归纳得出公式∶； （3）解： ． 题型04.同底数幂除法及逆用 16．已知，则的值为________． 【答案】9 【分析】先变形，再根据同底数幂的除法进行计算，最后整体代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为9． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方等知识点，能正确根据法则进行变形是解此题的关键． 17．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则和同底数幂的乘除运算法则逐一判断选项即可． 【详解】A、合并同类项时，同类项系数相加，字母和指数不变，∴，A错误； B、∵和不是同类项，不能合并，∴，B错误； C、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，C错误； D、同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，D正确． 18．已知，，则______． 【答案】/0.128 【分析】利用幂的乘方的逆用和同底数幂除法的逆用，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据同底数幂除法的逆用法则，可得：， 再根据幂的乘方的逆用法则，可得：， 将，代入，得： 原式 ． 19．若，，则的值为（    ） A．12 B．8 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了逆用同底数幂除法公式求解等知识，逆用同底数幂除法公式得到，代入即可求解． 【详解】解：． 故选：D 20．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 . 21．已知，，求下列各式的值． (1) ， ； (2)． 【答案】(1)28，49 (2) 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则变形，再代值计算即可； （2）先根据同底数幂的乘法运算法则计算，再逆用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则变形，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：． 题型05.零指数幂与负整数指数幂 22．若，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算及有理数的大小比较；解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算出各数的值后再进行大小比较． 【详解】解：先分别计算a，b，c，d的值： ；；；． 比较大小：，即． 23．计算：__________． 【答案】74 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和乘方法则进行计算即可. 【详解】解：原式. 24．计算与化简求值： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 当，时，原式． 题型06.单项式乘单项式计算 25．“燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面可以排列组合，按需设席．如图，给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面组合方式，若长桌的宽为x，则一张小桌的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵长桌的宽为x，每张桌面的宽都相等， ∴小桌的宽为x， 由题图可得小桌的长为2x， ∴一张小桌的面积为． 26．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：−2ab•a2＝−2a3b． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 27．计算：． 【答案】 【分析】先计算幂的乘方、积的乘方，然后计算单项式乘以单项式，再合并即可． 【详解】解： ． 28．计算： 【答案】 【详解】解：原式. 题型07.单项式乘法求字母或代数式值 29．定义一种新运算，那么的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，整式的乘法，根据定义的新运算，运用整式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 30．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 31．已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 题型08.单项式乘多项式及求值 32．已知，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，幂的乘方、积的乘方逆运算，代数式求值． 将原式展开后，再根据幂的乘方、积的乘方逆运算变形，然后将进行代入计算． 【详解】解： 由已知，得， ， 代入上式： 故答案为：． 33．若对于任意实数，方程恒成立，则m，n的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先整理原方程，分离含的项与常数项，根据方程对任意恒成立的条件，列出关于m，n的二元一次方程组，求解得到结果． 【详解】解：∵ 方程对任意实数恒成立．展开整理原方程得 ．要使该式对任意都成立，则的系数和常数项都为0． ∴ ， 解得 ． 34．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型09.单项式乘多项式的应用 35．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为__________ 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴上式， 故答案为：． 36．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，正确表示出和是解题关键． 利用图形得出，，作差得到，再代入计算求值即可． 【详解】解：图①中阴影部分面积， 图②中阴影部分面积， ， 当时，的值为． 故选：B． 37．已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）首先将整理化简，然后根据代数式的值与的取值无关，所以含有的项的系数之和为，可得，解方程即可求出的值； （2）首先计算出，根据的值与的取值无关，可得，，解方程求出、的值即可； （3）设的长为，可得：，根据当的长度变化时，与的差始终为定值，可得，进而求解即可． 【详解】（1）解： 代数式的值与x的取值无关， ， 解得：； （2）解： ∵的值与无关， ，， 解得：，； （3）解：设的长为， 当的长度变化时，与的差始终为定值， ， ． 题型10.单项式乘多项式并求字母的值 38．若对任意都成立，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 39．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 40．已知等式成立，求的值． 【答案】2 【分析】先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：， ∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴ ． 题型11.多项式乘多项式 41．已知，那么 ____________． 【答案】27 【详解】解：∵， ∴ 42．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的基本运算，涉及合并同类项，去括号法则，积的乘方，多项式乘法，按照运算法则逐一计算即可判断正确选项． 【详解】解：选项A，∵， ∴A错误； 选项B，∵， ∴B错误； 选项C，∵， ∴C错误； 选项D，∵， ∴D正确． 43．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了多项式乘多项式、单项式乘多项式以及整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则并按步骤进行计算； （1）先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可； （2）先分别根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则展开，再将展开式相加，合并同类项即可； （3）先分别根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则展开，再将展开式相减，合并同类项； （4）先分别根据多项式乘多项式法则展开，再将展开式相加，合并同类项； （5）先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． （5）解： ． 题型12.(x+p)(x+q)型多项式乘法 44．若，则m可取的整数值有______个． 【答案】9 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先整理得，再结合，，，则分别算出m可取的整数值，即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴， 则，， ∵为整数 ∴ ， 或35或或16或或9或或5或0，共9个， 故答案为：9 45．规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 46．回答下列问题： (1)计算： ①______； ②______． ③______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)8或 【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2） ， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或． 题型13.多项式乘积不含某项求字母的值. 47．若展开式中含项的系数是，则a的值________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ， ∵展开式中含项的系数是， ∴， ∴． 48．多项式展开后不含的一次项，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先展开原式，合并同类项，由展开后不含的一次项可知一次项系数为，列出方程解答即可求解． 【详解】解：， ∵展开后不含的一次项， ∴， 解得． 49．已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先化简，得到，根据的乘积中不含项和项，得到，求出，即可解答； （2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的乘积中不含项和项， ∴， 解得， ∴的值为，的值为2． （2）解：∵， ∴． 题型14.多项式乘多项式--化简求值 50．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时 原式． 51．按要求解题 (1)先化简再求值；，其中 (2)解方程： 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则进行乘法运算，再合并同类项； （2）先根据多项式乘以多项式法则进行去括号，合并同类项后移项，再合并同类项，x系数化为1即求出x． 【详解】（1）解： 当时，原式； （2）解： ． 52．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算、代数式求值等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 先根据整式的乘法运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式 ． 题型15.多项式乘多项式与图形面积 53．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 【答案】19 【分析】根据一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为，计算出长为、宽为的长方形的面积，确定面积中的系数即可 【详解】解：根据题意，得一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为， 且， 故需要19张C类纸片 54．如图1，现有2个边长为的正方形，1个长为，宽为的长方形，将它们按图2放置．①②③三块阴影部分的面积分别为，若满足，则与满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出，再根据得到，即可求解． 【详解】解：设长方形①的长为，则长方形①，②，③的各边长如下： ∴， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 55．用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． 设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为，先根据大的长方形的边的长度可得，再求出图（3）中的阴影部分的周长为，图（4）中的阴影部分的周长为，则可得，，然后根据长方形的面积公式可得，，由此即可得的值． 【详解】解：设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为， 图（3）中阴影部分的周长为， 图（4）中阴影部分的周长为， ∵图（3）和图（4）中的阴影部分的周长一样， ∴， ∵图（3）中，图（4）中， ∴， 得， ∴， ， ∴， 故选A． 题型16.多项式乘法中的规律性问题 56．观察：，，，根据此规律，当时，代数式的值为（　　） A．1 B．0 C．0或 D．或 【答案】D 【分析】先根据规律求的值，再求代数式的值． 【详解】解：， ， 解得： 当时，； 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查通过规律解决数学问题，发现规律，求出的值是求解本题的关键． 57．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律：              1            1    1          1    2    1        1   3    3     1      1   4    6     4    1 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（ ） A．6 B．64 C．15 D．20 【答案】D 【分析】的展开式系数对应杨辉三角的第行，按规律推出的所有系数即可得到目标项的系数． 【详解】解：∵由题意可知，杨辉三角中下一行每个系数（两端的1除外）等于上一行相邻两个系数之和，对应的系数即第5行系数为， ∴对应的第6行系数为：，即； ∴对应的第7行系数为：，即； 又∵展开式按降幂排列时，为第4项，对应系数为20． 58．《详解九章算法》中记录了“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的规律． 根据数表规律，写出的展开式中，的一次项系数是__________． 【答案】 【分析】观察可知，的展开式中，a的一次项系数为n，那么可得的展开式中x的一次项为，据此可得答案． 【详解】解：，a的一次项系数为1， ，a的一次项系数为2， ，a的一次项系数为3， ，a的一次项系数为4， ……， 以此类推，可知的展开式中，a的一次项系数为n， ∴的展开式中，x的一次项为， ∴的展开式中，的一次项系数是． 题型17.整式乘法混合运算 59．若规定，则当时，的值为__________． 【答案】 【分析】先根据新定义将所求式子转化为常规的代数式，再结合已知条件，通过变形或整体代入的方法求出该代数式的值．本题主要考查了新定义运算以及整式的混合运算，同时涉及整体代入的思想，熟练掌握新定义运算规则，以及根据已知条件对代数式进行灵活变形和整体代入是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 当时，原式 故答案为：． 60．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查代数式的化简与求值，非负数的性质，掌握好相关知识是关键． 先按照整式混合运算的法则进行化简，再根据非负数的性质求出和的值，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵，， ∴，且， ∴，， 当，时， 原式， ， ． 61．化简：； 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算求解即可． 【详解】 解：原式 ． 题型18.平方差公式计算与几何应用 62．若 ，则 __________ 【答案】 【分析】设，则，方法，利用平方差公式展开并整体代入计算即可． 【详解】解：设， ∵ ∴， ∴ ． 63．下列运算：①；②；③；④，可以运用平方差公式计算的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，符合平方差公式形式，故此项符合题意； ②，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ③，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ④，符合平方差公式形式，故此项符合题意； 则能用平方差公式计算的有①④，共个． 64．几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形，得到一个直角梯形，上述操作能验证的等式是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算阴影部分面积的两种不同方法建立等式：一种是大三角形面积减去小三角形面积，另一种是利用梯形面积公式计算，从而验证平方差公式． 【详解】解：和均为等腰直角三角形，且腰长分别为， ， ， 又阴影部分为直角梯形，， 上底，下底，高， ， ，即． 65．先化简，再求值：，其中，满足关系． 【答案】，16 【分析】先利用非负数的性质求得a、b的值，然后再运用整式的混合运算法则化简，最后将，代入求值即可． 【详解】解：， ∴， ，； ． 当，时，原式． 66．【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】(1) (2)①90000    ② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； (2)①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为：， 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）①解： ； ②解：原式 ． 题型19.完全平方公式计算与几何应用 67．已知，求的值为_______． 【答案】27 【分析】利用完全平方公式变形，将所求代数式转化为含已知代数式的形式，再代入计算求值． 【详解】解： ． 68．已知，其中，均为常数，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式左边展开后，对比等式两边对应项的系数，即可得到与的关系． 【详解】解：∵ 利用完全平方公式展开等式左边，得 ， 又∵ ， ∴对比等式两边一次项系数，可得，即． 69．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是______． 【答案】12 【分析】根据题意可得阴影部分是一个边长为的正方形，根据求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积为12． 70．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（     ） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据图1阴影部分面积公式推导出与及的关系，结合图2阴影部分面积及选项特征求解． 【详解】解：甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意得：， ∴①， 又，点H为的中点， ∴， 图2中阴影的面积为②， 得：， 整理得， ∵， ∴，即， ∴图1的阴影部分面积 ． 71．下面是小亮同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：     第一步     第二步 ．        第三步 (1)任务一：第一步化简所用的乘法公式是：________； (2)任务二：小亮的化简过程从第________步开始出错，出错的原因是________； (3)任务三：请写出正确的化简过程，并求出当时该整式的值． 【答案】(1)平方差公式和完全平方公式 (2)二； 去括号时，括号前为负号，括号内的没有改变符号 (3)化简过程见解析，正确的化简结果为，当时，整式的值为 【分析】灵活应用平方差公式、完全平方公式，去括号时注意符号的变化，熟练掌握整式的乘法． 【详解】（1）解：采用平方差公式化简， 采用完全平方公式化简； （2）解：从第二步开始出错；出错的原因是去括号时，括号前为负号，括号内的没有改变符号； （3） 当时，原式． 题型20.完全平方变形求值与系数确定 72．若能用完全平方公式因式分解，则k的值为______． 【答案】或 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式因式分解，，， 根据完全平方公式的结构特征可得， 解得或． 73．已知，，则_____． 【答案】 /0.5 【分析】将两个已知等式根据完全平方公式展开，再将展开式作差消去和，即可计算出的值． 【详解】解：根据完全平方公式展开已知等式，得： ， ， 由得： ， 整理得， 解得． 74．如果多项式是完全平方式，那么m的值是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，需根据完全平方公式的两种形式推导m的值． 【详解】解：∵完全平方式的形式为 又∵多项式是完全平方式，且， ∴， 根据多项式恒等，对应项系数相等，可得． 故选：C． 75．若实数a满足，则（   ） A．1013 B．2026 C． D． 【答案】C 【分析】本题利用换元法结合完全平方公式整体变形求解，不需要展开复杂计算，运用整式乘法公式即可推出结果． 【详解】解：设 ，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， 即， ∴， ． 76．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． （2）因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 题型21.整式的混合运算 77．先化简，再求值：，其中 ，． 【答案】， 【详解】解：原式；          ；          ； 当 ， 时， 原式； ； ． 78．化简：． 【答案】 【详解】解：原式 . 79．先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 题型22.小数科学记数法的表示与还原 80．新冠肺炎是由新型冠状病毒引起的，这种新型冠状病毒的直径约在纳米（1米纳米），那么140纳米用科学记数法可表示为_______米． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为． 【详解】解：纳米用科学记数法可表示为． 81．已知一种细胞的直径约为，请问这个数原来的数是 ______________． 【答案】0.0000213 【分析】将一个数表示成 的形式，其中 为整数，这种记数方法叫做 科学记数法，据此即可得出答案； 【详解】解：， 故答案为：0.0000213． 【点睛】本题考查科学记数法表示较小的数，并根据科学记数法表示的小数写出原数，熟练掌握科学记数法表示数的方法是解题的关键 82．用科学记数法表示的数﹣5.6×10﹣4写成小数是（    ） A．﹣0.00056 B．﹣0.0056 C．﹣56000 D．0.00056 【答案】A 【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据−5.6×10−4中−5.6的小数点向左移动4位就可以得到． 【详解】解：把数据−5.6×10−4中−5.6的小数点向左移动4位就可以得到，为−0.00056． 故选：A． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10−n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 83．血小板是从骨髓成熟的巨核细胞胞浆裂解脱落下来的小块胞质，是哺乳动物血液中的有形成分之一，一个血小板的体积约为8立方微米．已知1立方米立方厘米，1立方厘米立方毫米，1立方毫米立方微米，则一个血小板的体积约为（   ）． A．立方米 B．立方米 C．立方厘米 D．立方毫米 【答案】A 【分析】根据已知单位换算关系，逐步将立方微米换算为立方米、立方厘米、立方毫米，再判断选项正误． 【详解】解： 8立方微米立方毫米立方厘米立方米． 题型23.单项式除单项式 84．计算：______． 【答案】 【分析】先算积的乘方，再算单项式的乘法，最后计算单项式除以单项式即可． 【详解】解：． 85．计算：的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用积的乘方、幂的乘方和同底数幂除法法则，先算乘方再算除法即可得到结果． 【详解】解： ． 86．计算： 【答案】 【分析】先计算单项式乘以单项式，积的乘方运算，单项式除以单项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 87．计算：． 【答案】 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式乘多项式、单项式除单项式，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 题型24.多项式除单项式 88．若等式成立，则________． 【答案】 【分析】先分别化简等式左右两边，整理得到一元一次方程，求解即可． 【详解】解：由题意得，除式，即，且 分别化简等式左右两边，得 移项，合并同类项得 系数化为得． 89．一个长方形机箱面板的面积为，长为，则这个长方形机箱面板的宽为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方形的宽=面积长，利用多项式除以单项式的运算法则进行计算，即可求出宽． 【详解】解：由长方形面积公式可知，宽=面积长，即： ． 90．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 91．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型25.整式四则混合运算 92．若，，则M______N（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题主要考查整式的四则混合运算的应用，掌握运用整式相减的方法比较代数式大小的方法成为解题的关键． 先运用整式减法运算法则计算，然后根据的正负即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故答案为：>． 93．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； 根据整式的运算法则依次计算判断即可求解； 【详解】A、，原式计算错误； B、，原式计算错误； C、，计算正确； D、，原式计算错误； 故选：C 94．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 95．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 当，时， 原式． 题型26新定义运算题型 96．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 【答案】 【分析】根据定义对所求式子进行化简，再把已知代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， ∴． 97．对于任意的有理数，，定义关于“*”的一种运算，规定：，若，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查整式的化简求值，正确理解新定义运算，先根据新定义运算求出的值，再化简所求式子，代入计算即可． 【详解】解：根据新定义运算，可得 ， 又∵， ∴ ，解得 ∴ ． 98．对于有理数a，b，定义一种新运算：．若，则x的值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的除法与一元一次方程的求解，根据新运算的定义，结合同底数幂的除法法则将原式转化为关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ，又 ∴ ，可得 整理得 ， 解得 ． 99．我们规定：，即a的负p次幂等于a的p次幂的倒数．例： (1)计算： ； ． (2)如果，那么 ；如果，那么 ． (3)如果，且为整数，求满足条件的． 【答案】(1)； (2)； (3) ； ； 【分析】（1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则可得，，进一步即可求解； （3）根据新定义运算法则可得，进一步即可求解． 【详解】（1）解： ；． （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵a、p为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，． 100．规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 【答案】(1)4， (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据，则计算求解即可； （2）根据的证明过程证明即可； （3）根据新定义结合同底数幂的运算列出方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）证明：设， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴， 解得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03整式的乘除期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方运算法则，掌握零指数幂、负整数指数幂的规定。 2.理解整式乘、除法运算规则，能区分单项式、多项式之间的运算形式。 3.吃透平方差、完全平方公式的结构特点，牢记公式并掌握正向、逆向用法。 4.会用负整数指数幂表示较小的数，掌握科学记数法的相关应用。 1.能准确辨析各类幂运算，灵活选用法则进行计算。 2.熟练完成整式乘除混合运算，提升运算准确率与速度。 3.巧用乘法公式简化计算、化简代数式，掌握整体代入的解题方法。 4.学会分析含参数题型，锻炼代数推理与知识迁移能力。 1.理清易混淆公式与运算法则，杜绝符号出错、漏项、公式用错等问题。 2.吃透计算、化简求值、简便运算等常考题型，做到题型熟练。 3.规范书写解题步骤，运算过程条理清晰，力争计算类题目少失分、不失分。 题型01.同底数幂乘法及逆用 题型02.幂的乘方及逆用 题型03.积的乘方及逆用 题型04.同底数幂除法及逆用 题型05.零指数幂与负整数指数幂 题型06.单项式乘单项式计算 题型07.单项式乘法求字母或代数式值 题型08.单项式乘多项式及求值 题型09.单项式乘多项式的应用 题型10.单项式乘多项式并求字母的值 题型11.多项式乘多项式 题型12.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型13.多项式乘积不含某项求字母的值 题型14.多项式乘多项式--化简求值 题型15.多项式乘多项式与图形面积 题型16.多项式乘法中的规律性问题 题型17.整式乘法混合运算 题型18.平方差公式计算与几何应用 题型19.完全平方公式计算与几何应用 题型20.完全平方变形求值与系数确定 题型21.整式的混合运算 题型22.小数科学记数法的表示与还原 题型23.单项式除单项式 题型24.多项式除单项式 题型25.整式四则混合运算 题型26新定义运算题型 知识点01.幂的运算性质 1. 基本幂运算法则（a≠0，m、n为正整数） 运算类型 法则表达式 适用条件 核心要点 同底数幂乘法 aman=am+n a0，m、n为正整数 底数不变，指数相加 幂的乘方 (am)n=amn a0，m、n为正整数 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn a0，b0，n为正整数 把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 同底数幂除法 am÷an=am−n （a0，m>n） 底数不变，指数相减 2. 特殊指数幂 名称 公式 限制条件 易错备注 零指数幂 a0=1 a≠0 00无意义 负整数指数幂 a−p= a≠0，p为正整数 补充要点 1.符号判断：(-a)n，n 为偶数结果为正，n 为奇数结果为负。 2.运算顺序：先乘方，再乘除，有括号先算括号内。 3.公式逆用：常用于化简、求值、比较幂的大小。 知识点02:公式逆向运用（期末拔高、压轴必考） 七年级想拿高分，必须会逆用公式，所有难题全部来自逆向变形 正向公式 逆向公式 解题用途 am+n=aman aman=am+n 指数拆分、凑指数、求值 am−n=am÷an am÷an=am−n 已知高次幂求低次幂 amn=(am)n amn=(an)m 高次幂改写、幂的大小比较 anbn=(ab)n anbn=(ab)n 同指数简便合并运算 知识点03.科学记数法 1. 表示绝对值大于 10的数 形式：a×10n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数整数位数减 1 2. 表示绝对值小于 1的正数 形式：a×10−n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数左起第一个非零数字前所有 0 的个数（含小数点前的 0） 3.易错规范 (1)a 绝对不能大于等于 10 或小于 1 (2)小数科学记数法极易写错指数绝对值 知识点04:整式乘除运算法则 运算类型 法则要点 易错提示 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘，独有字母保留 先定符号，再算数值 单项式×多项式 m(a+b+c)=ma+mb+mc 负单项式乘各项全部变号 多项式×多项式 逐项相乘，再合并同类项 不漏乘任意一项 单项式÷单项式 系数相除，同底数幂相除，被除式独有字母保留 符号优先判断 多项式÷单项式 各项分别除以单项式，再相加 不能单项式 ÷ 多项式拆分 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号优先括号内 知识点05:乘法公式（重难点，期末必考，正用、逆用、变形全覆盖） 1. 平方差公式 标准公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数。 常见变形：(b+a)(-b+a)=a2-b2、(-a+b)(-a-b)=a2-b2 逆用（因式分解）：a2-b2=(a+b)(a-b)，用于化简、简便计算。 2. 完全平方公式 标准公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方。 易错提醒：严禁写成 (a b)2=a2b2，漏掉中间项 2ab。 高频常用变形（化简、求值压轴题常考）： a2+b2=(a+b)2-2ab a2+b2=(a-b)2+2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 拓展：三项完全平方 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 知识点06:本章核心解题思想（老师最爱、亮点加分） 1.转化思想：复杂整式运算转化为基础幂运算、公式运算。 2.整体代入思想：不单独求字母，把代数式整体代入求值。 3.公式模型思想：识别算式结构，套用平方差、完全平方公式简便计算。 知识点07:期末高频易错扣分点（老师反复强调） 1.混淆幂公式：相乘加指数、乘方乘指数，最容易记反。 2.负指数、零指数忽略底数不能为 0的条件。 3.多项式乘法、除法容易漏项、少项。 4.完全平方公式计算漏掉中间 2ab 项（期末最大坑）。 5.符号混乱：负号、括号去括号出错。 6.混合运算顺序错乱：先乘方、再乘除，最后加减。 题型01.同底数幂乘法及逆用 1．已知，则的值为_____________． 2．计算：_____． 3．若a、b是正整数，且满足（左右都是9个），则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．的计算结果是（   ） A． B． C． D． 5．回答下列问题 (1)已知，，求： ①的值； ②的值． (2)已知，求m的值． 题型02.幂的乘方及逆用 6．已知，则_________．（用含k的代数式表示） 7．已知，则的大小关系是___________．（用“”连接） 8．若正整数满足，则（    ） A．32 B．4 C．8 D．16 9．已知，，则x、y、z三者的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．我们给出以下两个定义： ①三角形； ②3×3的方格图． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)若，求的值． 题型03.积的乘方及逆用 11．______． 12．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 13．计算______． 14．计算的值是（    ） A． B． C． D． 15．解决下面问题． (1)计算下列各组数后再比较大小： ①______， ②______， ③______，； (2)通过上述计算，猜一猜：______，归纳得出公式：______； (3)请逆用上述公式计算：． 题型04.同底数幂除法及逆用 16．已知，则的值为________． 17．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 18．已知，，则______． 19．若，，则的值为（    ） A．12 B．8 C．4 D．3 20．计算： (1) (2) (3) 21．已知，，求下列各式的值． (1) ， ； (2)． 题型05.零指数幂与负整数指数幂 22．若，，，，则（     ） A． B． C． D． 23．计算：__________． 24．计算与化简求值： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中，． 题型06.单项式乘单项式计算 25．“燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面可以排列组合，按需设席．如图，给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面组合方式，若长桌的宽为x，则一张小桌的面积为______． 26．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 27．计算：． 28．计算： 题型07.单项式乘法求字母或代数式值 29．定义一种新运算，那么的运算结果是（   ） A． B． C． D． 30．，求的值_______． 31．已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 题型08.单项式乘多项式及求值 32．已知，则___________． 33．若对于任意实数，方程恒成立，则m，n的值是（    ） A． B． C． D． 34．计算： (1)； (2)． 题型09.单项式乘多项式的应用 35．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为__________ 36．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 37．已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 题型10.单项式乘多项式并求字母的值 38．若对任意都成立，则______． 39．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 40．已知等式成立，求的值． 题型11.多项式乘多项式 41．已知，那么 ____________． 42．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 43．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型12.(x+p)(x+q)型多项式乘法 44．若，则m可取的整数值有______个． 45．规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 46．回答下列问题： (1)计算： ①______； ②______． ③______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 题型13.多项式乘积不含某项求字母的值. 47．若展开式中含项的系数是，则a的值________． 48．多项式展开后不含的一次项，则为（     ） A． B． C． D． 49．已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 题型14.多项式乘多项式--化简求值 50．先化简，再求值：，其中． 51．按要求解题 (1)先化简再求值；，其中 (2)解方程： 52．先化简，再求值：，其中，． 题型15.多项式乘多项式与图形面积 53．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 54．如图1，现有2个边长为的正方形，1个长为，宽为的长方形，将它们按图2放置．①②③三块阴影部分的面积分别为，若满足，则与满足的关系为（   ） A． B． C． D． 55．用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，（   ） A． B． C． D． 题型16.多项式乘法中的规律性问题 56．观察：，，，根据此规律，当时，代数式的值为（　　） A．1 B．0 C．0或 D．或 57．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律：              1            1    1          1    2    1        1   3    3     1      1   4    6     4    1 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（ ） A．6 B．64 C．15 D．20 58．《详解九章算法》中记录了“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的规律． 根据数表规律，写出的展开式中，的一次项系数是__________． 题型17.整式乘法混合运算 59．若规定，则当时，的值为__________． 60．先化简，再求值：，其中． 61．化简：； 题型18.平方差公式计算与几何应用 62．若 ，则 __________ 63．下列运算：①；②；③；④，可以运用平方差公式计算的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 64．几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形，得到一个直角梯形，上述操作能验证的等式是（） A． B． C． D． 65．先化简，再求值：，其中，满足关系． 66．【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 题型19.完全平方公式计算与几何应用 67．已知，求的值为_______． 68．已知，其中，均为常数，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 69．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是______． 70．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（     ） A．3 B．19 C．21 D．28 71．下面是小亮同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：     第一步     第二步 ．        第三步 (1)任务一：第一步化简所用的乘法公式是：________； (2)任务二：小亮的化简过程从第________步开始出错，出错的原因是________； (3)任务三：请写出正确的化简过程，并求出当时该整式的值． 题型20.完全平方变形求值与系数确定 72．若能用完全平方公式因式分解，则k的值为______． 73．已知，，则_____． 74．如果多项式是完全平方式，那么m的值是（   ） A．5 B．10 C． D． 75．若实数a满足，则（   ） A．1013 B．2026 C． D． 76．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 题型21.整式的混合运算 77．先化简，再求值：，其中 ，． 78．化简：． 79．先化简，再求值：，其中． 题型22.小数科学记数法的表示与还原 80．新冠肺炎是由新型冠状病毒引起的，这种新型冠状病毒的直径约在纳米（1米纳米），那么140纳米用科学记数法可表示为_______米． 81．已知一种细胞的直径约为，请问这个数原来的数是 ______________． 82．用科学记数法表示的数﹣5.6×10﹣4写成小数是（    ） A．﹣0.00056 B．﹣0.0056 C．﹣56000 D．0.00056 83．血小板是从骨髓成熟的巨核细胞胞浆裂解脱落下来的小块胞质，是哺乳动物血液中的有形成分之一，一个血小板的体积约为8立方微米．已知1立方米立方厘米，1立方厘米立方毫米，1立方毫米立方微米，则一个血小板的体积约为（   ）． A．立方米 B．立方米 C．立方厘米 D．立方毫米 题型23.单项式除单项式 84．计算：______． 85．计算：的结果是（     ） A． B． C． D． 86．计算： 87．计算：． 题型24.多项式除单项式 88．若等式成立，则________． 89．一个长方形机箱面板的面积为，长为，则这个长方形机箱面板的宽为（　　）． A． B． C． D． 90．计算： (1)； (2)． 91．计算： (1)； (2)． 题型25.整式四则混合运算 92．若，，则M______N（填“>”、“<”或“=”） 93．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 94．计算： (1)； (2)． 95．先化简，再求值：，其中，． 题型26新定义运算题型 96．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 97．对于任意的有理数，，定义关于“*”的一种运算，规定：，若，则的值为________． 98．对于有理数a，b，定义一种新运算：．若，则x的值为（　　） A． B． C．1 D．4 99．我们规定：，即a的负p次幂等于a的p次幂的倒数．例： (1)计算： ； ． (2)如果，那么 ；如果，那么 ． (3)如果，且为整数，求满足条件的． 100．规定两正数a，b之间的一种运算记作，如果，那么． 例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设， 由规定，得， ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： (1)填空： ，； (2)证明：； (3)如果正数、m、n，满足，求x． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $