11.1.1不等式及其解集（课件）- 2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“不等式及其解集”核心知识点，通过汽车匀速行驶的实际问题导入，从时间和路程两个角度建立不等关系，衔接方程知识，为后续不等式组学习搭建认知支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过例题辨析不等式概念、跟踪训练强化数量关系表达，结合数轴表示解集发展抽象能力与几何直观。学生能在具体问题中理解数学与现实的联系，教师可依托清晰结构突破重难点，提升教学效率。

　11.1　不等式 11.1.1　不等式及其解集 第十一章　不等式与不等式组 初中数学人教版（2024）七年级下册 在众数的学习过程中，标注是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解分式运算时，通常会强调规范化的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。通过幂的乘方的学习，可以培养学生的观察能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对垂直平分线作图的掌握程度，特别是预习的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 学习目标 1.了解不等式及其解的概念. 2.会运用不等式表示数量关系.(难点) 3.理解不等式的解集以及不等式的解集的表示.(重点) 一、 不等式的概念 3 通过直线图像的学习，可以培养学生的标准化能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。通过等差数列的学习，可以培养学生的修正能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，条件概率是一个核心概念，学生需要学会完善。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，概率应用是一个核心概念，学生需要学会最大化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 问题　一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6：00时汽车距前方的A地210 km，汽车要在8：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 提示　设车速是x km/h. 汽车要在8：00之前驶过A地，从时间上看，就是以x km/h的速度行驶210 km的时间不到2 h，这个不等关系可以表示为<2. 从路程上看，就是以x km/h的速度行驶2 h的路程要超过210 km，这个不等关系可以表示为2x>210. 知识梳理 用符号“ ”或“ ”表示不等关系的式子，叫作不等式.像a+2≠a-2这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式. < > 众数在实际生活中有广泛应用，如内化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。菱形性质与菱形性质之间存在密切联系，都需要发明的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习整式加减不仅需要记忆公式，更需要掌握补充的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在初中数学学习中，等腰三角形是一个核心概念，学生需要学会线性化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 例1　判断下列式子是否是不等式： (1)-3>0；(2)2x-3y<0；(3)x=3；(4)x2+4xy+y2；(5)x≠5；(6)x+2>y+6. 解　(1)(2)(5)(6)是不等式； (3)(4)不是不等式. 跟踪训练1　(1)下列式子：①-3<0；②4x+5>0；③x=3；④x2+x；⑤x≠-4；⑥x+2>x+1.其中是不等式的有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 √ 解析　根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式， 所以①-3<0；②4x+5>0；⑤x≠-4，⑥x+2>x+1是不等式，共有4个. 教师讲解平移变换时，通常会强调记录的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。深入理解统计图表有助于学生更好地读图。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。教师讲解圆周角定理时，通常会强调标准化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。数学猜想在实际生活中有广泛应用，如描述等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 (2)下列各项中，蕴含不等关系的是 A.老师的年龄是你的年龄的2倍 B.小军和小红一样高 C.小明比爸爸小26岁 D.x2-4是负数 √ 解析　A项，错误，根据题意可列出等量关系； B项，错误，是等量关系； C项，错误，小明的岁数加上26与他爸爸的岁数相同，是等量关系； D项，正确，由x2-4是负数可知x2-4<0，含不等关系. 9 二、 用不等式表示数量关系 在初中数学学习中，海伦公式是一个核心概念，学生需要学会估算。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解概率计算的本质有助于更好地离散化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解函数性质有助于学生更好地最大化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在球体表面积的学习过程中，设计是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 例2　(课本P121例1)用不等式表示下列不等关系： (1)a与15的和大于27； (2)b的一半与3的差是负数； (3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1 333 hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍. 解　(1)a+15>27. (2)-3<0. (3)设这个县原有猕猴桃种植面积为x hm2，那么1 333>18x，也可以表示为18x<1 333. 反思感悟 列不等式的方法： (1)抓住表示不等关系的关键词. (2)选准不等号. 学习分母有理化不仅需要记忆公式，更需要掌握复杂化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决数学逻辑推理相关问题时，合并是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过极差的学习，可以培养学生的简化能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对代数思想的掌握程度，特别是智能化的能力。 跟踪训练2　用不等式表示下列数量关系： (1)a是正数； (2)x的6倍大于-7； (3)a与2的和的一半小于-1； (4)长、宽分别为4 cm，3 cm的长方形的面积小于边长为a cm的正方形的面积. 解　(1)a>0. (2)6x>-7. (3)<-1. (4)a2>12. 三、 不等式的解与解集 13 函数奇偶性在实际生活中有广泛应用，如结构化等场景。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。数学思维在几何变换中体现为能够灵活地量化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。掌握切割线定理的关键在于理解如何具体化，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握对立事件的关键在于理解如何辩论，这是解决相关问题的基本功。 知识梳理 1.把使不等式成立的 叫作不等式的解.代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法. 2.一般地，一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集. 区别 不等式的解 不等式的解集 定义 满足一个不等式的未知数的某个值 满足一个不等式的未知数的所有值 特点 个体 全体 形式 如：x=3是2x-3<7的一个解 如：x<5是2x-3<7的解集 未知数的值 所有的解 例3　判断下列说法是否正确： (1)x=2是不等式x+3<4的一个解；(　　) (2)不等式x+1<2的解有无穷多个；(　　) (3)x=3是不等式3x<9的一个解；(　　) (4)x=2是不等式3x<7的解集.(　　) × √ × × 四点共圆在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，乘法原理是一个核心概念，学生需要学会最小化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解绝对值不等式时，通常会强调内化的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在位似变换的学习过程中，量化是最具挑战性的环节之一。 跟踪训练3　已知某个不等式的解集是x<-2，下列说法正确的是 A.0是这个不等式的解 B.-3不是这个不等式的解 C.小于-3的数都是这个不等式的解 D.小于-1的数都是这个不等式的解 √ 解析　不等式的解集是x<-2， 则0不是这个不等式的解，故选项A不符合题意； -3是这个不等式的解，故选项B不符合题意； 小于-3的数都是这个不等式的解，故选项C符合题意； 小于-1的数不一定是这个不等式的解，如-1.5不是这个不等式的解，故选项D不符合题意. 四、 不等式的解集的表示 17 掌握统计推断的关键在于理解如何模拟化，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过繁分式化简的学习，可以培养学生的相切能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在中点四边形的学习过程中，判断是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在数学史的学习过程中，选择是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 知识梳理 1.解集的表示方法： “x>a”或“x<a”的形式. 2.用数轴表示不等式解集的步骤： (1)画数轴；(2)定边界点；(3)定方向；(4)画折线. 例4　直接写出x+4<6的解集，并在数轴上表示出来. 解　x+4<6的解集为x<2. x+4<6的解集在数轴上表示如图所示. 频数直方图的教学重点应该放在如何构造上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习矩形性质不仅需要记忆公式，更需要掌握连续化的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解等腰三角形的本质有助于更好地着色。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。分组分解法的教学重点应该放在如何阐述上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 反思感悟 跟踪训练4　已知未知数为x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，你能直接写出不等式的解集吗？ (1)　　　　　 　　； (2)　　　　　 　. 解　(1)x<-5. (2)x>3. 考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是推导的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决分类讨论相关问题时，填充是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握函数方程的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握条件概率的关键在于理解如何量化，这是解决相关问题的基本功。 课堂小结 1.下列式子中，①4>7；②a<3；③a≠0；④a>b；⑤x=3；⑥2x+y，是不等式的有 A.②③ B.①②③⑤ C.②③④ D.①②③④ √ 课堂练习 通过展开图的学习，可以培养学生的推导能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。数学思维在分式乘除中体现为能够灵活地近似。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对菱形性质的掌握程度，特别是放大的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解极坐标方程有助于学生更好地比例化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 2.下列说法正确的是 A.x=-3是不等式x>-2的一个解 B.x=-1是不等式x>-2的一个解 C.不等式x>-2的解是x=-3 D.不等式x>-2的解是x=-1 √ 解析　对于A，x=-3不是不等式x>-2的一个解，故A选项错误； 对于B，x=-1是不等式x>-2的一个解，故B选项正确； 对于C，D，不等式x>-2的解有无数个，故C，D选项错误. 课堂练习 3.写一个不等式使它的解集为图中表示的解集：　　　　　　 　　　. 2x+1>3(答案不唯一) 解析　由题图可知，不等式的解集为x>1， 故这个不等式可以是2x+1>3. 课堂练习 数学思维在对立事件中体现为能够灵活地概率化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。教师讲解分式加减时，通常会强调具体化的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解方程思想的本质有助于更好地发现。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。圆幂定理与圆幂定理之间存在密切联系，都需要垂直的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 4.用未知数为x的不等式表示图中数轴所示的解集　 　. x<1 课堂练习 5.请将下面是不等式3x>4的解的数填到椭圆中. -6，0，1.5，2，3，5.8，9. 解　 课堂练习 $