精品解析：河北承德市第八中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

河北省承德市第八中学2025--2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 函数，满足，且的最小值为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由正弦函数的性质可知：任意两个相邻零点之间的距离为半个周期，即：，解得：. 2. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍得到， 再向右平移个单位得到. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知向量差的坐标求出其模的平方，再利用向量数量积的运算性质求得两向量的数量积，最后计算目标向量模的平方后开方即可得到结果. 【详解】因为，所以 又，所以  ，解得， 所以，  所以. 4. 已知等边的边长为2，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以分别为的三等分点， 因此， ， 所以 . 5. 已知的内角的对边分别为，满足，且则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角变换公式可得，结合题设条件可得，从而可构建关于的方程，故可求的值. 【详解】因为，由正弦定理可得，而， 故即， 所以， 由题设条件可知均不为直角，故，故， 而所以， 故， 而，解得，若，则均为负， 则都为钝角，这与为三角形内角矛盾，故， 而为三角形内角，故. 6. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）m A. B. 8 C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图： 依题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理，得. 在中，，，， 由余弦定理，得， 所以. 7. 已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角的平方关系，利用换元法（令），结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】， 令，由得， 设， 其图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 因为在上取得最大值2， 所以，解得. 8. 如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数的周期是16 B. 该函数图象的一条对称轴是直线 C. 该函数的解析式是 D. 这一天的函数关系式也适用于第二天 【答案】A 【解析】 【分析】数形结合求函数的周期及解析式判断A、B、C，结合实际判断D. 【详解】由题意及函数的图象知，，可得， 由，所以，故，A正确； 图象经过点，则，故， 但，故不是对称轴， 又，故φ可以取，所以，BC错误； 这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，D错误． 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知，，点是线段的一个三等分点，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】由题意可知：，，其中为坐标原点， 因为点是线段的一个三等分点，则或， 若，则，即点的坐标为； 若，则，即点的坐标为； 综上所述：点的坐标可以为或. 10. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（ ） A. 是等腰三角形 B. C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】AC 【解析】 【分析】计算角判断三角形形状判断A；根据余弦定理及正弦定理计算判断B；根据三角形面积公式计算判断C；求解周长判断D. 【详解】对于A，因为，所以或， 因为，所以， 则，则是等腰三角形，故A正确. 对于B，在中，由余弦定理可得， 即，则， 由正弦定理可得，故B错误. 对于C，的面积为，故C正确， 对于D，周长为，故D错误. 11. 四边形是边长为2的正方形，是线段上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 当时，为中点 C. 的最小值为3 D. 的最大值为5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义即可求解A，根据向量的线性运算即可求解B，根据数量积的运算律，结合线性运算即可求解D. 【详解】对于A,,A正确， 对于B,由可得,故，即为中点，B正确， 对于CD， , 又因为，故当时，此时取到最小值3. 当或时，此时取到最大值4，因此C正确，D错误. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为，边上的高AD长为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，根据三角函数公式，可得答案. 【详解】由题作图如下： 在中，，则，即； 在中，，，则； 则. 故答案为：. 13. 已知平面向量，，则向量在向量方向上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过向量减法运算求出向量的坐标，再利用平面向量投影向量的计算公式求解即可. 【详解】由 ，及 ， 将 代入上式，计算得：  ， 则， ， 由在方向上的投影向量为， 代入上述结果得：  即向量在向量方向上的投影向量为. 14. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则边长的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件结合正弦定理表示、，并计算得到的值，利用锐角三角形内角范围求出的范围，再由和差角公式与辅助角公式进行化简，利用正弦函数性质即可求解. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理可得， ，，， . ， ，，， . 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知为坐标原点，.点满足（为实数），. （1）若，求向量； （2）记（1）中与的夹角为，求； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即得； （2）由向量的夹角公式求解即得； （3）由向量垂直的坐标公式求解即可. 【小问1详解】 若，，， 整理得， 所以. 【小问2详解】 ,,, ,, 则. 【小问3详解】 ，所以， 由解得， 即， 由可得，解得. 16. 已知向量.设. （1）求函数的最小正周期； （2）记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式将函数化简，从而可求得函数的最小正周期； （2）根据，求得，再根据的面积为，求得，再利用余弦定理即可得出答案. 【小问1详解】 由题意， ， 所以函数的最小正周期； 【小问2详解】 由得， 因为，所以，解得， 因为，所以， 由余弦定理得，所以. 17. 已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）若，且满足，求. 【答案】（1），单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的性质得且，结合已知求出函数解析式，进而求其递增区间； （2）根据已知有且，利用平方关系求余弦值，再由和差角余弦公式求值即可. 【小问1详解】 函数相邻两个零点的距离是，故，解得， 对于任意实数，都有恒成立，故 即，故， 因为，故，所以， 若，，则，， 故的单调递增区间为； 【小问2详解】 若，则，故， 因为， 故 故 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求不等式在上的解集； （3）对于任意的，关于x的不等式≥0恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式得到，结合周期公式和整体代换即可求解； （2）由（1）得到再结合正弦函数性质即可求解； （3）通过分离参数得到，再结合的值域和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 易知 ． 令，可得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由可得，整理可得． 因为，所以． 根据正弦函数的性质可知要使，应满足， 解得． 所以不等式在上的解集为． 【小问3详解】 因为，所以，得到， 所以，又因为不等式恒成立， 得到，因为， 当且仅当，即时取等号，因此， 所以实数m的取值范围是. 19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）已知， （ⅰ）若的面积为，求b，c； （ⅱ）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理边化角结合三角恒等变换求角A； （2）（ⅰ）结合面积公式和余弦定理列方程组求解边长；（ⅱ）借助余弦定理和基本不等式求面积最大值. 【小问1详解】 由正弦定理将已知等式边化角得：  ， 代入， 消去得：  . 因为，两边同除以得， 用辅助角公式化简为， 即 又，故，解得. 【小问2详解】 （ⅰ）已知，， 代入得： ，解得 . 由余弦定理， 代入数据得， 将代入得 ， 联立得，故. （ⅱ）由余弦定理得，由基本不等式得：  ，当且仅当时取等号， 则，故面积最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省承德市第八中学2025--2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 函数，满足，且的最小值为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 2. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等边的边长为2，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角的对边分别为，满足，且则（ ） A. B. C. D. 6. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）m A. B. 8 C. 12 D. 7. 已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 8. 如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数的周期是16 B. 该函数图象的一条对称轴是直线 C. 该函数的解析式是 D. 这一天的函数关系式也适用于第二天 二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知，，点是线段的一个三等分点，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（ ） A. 是等腰三角形 B. C. 的面积为 D. 的周长为 11. 四边形是边长为2的正方形，是线段上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 当时，为中点 C. 的最小值为3 D. 的最大值为5 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为，边上的高AD长为，则__________. 13. 已知平面向量，，则向量在向量方向上的投影向量为________． 14. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则边长的取值范围为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知为坐标原点，.点满足（为实数），. （1）若，求向量； （2）记（1）中与的夹角为，求； （3）若，求的值. 16. 已知向量.设. （1）求函数的最小正周期； （2）记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 17. 已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）若，且满足，求. 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求不等式在上的解集； （3）对于任意的，关于x的不等式≥0恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）已知， （ⅰ）若的面积为，求b，c； （ⅱ）求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $