专题01相交线与平行线期末复习讲义 (20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题01相交线与平行线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解相交线相关概念，掌握对顶角、邻补角、垂线的性质，知晓点到直线距离的含义。 2.熟悉三线八角的位置特点，能准确识别同位角、内错角、同旁内角。 3.牢记平行线的判定方法与性质定理，明确两者不同的推理思路。 4.掌握平移的两大要素，理解平移不改变图形形状和大小的特点。 1.识图能力：能在简单及复杂图形中快速、准确识别对顶角、邻补角和三类位置角。 2.计算与作图：能利用相交线、垂线、平行线的性质进行角度计算；规范完成垂线作图、平移作图。 3.推理能力：能运用平行线的判定与性质进行简单几何推理，做到步步有据、逻辑清晰，规范书写推理过程。 4.应用能力：初步运用数形结合思想分析问题，能将实际问题转化为.几何模型解决。 1.基础夯实：全面掌握核心知识点，规避概念混淆（如垂线段与距离、判定与性质混用）等易错点。 2.题型突破：熟练应对选择、填空、角度计算、几何说理等各类题型，提升解题速度与准确率。 3.规范答题：养成严谨的答题习惯，保证步骤完整、书写规范，力争基础题不失分、中档题稳拿分。 题型01.垂线的定义与画法 题型02.垂线段的性质与距离定义 题型03.对顶角的定义与性质 题型04.同位角.内错角.同旁内角 题型05.平行公理的应用 题型06.用直尺.三角板画平行线 题型07.垂直于同直线的两直线平行 题型08.平行线的判定 题型09.平面内的两直线位置关系 题型10.平行线的性质 题型11.平行线性质探究角的关系 题型12.平行线性质求角的度数 题型13.平行线性质的应用 题型14.平行线判定与性质求角度 题型15.平行线判定与性质证明 题型16.利用平移的性质求解 题型17.利用平移解决实际问题 题型18.平移作图 题型19.平行线与折叠问题 题型20.铅笔头模型 题型21.猪蹄模型 题型22.锯齿模型 知识点01:相交线知识（基础必考） 1. 邻补角与对顶角 名称 形成条件 核心性质 易错提示 邻补角 两直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线 两角和为180，两角互补 互补的角不一定是邻补角，邻补角需同时满足相邻、互补 对顶角 两直线相交，两角的两边互为反向延长线 对顶角相等 相等的角未必是对顶角，仅两直线相交才会产生对顶角 2.重要结论 (1)两条直线相交，2 对对顶角，4 对邻补角 (2)对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角 3. 垂线 (1)定义：两直线夹角90，互相垂直； (2)基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (3)垂线段定理：连接直线外一点与直线上各点，垂线段最短； (4)点到直线的距离：直线外一点到这条直线垂线段的长度（距离是长度，不是线段） 4.平行线画法（一靠、二移、三画） 1.三角尺一边贴已知直线； 2.直尺靠紧三角尺另一边； 3.沿直尺平移三角尺； 4.沿三角尺直角边画直线，即为平行线。 知识点02:三线八角（识图核心，期末必考） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，简称 “三线八角” 补充：遇到复杂图形，可遮挡多余线条，只保留 “三线”，快速排除干扰角。 知识点03.平行线 1. 平行线的定义与基本事实 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（符号：∥，如 a∥b）； 注意：① 前提同一平面内（空间中存在不相交也不平行的直线）；② 平行线是直线，无限延伸，不能用 “线段平行” 直接表述（需说明线段所在直线平行）。 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（几何语言：∵a∥c，b∥c，∴a∥b）。 内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 符号语言：若 a∥b，b∥c，则 a∥c 作用：用于间接证明两直线平行 2.平行线的判定 3.平行线的性质 核心区分：证平行用判定，知平行用性质，二者推理逻辑不可颠倒。 知识点04:平移的概念 知识点05:平移的 “四大黄金性质”（必考） 全等不变：平移前后的两个图形全等。 对应线段：平行（或在同一直线上）且相等。 对应角：完全相等。 对应点连线：平行（或在同一直线上）且相等，都等于平移距离。 黄金口诀形状大小都不变，对应线段角相等；对应点连平行等，平移方向距离明。 知识点06:平移作图 “标准三步法”（规范不丢分） 作图原理 抓住关键点：找出图形顶点→平移顶点→顺次连接对应点。 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点.得到平移后图形. (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点07:常考几何模型 模型 几何语言 图形 猪蹄模型：拐点处的角等于两侧角之和 ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠D=∠BPD 铅笔头模型：三个角之和为360∘ ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠P+∠D=360∘ 锯齿模型：开口朝同一方向的角之和相等 ∵AB∥DE（已知） ∴ ∠B+∠M+∠N=∠C+∠E 题型01.垂线的定义与画法 1．如图，两个画图过程，直观地刻画了一个基本事实，这个基本事实指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 2．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D．. 3．如图，已知，垂足为点，图中与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 题型02.垂线段的性质与距离定义 4．如图，在中，，，，，点从点到点沿方向运动．则的最小值是______________． 5．如图，点A，B，C在直线l上，点P为直线l外一点，连接，且，若，，，则点P到直线l的距离是________． 6．如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（    ） A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8 7．如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 题型03.对顶角的定义与性质 8．平面上3条互不重合的直线交于一点，其中对顶角有______对． 9．如图，AB、DE交于点G，，垂足为G，，则____． 10．下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 12．如图，直线，相交于点O，过点作，在内部作射线． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 题型04.同位角.内错角.同旁内角 13．如图，①和是___角；②和是___角．（选填“同位”、“内错”、“同旁内”、“对顶”、“邻补”） 14．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 15．如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 题型05.平行公理的应用 16．已知直线，则三点______同一条直线上．（填“一定在”“不一定在”或“一定不在”） 17．如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 18．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 题型06.用直尺.三角板画平行线. 19．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有______（填序号）． 20．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：______．（填序号）    21．如图，已知，请在网格中按下列要求作图： (1)过点C作直线，使得； (2)过点B作直线，使得． 题型07.垂直于同直线的两直线平行 22．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是________．（填写所有正确的序号） 23．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是______．（填“平行”或“垂直”） 24．在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 题型08.平行线的判定 25．如图，填空． （1）当______时，，理由：____________； （2）当______时，，理由：____________； （3）当______时，，理由：____________． 26．如图，已知四边形，点在延长线上，连接，则下列条件中，能判定的是（     ）    A． B． C． D． 27．如图所示，完成推理过程． ①（已知）， _____（_____）． ②（已知）， _____∥_____（______）． ③（已知）， （_____） ④（已知）， _____（_____）． 题型09.平面内的两直线位置关系 28．在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是________． 29．在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为________． 30．有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 题型10.平行线的性质 31．如图，根据图形及上下文的含义进行推理并填空： (1)因为，根据：“两直线平行，同位角相等”，所以______； (2)因为______，根据：“______”，所以； (3)因为______，根据“______”，所以． 32．如图，已知，则、、、的关系是（    ） A． B． C． D． 33．如图，，直线分别与直线，相交于点E，F，M是和之间的一点，N在上，连接，． (1)求证：平分； (2)延长交于点G，当时，求的度数； (3)在（2）条件下，当______时，． 34．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 题型11.平行线性质探究角的关系 35．如图，直线AB//CD，∠AEM＝2∠MEN，∠CFM＝2∠MFN，则∠M和∠N的数量关系是________． 36．如图，，OE平分∠BOC，，，若，则下列结论：①；②平分；③；其中正确结论有（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 37．如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 38．学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1：，点在、内部，探究，，的关系.小明过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：_____． (2)如图2，若，点在、在外部，，，的数量关系如何？为此，小明进行了下面不完整的推理证明.请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据，过点作. （__________）； ，（___________________）， ， ， _________（__________）． (3)我们生活中经常接触小刀，如图3，刀柄是直角梯形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由． (4)随着以后的学习，你会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题：如图4，在中，尝试说明． 题型12.平行线性质求角的度数 39．如图所示，已知是的平分线，，，求，，的度数．请完成下面的解题过程和理由． 解：∵是的平分线（已知）， ∴______（     ）， ∵（已知）， ∴______（     ）， ______（      ）， ∵（已知）， ∴（     ）， ∴（     ）， ∴____________． 40．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． (1)求证：； (2)若平分时，求扶手与靠背的夹角的度数． 41．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯F射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点G． 【猜想验证】 (1)如图1，转至某刻，，，则_______°； 【应用迁移】 (2)灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯E射线到达之前，灯F转动几秒时，？ 【实践创新】 (3)交相辉映处，饱读长安城，小明设想E、F处各有一条彩色光线，始终分别平分，，若两条角平分线所在直线交于点H，请你在图3中补全图形并探究与的数量关系，并说明理由． 题型13.平行线性质的应用 42．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光从水中射向空气时，会发生折射，且在水中平行的光线射向空气中后也互相平行．如图，容器水平放置，平行光线，从水中射向空气时发生折射，已知，，则________． 43．如图，用一根细绳把物体悬挂起来，其中细绳的一端固定在垂直于地面的墙面上，当物体静止后对其进行受力分析，细绳对物体的拉力分别为和，物体所受重力方向竖直向下，若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 44．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 题型14.平行线判定与性质求角度 45．如图，在四边形中，，，P是上一点，连接，E是延长线上一点，连接，且，．若，则的度数为________． 46．如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 47．如图，，，分别平分，，且其所在直线交于点，则与的数量关系为______． 48.如图，已知，点为平面内一点，平分，过点的直线交于点，． .. (1)试问直线和有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，请试着求出的度数． 题型15.平行线判定与性质证明 49．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知，，垂足分别为、，，试说明：． 解：，（已知） （____①____） （____②____） （____③____）． 又（已知） （____④____） （____⑤____） ． 50．如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 51．如图1，直线与直线，分别交于C，D两点，点M在直线上，射线平分交直线于点Q，． (1)试说明． (2)如图2，射线交直线于点F，交线段于点P，且． ①若，直接写出的度数． ②点N在射线上，满足，连接，请补全图形，探究与满足的等量关系，并说明理由． 题型16.利用平移的性质求解 52．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_____． 53．如图，将沿方向平移得到（点、、、在同一直线上），交边于点，若阴影部分的面积为4，则四边形的面积为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 54．在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线任意平移得到（的对应点分别为），连接． (1)如图1，若平移距离为，则阴影部分的周长为___________； (2)如图2，若，求的度数； (3)若以每秒的速度向右平移．设移动了秒，则为何值时，图2中的四边形的面积是的面积的3倍？ (4)在整个运动过程中，当与中一个角是另一个角的3倍时，则的度数为___________°． 题型17.利用平移解决实际问题 55．某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元． 56．如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 57．白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 题型18.平移作图 58．数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 59．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A． 有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 60．如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． (1)平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） (2)若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 题型19.平行线与折叠问题 61．如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且，则＝___． 62．如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为___________； （2）若，则的度数为___________． 63．方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（    ） A．105° B．120° C．130° D．145° 题型20.铅笔头模型 64．自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出，若，则的度数是_________． 65．2026年央视春晚宜宾分会场上，上百台机器狗（如图1）集体完成奔跑、跳跃等动作，成为节目亮点之一．图2是某机器狗身体结构的平面示意图，，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 66．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点C作如图②，则可以得到，其理由是： ． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； 题型21.猪蹄模型 67．已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 68．如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 69．综合与实践： (1)如图1，，E为图形内一点，连接得到，求、、之间的关系，并说明理由． 探究应用：可以利用（1）中结论解决下面问题： (2)如图2，，直线分别交于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． 题型22.锯齿模型 70．如图，已知，，试说明．请补全解答过程． 解：因为， 所以根据______，得． 又因为， 所以根据______，得______． 所以根据______，得． 71．悬挂对于汽车的操控性能有着决定性的作用，不同构造的悬挂有着不同的操控性能．现代轿车大都是采用独立式悬挂系统，独立悬挂系统是每一侧的车轮都是单独地通过弹性悬挂系统悬挂在车架或车身下面的．如图是某汽车的独立悬挂截面图，已知，，，且，，则的度数（    ） A． B． C． D． 72．解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相交线与平行线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解相交线相关概念，掌握对顶角、邻补角、垂线的性质，知晓点到直线距离的含义。 2.熟悉三线八角的位置特点，能准确识别同位角、内错角、同旁内角。 3.牢记平行线的判定方法与性质定理，明确两者不同的推理思路。 4.掌握平移的两大要素，理解平移不改变图形形状和大小的特点。 1.识图能力：能在简单及复杂图形中快速、准确识别对顶角、邻补角和三类位置角。 2.计算与作图：能利用相交线、垂线、平行线的性质进行角度计算；规范完成垂线作图、平移作图。 3.推理能力：能运用平行线的判定与性质进行简单几何推理，做到步步有据、逻辑清晰，规范书写推理过程。 4.应用能力：初步运用数形结合思想分析问题，能将实际问题转化为.几何模型解决。 1.基础夯实：全面掌握核心知识点，规避概念混淆（如垂线段与距离、判定与性质混用）等易错点。 2.题型突破：熟练应对选择、填空、角度计算、几何说理等各类题型，提升解题速度与准确率。 3.规范答题：养成严谨的答题习惯，保证步骤完整、书写规范，力争基础题不失分、中档题稳拿分。 题型01.垂线的定义与画法 题型02.垂线段的性质与距离定义 题型03.对顶角的定义与性质 题型04.同位角.内错角.同旁内角 题型05.平行公理的应用 题型06.用直尺.三角板画平行线 题型07.垂直于同直线的两直线平行 题型08.平行线的判定 题型09.平面内的两直线位置关系 题型10.平行线的性质 题型11.平行线性质探究角的关系 题型12.平行线性质求角的度数 题型13.平行线性质的应用 题型14.平行线判定与性质求角度 题型15.平行线判定与性质证明 题型16.利用平移的性质求解 题型17.利用平移解决实际问题 题型18.平移作图 题型19.平行线与折叠问题 题型20.铅笔头模型 题型21.猪蹄模型 题型22.锯齿模型 知识点01:相交线知识（基础必考） 1. 邻补角与对顶角 名称 形成条件 核心性质 易错提示 邻补角 两直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线 两角和为180，两角互补 互补的角不一定是邻补角，邻补角需同时满足相邻、互补 对顶角 两直线相交，两角的两边互为反向延长线 对顶角相等 相等的角未必是对顶角，仅两直线相交才会产生对顶角 2.重要结论 (1)两条直线相交，2 对对顶角，4 对邻补角 (2)对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角 3. 垂线 (1)定义：两直线夹角90，互相垂直； (2)基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (3)垂线段定理：连接直线外一点与直线上各点，垂线段最短； (4)点到直线的距离：直线外一点到这条直线垂线段的长度（距离是长度，不是线段） 4.平行线画法（一靠、二移、三画） 1.三角尺一边贴已知直线； 2.直尺靠紧三角尺另一边； 3.沿直尺平移三角尺； 4.沿三角尺直角边画直线，即为平行线。 知识点02:三线八角（识图核心，期末必考） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，简称 “三线八角” 补充：遇到复杂图形，可遮挡多余线条，只保留 “三线”，快速排除干扰角。 知识点03.平行线 1. 平行线的定义与基本事实 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（符号：∥，如 a∥b）； 注意：① 前提同一平面内（空间中存在不相交也不平行的直线）；② 平行线是直线，无限延伸，不能用 “线段平行” 直接表述（需说明线段所在直线平行）。 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（几何语言：∵a∥c，b∥c，∴a∥b）。 内容：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 符号语言：若 a∥b，b∥c，则 a∥c 作用：用于间接证明两直线平行 2.平行线的判定 3.平行线的性质 核心区分：证平行用判定，知平行用性质，二者推理逻辑不可颠倒。 知识点04:平移的概念 知识点05:平移的 “四大黄金性质”（必考） 全等不变：平移前后的两个图形全等。 对应线段：平行（或在同一直线上）且相等。 对应角：完全相等。 对应点连线：平行（或在同一直线上）且相等，都等于平移距离。 黄金口诀形状大小都不变，对应线段角相等；对应点连平行等，平移方向距离明。 知识点06:平移作图 “标准三步法”（规范不丢分） 作图原理 抓住关键点：找出图形顶点→平移顶点→顺次连接对应点。 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点.得到平移后图形. (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点07:常考几何模型 模型 几何语言 图形 猪蹄模型：拐点处的角等于两侧角之和 ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠D=∠BPD 铅笔头模型：三个角之和为360∘ ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠P+∠D=360∘ 锯齿模型：开口朝同一方向的角之和相等 ∵AB∥DE（已知） ∴ ∠B+∠M+∠N=∠C+∠E 题型01.垂线的定义与画法 1．如图，两个画图过程，直观地刻画了一个基本事实，这个基本事实指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】C 【详解】解：由作图可知，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 2．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D．. 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 3．如图，已知，垂足为点，图中与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得出，然后由平角的定义即可得出与的关系． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型02.垂线段的性质与距离定义 4．如图，在中，，，，，点从点到点沿方向运动．则的最小值是______________． 【答案】 【分析】作于点，利用面积法可计算出，由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值． 【详解】解：如图，作于点， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值． 5．如图，点A，B，C在直线l上，点P为直线l外一点，连接，且，若，，，则点P到直线l的距离是________． 【答案】4 【分析】根据“直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”进行解答． 【详解】解：垂线段最短，于点B，， 点到直线的距离是． 6．如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（    ） A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8 【答案】A 【分析】根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”这一性质，可知点 到直线的距离应小于或等于与中的较小值，据此判断即可． 【详解】解：设点 到直线 的距离为． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 且 ． ，， ． 7．如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；；垂线段最短 【分析】本题考查垂线的定义，熟练掌握其定义是解题的关键 （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）利用点到直线的距离的定义，利用垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：由（1）和（2）的图像可得，线段的长度是点P到的距离， 根据垂线段最短可得：， 故答案为：；；垂线段最短． 题型03.对顶角的定义与性质 8．平面上3条互不重合的直线交于一点，其中对顶角有______对． 【答案】6 【分析】本题主要考查对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键；三条互不重合的直线交于一点，可视为三对两条直线的组合，每对两条直线相交形成2对对顶角，因此总对数为对，然后问题可求解． 【详解】解：三条互不重合的直线交于一点，共有三种不同的两条直线组合：直线1与直线2、直线1与直线3、直线2与直线3，每种组合形成2对对顶角，故总对数为对． 故答案为：6． 9．如图，AB、DE交于点G，，垂足为G，，则____． 【答案】 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 与是对顶角， ． 10．下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：与是对顶角的是． 11．如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等可得，结合已知可得，再利用垂直定义得，最后根据求解即可． 【详解】解：直线、相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．如图，直线，相交于点O，过点作，在内部作射线． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等角的余角相等即可求得； （2）设，则，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∴，解得， ∴， ∵， ∴． 题型04.同位角.内错角.同旁内角 13．如图，①和是___角；②和是___角．（选填“同位”、“内错”、“同旁内”、“对顶”、“邻补”） 【答案】 内错 同位 【详解】解：①和是内错角； ②和是同位角． 14．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 15．如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．与是同旁内角，正确，符合题意； B．与是内错角，原表述错误，不符合题意； C．与是同位角，原表述错误，不符合题意； D．与不是内错角，原表述错误，不符合题意； 故选：A． 题型05.平行公理的应用 16．已知直线，则三点______同一条直线上．（填“一定在”“不一定在”或“一定不在”） 【答案】一定在 【分析】根据平行公理的推论，即经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断三点的位置关系． 【详解】解：已知，，且与都经过点， 由平行公理可得与为同一条直线， 即三点一定在同一条直线上． 17．如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断． 【详解】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在一条直线上． 故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 18．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 题型06.用直尺.三角板画平行线. 19．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有______（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 20．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：______．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 21．如图，已知，请在网格中按下列要求作图： (1)过点C作直线，使得； (2)过点B作直线，使得． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平移思想，直线即可； （2）根据网格特点，画出直线即可. 【详解】（1）略 （2）略 题型07.垂直于同直线的两直线平行 22．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是________．（填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查同一平面内直线的位置关系，解题关键是掌握平行线与垂线的相关性质，根据性质逐一判断每个结论即可． 【详解】解：①如果，，根据一条直线垂直于平行线中的一条，也垂直于另一条，可得，故①正确； ②如果，，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得，故②正确； ③如果，，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得，故③错误； ④如果，，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得，故④正确． 综上，①②④正确． 23．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是______．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 24．在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 【答案】D 【分析】本题考查平面内直线位置关系中的规律探究，根据题意，得到（为自然数），，，，再进行判断即可． 【详解】解：∵，，，，…， ∴ ∴从直线开始每条直线与的位置关系依次：两条与垂直，两条与平行，再两条与垂直，两条与平行，…，即每两条变化一次位置关系，4条一个循环， ∴（为自然数），，，， 因为，，，， ∴若，则的值可以是85， 故选D． 题型08.平行线的判定 25．如图，填空． （1）当______时，，理由：____________； （2）当______时，，理由：____________； （3）当______时，，理由：____________． 【答案】 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 【分析】结合图形，依据已知平行线识别“三线八角”模型中的同位角、内错角、同旁内角，再对应匹配平行线的三大判定定理，完成条件与判定依据的填空即可． 【详解】解：（1）当 时，，理由：同位角相等，两直线平行； （2）当 时，，理由：内错角相等，两直线平行； （3）当 时，，理由：同旁内角互补，两直线平行． 26．如图，已知四边形，点在延长线上，连接，则下列条件中，能判定的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据平行线的判定方法进行判断，即可得出结论． 【详解】解：若，则，故A选项不合题意； 若，则，故B选项符合题意； 若，则，故C选项不合题意； 若，则，故D选项不合题意． 27．如图所示，完成推理过程． ①（已知）， _____（_____）． ②（已知）， _____∥_____（______）． ③（已知）， （_____） ④（已知）， _____（_____）． 【答案】①；内错角相等，两直线平行 ②；同位角相等，两直线平行 ③同旁内角互补，两直线平行 ④；同位角相等，两直线平行 【分析】根据题意和平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：①（已知）， （内错角相等，两直线平行）． ②（已知）， （同位角相等，两直线平行）． ③（已知）， （同旁内角互补，两直线平行） ④（已知）， （同位角相等，两直线平行）． 题型09.平面内的两直线位置关系 28．在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是________． 【答案】 【分析】本题考查的是平行公理及其推论，即若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，那么另一条也垂直于这条直线． 根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 同一平面内，已知直线a、b、c，且， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 29．在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为________． 【答案】在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，注意数形结合思想的运用．根据在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交即可得到答案． 【详解】在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 故答案为：在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 30．有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 【答案】C 【分析】首先可得、、、、、这6条直线最多有个交点，最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，然后可得答案． 【详解】解：如图，∵，、、交于同一点，    ∴这6条直线最多有个交点， ∵最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点， ∴这8条直线的交点个数最多为（个）， 故选：C． 【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键． 题型10.平行线的性质 31．如图，根据图形及上下文的含义进行推理并填空： (1)因为，根据：“两直线平行，同位角相等”，所以______； (2)因为______，根据：“______”，所以； (3)因为______，根据“______”，所以． 【答案】(1) (2)，内错角相等，两直线平行 (3)，同旁内角互补，两直线平行 【详解】（1）解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）； （2）解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3）解：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 32．如图，已知，则、、、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作，交于点，则，，即可得出，作，则，，从而可得，由此即可得出结果． 【详解】解：如图，作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 作，则，， ∴， ∴， ∴， ∴ 33．如图，，直线分别与直线，相交于点E，F，M是和之间的一点，N在上，连接，． (1)求证：平分； (2)延长交于点G，当时，求的度数； (3)在（2）条件下，当______时，． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据，得到，进而推出，即可得证； （2）结合（1），利用平行线的性质解答即可； （3）根据两直线平行，同位角相等解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，． 34．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质，可得，，即可证得结论； （2）由平行线的性质，结合角平分线的定义，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 题型11.平行线性质探究角的关系 35．如图，直线AB//CD，∠AEM＝2∠MEN，∠CFM＝2∠MFN，则∠M和∠N的数量关系是________． 【答案】∠EMF=∠ENF 【分析】利用平行线的性质以及已知条件解决问题即可． 【详解】解：过点M作MJ∥AB，过点N作NK∥AB． ∵AB∥CD， ∴MJ∥AB∥CD，NK∥AB∥CD， ∴∠EMJ=∠AEM，∠FMJ=∠CFM，∠ENK=∠AEN，∠FNK=∠CFN， ∴∠EMF=∠AEM+∠CFM，∠ENF=∠AEN+∠CFN， ∵∠AEM=2∠MEN，∠CFM=2∠MFN， ∴∠AEM+∠CFM=（∠AEN+∠CFN）， 即∠EMF=∠ENF． 故答案为：∠EMF=∠ENF． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 36．如图，，OE平分∠BOC，，，若，则下列结论：①；②平分；③；其中正确结论有（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，垂直的定义，解题的关键是根据平行性性质和角平分线定义得到一些等角． 根据平行线的性质和角平分线的定义、垂直的定义，逐个判断各个小题中的结论是否成立，即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴，故①正确； 又∵。 ∴ ∴， ∴，即平分，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 综上所述：正确结论有①②③． 故选：A． 37．如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 38．学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1：，点在、内部，探究，，的关系.小明过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：_____． (2)如图2，若，点在、在外部，，，的数量关系如何？为此，小明进行了下面不完整的推理证明.请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据，过点作. （__________）； ，（___________________）， ， ， _________（__________）． (3)我们生活中经常接触小刀，如图3，刀柄是直角梯形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由． (4)随着以后的学习，你会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题：如图4，在中，尝试说明． 【答案】(1) (2)两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行；；等量代换 (3)的大小不会变；理由见解析 (4)说明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是根据题意，作出合适的辅助线． （1）根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可求解； （2）根据平行线的判定与性质，结合上下文，求解即可； （3）过点作，再根据平行线的性质，求解即可； （4）过点作，根据平行线的性质，求解即可． 【详解】（1）解：，之间的数量关系是：，理由如下： 根据题意可得，， ∴，， ∴， 故答案为： （2）解：∵ （两直线平行，内错角相等）； ， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行）， ， ， （等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行；；等量代换． （3）解：的大小不会变，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， 即，． （4）解：如图，过点作， ，， ， . 题型12.平行线性质求角的度数 39．如图所示，已知是的平分线，，，求，，的度数．请完成下面的解题过程和理由． 解：∵是的平分线（已知）， ∴______（     ）， ∵（已知）， ∴______（     ）， ______（      ）， ∵（已知）， ∴（     ）， ∴（     ）， ∴____________． 【答案】，角平分线定义；，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，内错角相等；等量代换；等量代换；，． 【分析】根据角平分线定义，平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的平分线（已知）， ∴（角平分线定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（等量代换）， ∴． 40．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． (1)求证：； (2)若平分时，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据对顶角相等可得，再结合已知条件，由同位角相等两直线平行证明即可； （2）先由平行求解出的度数，进而由角平分线可得的度数，结合平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且． ∴， ∴． （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 41．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯F射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点G． 【猜想验证】 (1)如图1，转至某刻，，，则_______°； 【应用迁移】 (2)灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯E射线到达之前，灯F转动几秒时，？ 【实践创新】 (3)交相辉映处，饱读长安城，小明设想E、F处各有一条彩色光线，始终分别平分，，若两条角平分线所在直线交于点H，请你在图3中补全图形并探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)35 (2)45秒或75秒 (3) 【分析】（1）过点G作的平行线，根据两直线平行，内错角相等进行求解； （2）先求出转动时间的取值范围，再分为点G在右侧和左侧两种情况进行讨论，运用第一小问作辅助线得出的结论进行求解； （3）四边形内角和是是解题的关键，运用角平分线的性质和第一小问作辅助线得出的结论进行求解． 【详解】（1）解：过点G作，如答案图①所示， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）设灯F转动t秒时，， 因为灯E、灯F转动的速度分别是每秒2度、每秒4度，则灯E射线旋转至时，，故， 当点G在右侧时，易知点G在上，如答案图②， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 当点G在左侧时，可知灯F射线是在转到上后，返回的过程，如答案图③， ，， 由（1）可得：， 解得：， 综上所述，灯E射线到达之前，灯F转动45秒或75秒时，． （3），理由如下： 如答案图④所示， 当未到达前，设灯转动x秒，由题意可知、分别平分、， 设，， 可以得到：， 由（1）可得， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了平行线中的猪蹄模型，熟记过拐点作平行线，掌握平行线的性质以及四边形内角和是是解题的关键． 题型13.平行线性质的应用 42．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光从水中射向空气时，会发生折射，且在水中平行的光线射向空气中后也互相平行．如图，容器水平放置，平行光线，从水中射向空气时发生折射，已知，，则________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵光线在空气中也平行，.， ∴, ∵液面和底面平行，， ∴, ∴． 43．如图，用一根细绳把物体悬挂起来，其中细绳的一端固定在垂直于地面的墙面上，当物体静止后对其进行受力分析，细绳对物体的拉力分别为和，物体所受重力方向竖直向下，若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先据题意得，求出的值，再根据周角性质即可求解． 【详解】如图， ∵据题意得，，， ∴，即， ∵，， ∴． 44．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴， ∴． 题型14.平行线判定与性质求角度 45．如图，在四边形中，，，P是上一点，连接，E是延长线上一点，连接，且，．若，则的度数为________． 【答案】 54 【分析】首先根据同旁内角互补判定，利用平行线的性质求出的度数，再根据利用平行线的性质得出与的关系以及与的关系，最后通过角的和差计算得出结果． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 46．如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点B向右作．则，．利用平行线的性质可得、，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：如图：过点B向右作． ∵， ∴，． ∴，， ∴． 47．如图，，，分别平分，，且其所在直线交于点，则与的数量关系为______． 【答案】 【分析】由角平分线的定义得，，设 ， ，作，根据平行线的判定与性质，求出 ，同理求出，即可得答案． 【详解】解：分别平分，， ，， 设 ， ， 如下图，过点M作，则， ， ， 如上图，过点N作，则， ， ， ，即． 48.如图，已知，点为平面内一点，平分，过点的直线交于点，． .. (1)试问直线和有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，请试着求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由平分，得，由，得，再由，证得，进而得，最后，由，得； （2）由，得，再由，得，代入数据即可求得的度数． 【详解】（1）解：，理由： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型15.平行线判定与性质证明 49．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知，，垂足分别为、，，试说明：． 解：，（已知） （____①____） （____②____） （____③____）． 又（已知） （____④____） （____⑤____） ． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义，同角的补角相等进行证明即可． 【详解】解：，（已知） （垂直的定义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知） （同角的补角相等） （内错角相等，两直线平行） ． 50．如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】（1）先由，根据同位角相等，两直线平行，证得，推出；再结合，通过等量代换得到，根据同旁内角互补，两直线平行，证得． （2）先由和的度数，求出的度数；再结合平行线的性质与邻补角的定义，求出的度数；最后根据，利用平行线的性质求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 51．如图1，直线与直线，分别交于C，D两点，点M在直线上，射线平分交直线于点Q，． (1)试说明． (2)如图2，射线交直线于点F，交线段于点P，且． ①若，直接写出的度数． ②点N在射线上，满足，连接，请补全图形，探究与满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分， ， 又，． ， ； (2)①； ②或， 理由：如图3， ， ， ， ， ， ； 如图4， 由①可得， ，， ， ， 即：， ， ， ， 综上所述，与满足的等量关系为或． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的判定进行解答即可； （2）①根据平行线的性质进行计算即可；②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：①， ，，， 平分， ， 又， ； ②略 题型16.利用平移的性质求解 52．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_____． 【答案】29 【分析】根据平移的性质得到，，再根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∵的周长为， ∴， ∴ ∴四边形的周长． 53．如图，将沿方向平移得到（点、、、在同一直线上），交边于点，若阴影部分的面积为4，则四边形的面积为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由平移的性质得到，再由和推出即可． 【详解】解：由平移的性质可知，平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 54．在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线任意平移得到（的对应点分别为），连接． (1)如图1，若平移距离为，则阴影部分的周长为___________； (2)如图2，若，求的度数； (3)若以每秒的速度向右平移．设移动了秒，则为何值时，图2中的四边形的面积是的面积的3倍？ (4)在整个运动过程中，当与中一个角是另一个角的3倍时，则的度数为___________°． 【答案】(1)12 (2) (3)10秒 (4)105或52.5或17.5或35 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得，进而可得阴影部分的周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）设的边上的高为，则，由平移性质得四边形底，高为，面积为，根据四边形的面积是的面积的3倍列方程求解即可； （4）分和两种情况，根据平行线的性质以及平移的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵沿着直线l平移得到，平移距离为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：12； （2）解：∵， ∴， ∵，沿着直线l平移得到， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的边上的高为，则， 由平移性质得：四边形底，高为， 所以，四边形面积为， 因为四边形的面积是的面积的3倍列方程求解即可； 所以，， 解得：， 即10秒后四边形的面积是的面积的3倍 （4）解：连接，如图，由平移知，， ∴，当与中一个角是另一个角的3倍时，与中一个角是另一个角的3倍时，设， 当时，， 若，则，解得，即， 若，则，解得， 即， 当时， 若，则，解得，即， 若，则，解得，即， ∴的度数为或或或 故答案为：105或52.5或17.5或35． 题型17.利用平移解决实际问题 55．某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元． 【答案】252 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键； 利用平移和平行分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向向下平移到上，竖直方向的线段沿水平方向向左平移到上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角边的长度，然后求出面积进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： 地毯的总长度至少为(米)． 此时，总面积为 (平方米)， 所以购买地毯至少需要(元)． 56．如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故选：B． 57．白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 题型18.平移作图 58．数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：利用平移的性质得到， 可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行， 故选：B． 59．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A．有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 【答案】B 【分析】根据两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形可得出答案． 【详解】解：（1）当两斜边重合时可组成一个长方形，此时，，；    （2）当两直角边重合时有两种情况： ①短边重合，此时，，； ②长边重合，此时，，．    综上可得或8． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的知识，有一定难度，关键是利用两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形进行解答． 60．如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． (1)平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） (2)若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 【答案】(1)见解析 (2)相等； 两直线平行，内错角相等 【分析】本题主要考查了平移变换，平行线的性质等知识点，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平行线的性质得出与的大小关系； 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴与的大小关系是相等，依据是两直线平行，内错角相等． 题型19.平行线与折叠问题 61．如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且，则＝___． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，角的和差求角，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 由折叠的性质，可得，，设， 利用平行线的性质和，求出，再利用角的和差求． 【详解】解：将一张长方形的纸片沿折痕翻折，可知，， 设，则， ， ， ， 由，解得， ， ． 故答案为：． 62．如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为___________； （2）若，则的度数为___________． 【答案】 /120度 /150度 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，熟记矩形的性质以及折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠及平行线的性质即可求解； （2）根据平行以及折叠对应角相等，得到：，利用外角的性质得到：，再根据折叠得到：，利用平角的定义即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得： ，， ∴， ∵， ∴； （2）根据题意得： ， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 63．方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（    ） A．105° B．120° C．130° D．145° 【答案】A 【分析】由矩形的性质可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数． 【详解】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， ∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°-3∠BFE．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键． 题型20.铅笔头模型 64．自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出，若，则的度数是_________． 【答案】 【分析】过点作，由题意可得，，先求出，求出，即可得到答案． 【详解】解：过点作， 由题意可得，， ， ， ， ， ， ． 65．2026年央视春晚宜宾分会场上，上百台机器狗（如图1）集体完成奔跑、跳跃等动作，成为节目亮点之一．图2是某机器狗身体结构的平面示意图，，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，得出，由两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等，得出，，再结合角的和差关系得，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ∴，， ∵， ∴， 则， 即． 66．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点C作如图②，则可以得到，其理由是： ． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； 【答案】(1)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (2)； 【分析】（1）根据平行公理进行解答即可； （2）根据平行线的性质得出，从而求出，再根据已知角求出，根据平行线的性质求出；根据平行线的性质得出，从而求出．再根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点C作如图②，则可以得到，其理由是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）解：如图，∵， ， ∵， ， ∵， ， ∵， ∴， ； ∵， ， ∵， ． ∵， ； 题型21.猪蹄模型 67．已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 【答案】 【分析】（1）过拐点作平行线，利用内错角相等，将大角拆成两个分别等于和的小角，得到数量关系； （2）过两个拐点分别作平行线，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等，将目标角拆分为两部分，再用含，，的式子表示． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，， ， ． 68．如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作的平行线， ，， ，， ， ． 69．综合与实践： (1)如图1，，E为图形内一点，连接得到，求、、之间的关系，并说明理由． 探究应用：可以利用（1）中结论解决下面问题： (2)如图2，，直线分别交于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点E作，则，由平行线的性质得，，可得； （2）利用（1）中结论可得 ， ，由，平分，可得 ，结合，可证． 【详解】（1）解： ， 如图所示，过点E作， ， ， ，， ， ， ， ；     （2）解：利用（1）中结论可得 ， ， ， ，平分， ， 又， ， 即． 题型22.锯齿模型 70．如图，已知，，试说明．请补全解答过程． 解：因为， 所以根据______，得． 又因为， 所以根据______，得______． 所以根据______，得． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】首先根据同旁内角互补判定，再根据内错角相等判定，最后利用平行于同一条直线的两条直线平行得出结论． 【详解】解：因为， 所以根据“同旁内角互补，两直线平行”，得． 又因为， 所以根据“内错角相等，两直线平行”，得． 所以根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，得． 71．悬挂对于汽车的操控性能有着决定性的作用，不同构造的悬挂有着不同的操控性能．现代轿车大都是采用独立式悬挂系统，独立悬挂系统是每一侧的车轮都是单独地通过弹性悬挂系统悬挂在车架或车身下面的．如图是某汽车的独立悬挂截面图，已知，，，且，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可推出，延长分别交直线于点M，点N，则可证明，过点I作，则，据此可得，即． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴； 如图所示，延长分别交直线于点M，点N， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点I作， ∴， ∴， ∴． 72．解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $