精品解析：河北承德市第二中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学 2205G101B 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 用斜二测画法画一个边长为2的正方形的直观图，则该直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 在中，，，，为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数图象上各点的横坐标先缩短至原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到曲线．若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知平面向量，，满足，，则以下结论中错误的是（ ） A. B. 在上的投影向量的模是 C. D. 若，则的取值范围是 8. 已知棱长为的正方体内恰好装入两个相外切的球，，球心，在正方体的体对角线上，其中球的半径为，球的半径为，则该正方体的棱长（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 定义平面向量的一种新运算．现有平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，，若，则________． 13. 若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积满足，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，是两个不共线的单位向量，，． （1）若，求的值； （2）若，则当为何值时，的值最小？ 16. 如图，在三棱锥中，，，分别为侧棱，，上异于端点的点，且． （1）求证：平面平面； （2）在线段上取靠近点的三等分点，连接，则在线段上是否存在点，使，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 17. 已知，，，，，． （1）求的值； （2）求的值． 18. 如图所示，正四棱台的上、下底面面积之比是，，分别为，的中点，点满足，． （1）当为何值时，平面； （2）在（1）的条件下，求三棱锥与四棱台的体积之比； （3）连接，在线段上取点，且满足平面，求能使成立的的最小值． 19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且 ． （1）求； （2）若，且的面积为，求的值； （3）若为锐角三角形，为所在平面内一点，且满足 ，设，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 2205G101B 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，. 2. 用斜二测画法画一个边长为2的正方形的直观图，则该直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图与原图面积关系计算. 【详解】原正方形边长为，面积， 则直观图的面积. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合空间线面平行的判定定理与性质定理，逐一分析各选项，通过举反例排除错误选项得到正确结果. 【详解】对于A：若，，可能落在平面内，此时不满足，A错误； 对于B：若，，与可能是异面直线，不一定平行，B错误； 对于C：若，，可能落在平面内，此时不满足，C错误； 对于D：该命题就是线面平行的性质定理，D正确. 4. 在中，，，，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，结合图象的几何运算求解即可. 【详解】如图所示：连接, 因为为中点， 所以 5. 将函数图象上各点的横坐标先缩短至原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到曲线．若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角函数的图像变换得到的解析式，再根据三角函数的对称性即可求出的最小值． 【详解】依题意可得， 又直线是曲线的一条对称轴， 则，，解得，， 所以的最小值为． 6. 一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】设该楼阁的高度米，根据题意得，，，，再结合，根据余弦定理求得即可得答案. 【详解】设该楼阁的高度米， 根据题意，，， 所以，，， 因为， 所以， 因为， ， 所以，即， 整理得，解得米，即该楼阁的高度米. 7. 已知平面向量，，满足，，则以下结论中错误的是（ ） A. B. 在上的投影向量的模是 C. D. 若，则的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量模长公式计算判断选项A；求出在上的投影向量的模判断选项B；根据向量的运算性质判断选项C；利用三角不等式计算判断选项D． 【详解】，故A正确； 在上的投影向量的模为：，故B正确； 向量运算不满足实数的二项式立方展开，故等式不成立，C错误； ，由三角不等式， 又，故，即，故D正确． 8. 已知棱长为的正方体内恰好装入两个相外切的球，，球心，在正方体的体对角线上，其中球的半径为，球的半径为，则该正方体的棱长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出对角线及球心所在的截面，建立对角线与两个球的半径的等量关系式即可求解. 【详解】 如图所示，左图为正方体，两个相外切的内切球，正方体的棱长为，球的半径分别为， 右图为对角线及球心所在的截面， 由于正方体的棱长为，则， 在直角中，， 又因为，，解得，， 因此， 解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据圆锥的截面分析即可. 【详解】因为用一个竖直的平面去截这个几何体， 则当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形， 当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支， 故AD正确. 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】首先确定范围，然后利用正弦的差角公式和余弦的半角公式进行求解. 【详解】因为，则，所以，， ，利用正弦的差角公式展开得：， 即：，所以， 又因为，所以联立解得：，或，， 当，时，， 当，时，， 所以. 11. 定义平面向量的一种新运算．现有平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接根据定义的新运算，向量的加法，数量积，绝对值不等式即可判断选项A，B，C，举反例即可判断选项D． 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由，故C正确； 对于D，取，，则，而，此时，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，，若，则________． 【答案】1 【解析】 【详解】已知平面向量，满足， ，解得． 13. 若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】分析正切函数的单调区间，并根据恒成立问题求解. 【详解】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积满足，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合三角形面积公式及二倍角公式得到，然后利用正弦定理边化角以及角的取值范围即可求解. 【详解】由题意得，锐角的面积， 由于，所以，化简得， 利用二倍角公式，代入得，解得， 则，则， 由正弦定理， 由于，则，解得， 由于在上单调递增， 当时，，则； 当时，，则； 因此的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，是两个不共线的单位向量，，． （1）若，求的值； （2）若，则当为何值时，的值最小？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两向量共线的充要条件得到系数对应相等联立方程组即可求解； （2）先表示出向量模长的平方，结合向量数量积的运算公式，利用配方法转化为二次函数求最值问题即可求得. 【小问1详解】 因为为非零向量，，则存在实数，使得， 即， 所以，解得． 【小问2详解】 由，得， 所以 ， 所以当时，取得最小值． 16. 如图，在三棱锥中，，，分别为侧棱，，上异于端点的点，且． （1）求证：平面平面； （2）在线段上取靠近点的三等分点，连接，则在线段上是否存在点，使，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面； 同理可证得平面， 又因为，，平面， 所以平面平面． （2）存在，点是线段上靠近点的三等分点． 【解析】 【分析】（1）根据题意证明平面，平面，再结合面面平行的判定定理即可证明； （2）连接，显然与相交，设交点为，进而结合面面平行的性质定理得，再结合几何关系即可求得点是线段上靠近点的三等分点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：存在．点是线段上靠近点的三等分点． 理由如下： 连接，显然与相交，设交点为． 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以． 所以在线段上存在点，使得． 由可得，且． 设， 如图，在平面内，有，即，， 又因为， 所以有， 所以点是线段上靠近点的三等分点． 17. 已知，，，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积及两角差的余弦公式可得，由及两角差的正弦公式，可得，从而得，由同角的平方关系求解即可； （2）结合（1）可求得，，由两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题知， 由，结合已知， 可得， 所以， 又，所以有． 所以， 则． 【小问2详解】 由（1）知， 所以有， 由（1）可知, 所以， 所以． 又因为， 所以． 所以． 18. 如图所示，正四棱台的上、下底面面积之比是，，分别为，的中点，点满足，． （1）当为何值时，平面； （2）在（1）的条件下，求三棱锥与四棱台的体积之比； （3）连接，在线段上取点，且满足平面，求能使成立的的最小值． 【答案】（1） 时，平面 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到线线平行，再依据线面平行判定定理证明. （2）先根据相似关系求出的面积，再结合棱台和三棱锥体积公式计算体积比. （3）由线面平行得出，进而确定的取值范围，将不等式能成立问题转化为能成立问题，求出在的最小值，得到的最小值. 【小问1详解】 因为为的中点，所以当点为的中点，即时， 有，又因为平面，平面， 所以平面，所以时，平面 【小问2详解】 由（1）知为的中点，设四棱台上底面的面积为，则下底面的面积为，易得的面积为． 设正四棱台的高为， 则三棱锥的高为． 所以． 【小问3详解】 如图，连接，交于点，连接，由题知平面，平面，所以只要即可． 取正四棱台的对角面，如图， 易得． 因为当点与点重合时，由可得， 此时； 当点与点重合时，由可得，满足题意， 此时． 所以． 而在此条件下，要使能成立， 只需时，能成立． 设，则问题转化为， 因为，所以，所以， 所以，16分 所以，故的最小值为． 19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且 ． （1）求； （2）若，且的面积为，求的值； （3）若为锐角三角形，为所在平面内一点，且满足 ，设，求的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，因化简得的值，结合范围确定大小. （2）先根据范围确定范围，求出，再用公式求，，由面积公式得，进而求. （3）先根据向量垂直推出为外心，再利用向量数量积得到的关系，最后结合锐角三角形条件和不等式求出的最小值. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得， 在中，，则，即， 又，故． 【小问2详解】 因为，则， 因为，所以， 所以， ， 所以， 又面积，其中为外接圆的半径，解得， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以为的外心． 又， 则， 得，即， 从而①； 同理， 可得②． 由①②可得，即有③． 因为为锐角三角形，所以得； 同时由得． 将③化简得，从而有， 得，所以． 而， 令，则， 设，则结合对勾函数性质可知在上单调递减， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $