精品解析：湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校 2025-2026学年七年级下学期数学第二次自主练习

初一数学自主练习二 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，数轴上表示不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（ ） A. 100 B. 被抽取的100名学生家长 C. 被抽取的100名学生家长的意见 D. 全校学生家长的意见 5. 下列图形中，∠1和∠2是内错角的是( ) A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 两点之间，直线最短 C. 相等的角是对顶角 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 9. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（ ） A. B. C. D. 10. 若不等式组有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分） 11. 比较大小：_________6（填“＞”、“＝”或“＜”）． 12. 中国第四代自主超导量子计算机“本源悟空2号”进入最后的攻坚阶段．这款计算机是目前中国最先进的可编程、可交付超导量子计算机，已经为全球124个国家和地区的用户成功完成超过235000个运算任务，并且远程访问次数已经突破了1000万．将235000用科学记数法表示为______． 13. 有30个数据，其中最大值为40，最小值为19，若取组距为4，则应该分成____组． 14. 已知是关于的二元方程的一个解，那么=______. 15. 点在第四象限，则的取值范围是_____． 16. 书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为____． 三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来． 20. 立德学校为了解学生做家务劳动的情况，随机抽取了七年级若干名学生并对其五月份做过几项家务劳动情况进行调查，根据调查结果绘制了如下统计图． （1）本次被抽取的学生人数为______人； （2）补全条形统计图，扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应的扇形的圆心角______°． （3）若该校有学生1500人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量不超过3项的学生人数． 21. 长沙作为历史文化名城，为了弘扬湖湘文化，推动文旅融合发展，某景区计划采购一批特色文化产品布置主题展馆．景区内的两个展馆采购情况如表： 湘绣（件） 铜官窑瓷器（件） 总费用（元） 展馆 展馆 （1）求湘绣和铜官窑瓷器每件各是多少元； （2）景区准备再采购湘绣和铜官窑瓷器共件，总费用不超过元，且采购铜官窑瓷器的数量不少于湘绣的数量的，景区有几种采购方案？请你设计出来． 22. 已知：如图，点、、、都在的边上，，且． （1）求证：； （2）若平分，，求和的度数． 23. 定义：若两个不等式（组）存在整数解且完全一致，则称这两个不等式（组）“互为等值整数组”． 例：不等式组的解集为，其整数解为大于等于的整数；不等式的解集为， 其整数解也为大于等于的整数．因此，不等式组与不等式“互为等值整数组”． （1）下列不等式（组）中与“互为等值整数组”的是 （填写正确结论的序号）； ①，②，③． （2）已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，且是整数，请求出的值； （3）已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，请求出的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，，且，满足．点为线段上一点，连接． （1）请求出点，，的坐标； （2）如图，将点向轴的正方向平移个单位长度至点，连接和，三角形的面积等于，求的值； （3）如图，将点向上平移至点处，连接和，三角形的面积为．若不小于，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学自主练习二 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】根据无理数的定义可得：无理数是 故选：D． 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟练掌握图形平移不变性的性质是解答此题的关键．由题意根据图形平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由图可知A不是平移得到，B不是平移得到，D不是平移得到， C是利用图形的平移得到． 故选：C． 3. 如图，数轴上表示不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察所给数轴，起始点是，方向向右且是实心点即可解答． 【详解】解∶数轴上表示不等式的解集为， 故选：A． 【点睛】本题考查了根据数轴确定不等式的解集，掌握数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键． 4. 某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（ ） A. 100 B. 被抽取的100名学生家长 C. 被抽取的100名学生家长的意见 D. 全校学生家长的意见 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本的定义，结合题意，即可得到答案. 【详解】解：某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是：被抽取的100名学生家长的意见． 故选C． 【点睛】本题考查样本的定义，解题的关键是熟练掌握样本的定义. 5. 下列图形中，∠1和∠2是内错角的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据内错角的定义：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，即可得出答案． 【详解】解：观察图形，发现只有选项B中的两个角位于两条直线之间且在另一条直线两侧，故∠1和∠2是内错角．而其余选项中∠1和∠2不是一组内错角． 故选:B． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，有理数的乘方逐项计算即可选择． 【详解】，故A计算正确，符合题意； ，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； ，故D计算错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查立方根和算术平方根的定义，有理数的乘方．熟练掌握上述知识是解题关键． 7. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， ∴，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，故本选项符合题意； D、∵， ∴， ∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意不等式两边同除以或乘同一个负数，不等号方向发生改变． 8. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 两点之间，直线最短 C. 相等的角是对顶角 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线性质，线段公理，对顶角定义和平行公理，只需逐一判断每个命题的真假即可. 【详解】解：A选项：∵只有两直线平行时，同旁内角才互补， ∴A是假命题； B选项：∵两点之间，线段最短，不是直线最短， ∴B是假命题； C选项：∵相等的角不一定是对顶角，例如两个不相邻的直角也相等， ∴C是假命题； D选项：根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴D是真命题. 9. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设客人为x人，银子为y两，根据银两相同，且银两，人数，余两之间的关系解即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． 【详解】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意，得, 故选：A． 10. 若不等式组有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出两个不等式，根据已知不等式组有解，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 由得， 由得， 不等式组有解， ，即， 的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 二．填空题（共6小题，每小题3分） 11. 比较大小：_________6（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】由，再根据即可得出答案． 【详解】解： 又 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，比较简单，中考易考题型． 12. 中国第四代自主超导量子计算机“本源悟空2号”进入最后的攻坚阶段．这款计算机是目前中国最先进的可编程、可交付超导量子计算机，已经为全球124个国家和地区的用户成功完成超过235000个运算任务，并且远程访问次数已经突破了1000万．将235000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 有30个数据，其中最大值为40，最小值为19，若取组距为4，则应该分成____组． 【答案】6 【解析】 【详解】40-19=21，21÷4=5.25，故应分成6组. 14. 已知是关于的二元方程的一个解，那么=______. 【答案】1 【解析】 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：把代入方程得： 3m-5=﹣2， 解得：m=1， 故答案为1. 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 15. 点在第四象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标为负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得． 故答案为：． 16. 书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，则的度数为____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意，分别过点D和点E作的平行线，得到，则，由平行线的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：分别过点D和点E作的平行线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法：②－①×2即可解出y值，继而解出x值． 【详解】解：②－①×2得：7y＝14，解得∶y＝2． 把y＝2代入①得：x＝5． 则方程组的解为： 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是选用合适的解法，本题从系数可看出利用加减消元法较为合适． 19. 解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解为． ． 20. 立德学校为了解学生做家务劳动的情况，随机抽取了七年级若干名学生并对其五月份做过几项家务劳动情况进行调查，根据调查结果绘制了如下统计图． （1）本次被抽取的学生人数为______人； （2）补全条形统计图，扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应的扇形的圆心角______°． （3）若该校有学生1500人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量不超过3项的学生人数． 【答案】（1） （2）补图见解析， （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （）用“项”的学生人数除以其百分比即可求解； （）求出“项”的学生人数，即可补全条形统计图，用乘以“项及以上”的学生人数占比可求出所对应的扇形的圆心角度数； （）用乘以家务劳动的项目数量不超过项的学生人数占比即可求解； 【小问1详解】 解：， ∴本次被抽取的学生人数为人， 故答案为：； 【小问2详解】 解：“项”的学生人数为人， ∴补全条形图如下： “项及以上”部分所对应的扇形的圆心角， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 故：该校五月份参与家务劳动的项目数量不超过项的学生约有人． 21. 长沙作为历史文化名城，为了弘扬湖湘文化，推动文旅融合发展，某景区计划采购一批特色文化产品布置主题展馆．景区内的两个展馆采购情况如表： 湘绣（件） 铜官窑瓷器（件） 总费用（元） 展馆 展馆 （1）求湘绣和铜官窑瓷器每件各是多少元； （2）景区准备再采购湘绣和铜官窑瓷器共件，总费用不超过元，且采购铜官窑瓷器的数量不少于湘绣的数量的，景区有几种采购方案？请你设计出来． 【答案】（1）湘绣每件80元，铜官窑瓷器每件300元． （2）共有2种采购方案， 方案一：采购湘绣12件，铜官窑瓷器8件； 方案二：采购湘绣13件，铜官窑瓷器7件． 【解析】 【分析】(1)根据表格中的总费用，设未知数建立二元一次方程组，求解即可得到两种商品的单价； (2)根据总费用限制和数量关系限制，设未知数建立一元一次不等式组，求出整数解，即可得到所有符合条件的采购方案． 【小问1详解】 (1)设湘绣每件元，铜官窑瓷器每件元， 根据题意可得   解得 【小问2详解】 设采购湘绣件，则采购铜官窑瓷器件， 根据题意可得   解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴的取值为12，13， 当时，， 当时，， ∴共有2种采购方案： 方案一：采购湘绣12件，铜官窑瓷器8件； 方案二：采购湘绣13件，铜官窑瓷器7件． 22. 已知：如图，点、、、都在的边上，，且． （1）求证：； （2）若平分，，求和的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据，得出，又，得出，利用同旁内角互补即可推出； （2）根据，得出，又因为平分，得出，再证明，再根据两直线平行的性质即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 23. 定义：若两个不等式（组）存在整数解且完全一致，则称这两个不等式（组）“互为等值整数组”． 例：不等式组的解集为，其整数解为大于等于的整数；不等式的解集为， 其整数解也为大于等于的整数．因此，不等式组与不等式“互为等值整数组”． （1）下列不等式（组）中与“互为等值整数组”的是 （填写正确结论的序号）； ①，②，③． （2）已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，且是整数，请求出的值； （3）已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，请求出的取值范围． 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】（）分别求出几个不等式（组）的整数解，按照定义要求判断即可； （）分别求出两个不等式组的解集，因为两个不等式组有相同的整数解，所以根据第一个不等式组的整数解，得到，解不等式即可； （）分别求出两个不等式组的解集，可分析得两不等式组有相同整数解时，整数解只可能为0，据此求出的范围． 【小问1详解】 解∶解原不等式得； ∴整数解为：； ①解得， ∴整数解为：，与原不等式不同； 解得， 整数解为，与原不等式相同； ③解得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为与原不等式不同； 【小问2详解】 解：解第一个不等式组 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， 整数解为； 解第二个不等式组 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵整数解需为， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴； 【小问3详解】 解：解第一个不等式组， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为； 解第二个不等式组， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为； ∵两不等式组整数解相同且存在整数解， 若整数解为： 则，解得； 若整数解为， 则，解得，此不等式组无解； 同理可得若原题中两个不等式组的相同整数解包括小于的其他整数解时，都没有使之成立； ∴两不等式组相同的整数解只有0，此时． 24. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，，且，满足．点为线段上一点，连接． （1）请求出点，，的坐标； （2）如图，将点向轴的正方向平移个单位长度至点，连接和，三角形的面积等于，求的值； （3）如图，将点向上平移至点处，连接和，三角形的面积为．若不小于，求的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用算术平方根和绝对值的非负性得到，然后求解即可； （2）连接，首先利用求出，得到，然后求出，即，然后利用求解即可； （3）首先得到，然后利用不小于得到，求出，然后利用求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 解得 ∴，，； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵将点向轴的正方向平移个单位长度至点， ∴，即 ∵ ∴ ∴， ∵三角形的面积等于 ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得， ∵将点向上平移至点处 ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵三角形的面积 ∵不小于， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵点为线段上一点 ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $