1.1 正数和负数 （第2课时）学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦正数和负数的应用，核心知识点包括用正负数表示相反意义的量、标准+偏差表示法及综合分析实际问题。课堂导入通过电动汽车电池容量、无人机飞行、股票涨跌等生活情境引出问题，衔接正数和负数概念，搭建从概念理解到实际应用的学习支架。 该导学案以生活情境为载体，通过合作探究、典型例题及分层达标检测，培养学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养。错误诊所纠正常见认知误区，数学文化长廊渗透学科历史，助力学生理解正负约定性，提升用数学语言解决实际问题的能力，习题设计兼顾基础巩固与拓展探究，适配不同学习需求。

1.1 正数和负数 （第2课时）导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册 班级：________ 姓名：________ 日期：________ 一、学习目标 【知识技能】 2. 能熟练用正负数表示生活中具有相反意义的量 3. 理解正负表示的人为约定性，会根据题意确定正负 4. 能解读标准量+偏差的表示方法（如(100±2)g） 5. 能用正负数分析简单的实际问题 【核心素养】 2. 数学抽象：从生产包装、运动数据、经济活动等情境中抽象出正负数模型 3. 数学建模：用正负数建立标准+偏差模型解决实际问题 4. 逻辑推理：通过问题链培养分析实际问题的能力 二、学习重难点 重点：用正负数表示相反意义的量，理解标准+偏差的表示方法 难点：实际问题中正负的灵活约定，综合分析问题的能力 三、情境导入 【情境1】电动汽车电池 某电动车电池标注容量(60±2)Ah，你知道这代表什么意思吗？ 【情境2】无人机飞行 无人机起飞后上升50米记作+50米，下降30米记作-30米。正负在这里表示什么？ 【情境3】股票涨跌 某股票当日涨幅+3.2%、跌幅-1.5%、又涨+0.8%，这些数据表示什么意思？ 学法提示：观察生活中正负数的应用，思考正负表示的规律。 思考问题： 1 情境1中，电池容量范围是多少？哪些值是合格的？ ________ 2 情境2中，无人机最后离起飞点多少米？ ________ 3 情境3中，该股票当天总体是涨了还是跌了？涨跌了多少？ ________ 4 正数一定表示多吗？负数一定表示少吗？ ________ 5 情境中的+50和-30，它们的大小关系能直接比较吗？ ________ 6 如果没有正负数，你还能找到更好的方法表示这些量吗？ ________ 四、合作探究 探究点1：用正负数表示相反意义的量 问题1 在生产活动中，如果规定超产为正，那么-5件表示______；如果规定盈利为正，那么-300元表示______。 ________ 问题2 某水库以30m为正常水位，+0.5m表示______，-0.3m表示______。 ________ 问题3 请用正负数表示下面的量（先规定正方向）： （1）如果向东走为正，小明走了-8米，实际向______走了______米。 （2）如果水位上升为正，水位变化-1.5m表示______。 （3）如果收入为正，支出300元应记作______。 要点归纳：用正负数表示相反意义的量时，首先要_____________。 ________ 探究点2：标准+偏差表示法 问题4 某食品包装标注净含量(100±2)g，这表示这袋食品的实际重量范围是______g到______g。 ________ 问题5 某零件标注直径(50±0.05)mm，则： （1）标准值是______mm，允许偏差是______mm。 （2）合格范围是______mm到______mm。 问题6 判断：下列零件是否合格？（标注：直径(50±0.05)mm） （1）50.04mm，______（填合格或不合格） （2）49.96mm，______（填合格或不合格） （3）50.06mm，______（填合格或不合格） 要点归纳：标准+偏差表示法中，±前面的数是_____________，±后面的数是_____________。 ________ 探究点3：正负数的综合应用 问题7 某工厂一周（5天）的产量记录如下（规定超产为正，不足为负）：+5、-2、+3、-1、+4（单位：件）。 （1）这周有______天超产，______天不足。 （2）这周总产量比计划多还是少？多（少）多少件？ ________ 问题8 一艘潜艇在海面下30米处作业（记作-30米），先上浮15米，再下潜8米，最后的位置记作______米。 ________ 要点归纳：用正负数解决实际问题时，关键是要明确_____________和_____________。 ________ 五、典型例题 例1 某零件标注直径(50±0.05)mm，解释这个标注的含义，并判断以下零件是否合格： （1）49.97mm （2）50.03mm （3）50.06mm 思路：标准+偏差表示中，标准值是50mm，偏差范围是±0.05mm，合格范围是49.95~50.05mm。 解： ________ ________ 例2 如果+5表示超产5件，-3表示少产3件，一周的生产记录为：+5、-2、+3、-1、+4、0、-3（单位：件）。求： （1）这周总产量比计划多了还是少了？ （2）这周实际生产了多少件？（计划每天生产100件） 思路：先将所有偏差相加，判断总体情况；再求总产量。 解： ________ ________ 例3 一艘潜艇在海面下30米处，记作-30米。如果上浮15米后，它的位置记作多少米？ 思路：上浮减少，下潜增加。-30 + 15 = -15（米） 解： ________ 【变式训练】 1 某地中午12时气温为+8C，下午6时气温下降了5C，夜里12时气温又下降了7C。则夜里12时的气温是______C。 ________ 六、错误诊所 请判断下列说法的正误，并改正错误说法。 1. 正数一定表示增加，负数一定表示减少 （ ） 错误原因：_____________________________________________ 2. 包装标注(200±5)g，表示每袋都是200g （ ） 错误原因：_____________________________________________ 3. +0就是0，所以+0没有实际意义 （ ） 错误原因：_____________________________________________ 4. 上升记为正，所以+5米一定比-3米高 （ ） 错误原因：_____________________________________________ 七、达标检测 A组 基础巩固 1 如果+20%表示增长20%，那么-5%表示（ ） A. A. 减少5% B. B. 增长5% C. C. 减少-5% D. D. 不增不减 2 某种药品说明书标注(0.5±0.02)g，下列合格的是（ ） A. A. 0.47g B. B. 0.48g C. C. 0.53g D. D. 0.52g 3 下列用正负数表示相反意义的量，正确的是（ ） A. A. 上升+3米和下降-2米 B. B. 收入+500元和支出-200元 C. C. 超产+10件和少产5件 D. D. 盈利+3万和亏损-1万 4 某水库正常水位为30m，+0.5m表示超出0.5m，则-0.3m表示（ ） A. A. 水位在-0.3m处 B. B. 水位低于正常0.3m C. C. 水位为0.3m D. D. 水位为29.7m 5 填空：如果+5表示顺时针转5圈，那么-3表示________。 ________ B组 能力提升 6 某地一天最高温+35C，最低温-2C，该日温差为______C。 ________ 7 一袋面粉标注(25±0.25)kg，则这袋面粉重量范围是______kg到______kg。 ________ 8 某超市以50元/件为标准价，第一周到第四周售价偏差为：+5、-3、+2、-4（单位：元），这四周售价分别为______、______、______、______元。 ________ 9 如果+3表示向右走3格，-2表示向左走2格，一个棋子从0出发，先+3再-2再+4再-5，最后在______位置。 ________ C组 拓展探究 10 某工厂一周生产计划为每天100件，实际生产记录如下（超出为正，不足为负）： +5、-3、+8、-2、0、+10、-4（单位：件） （1）这一周哪天产量最高？哪天最低？ ________ （2）这一周总产量是多少件？ ________ 11 8筐苹果以25kg为标准，超过记正，不足记负，记录如下： +1.5、-3、+2、-0.5、+1、-1.5、-2、-2.5（单位：kg） （1）8筐总计超过还是不足多少千克？ ________ （2）若每千克3.5元，8筐共卖多少元？ ________ 中考链接 1 （2024·中考）如果+3吨表示运入3吨，-2吨表示运出2吨，则(+3)+(-2)+(+5)+(-4)的实际意义是（ ） A. A. 运入2吨 B. B. 运出2吨 C. C. 净运入2吨 D. D. 净运出2吨 2 （2024·中考）某种商品价格变化如下：+5元、-3元、+2元、-1元，最终价格比初始价格（ ） A. A. 高3元 B. B. 低3元 C. C. 高1元 D. D. 低1元 八、数学文化长廊 【负数在商业中的应用】 负数的历史源远流长。早在两千多年前，中国古代商人就开始用入和出来记账——入表示收入，出表示支出，这种思想正是正负数的雏形。 到了宋代，中国数学家正式系统地引入了负数，用算筹表示时，用红色表示正，黑色表示负，这可能是世界上最早的正负分类应用。 现代工业中，负数的应用更加精密。在机械制造中，零件的尺寸需要严格控制，因此发明了公差概念。例如，一个螺栓标注直径(10±0.01)mm，表示直径允许在9.99mm到10.01mm之间波动，这个±0.01mm就是偏差。 这种标准±偏差的表示方法，已经成为现代工业的通用语言，从电子元件到航空航天，都离不开它。 思考问题： 1 如果没有正负数的偏差表示法，工厂如何表达产品合格范围？有什么弊端？ ________ 2 现代生活中还有哪些标准±偏差的例子？试举出3个。 ________ ________ 九、课堂小结 【知识结构图】 维度 内容 关键点 约定 正负的确定 先定正方向，相反为负 表示 标准+偏差 标准值±偏差，允许范围 应用 多步汇总 同号相加，异号相减 【我的收获】 1. 我学会了用正负数表示相反意义的量，例如：________________________________ ________ 2. 我理解了标准±偏差表示法，例如(100±2)g表示：________________________ ________ 3. 我还不太明白的地方是：________________________________________________ ________ 十、课后反思 1. 本节课我学会了________________________________________________________ ________ 2. 我还不明白的地方是____________________________________________________ ________ 3. 我容易出错的地方是____________________________________________________ ________ 4. 生活中还有哪些可以用正负数表示的例子？试着再举出2个。 ________ ________ 参考答案 情境导入答案 1. 电池容量范围是58Ah到62Ah 2. 无人机离起飞点20米（+50-30=20米） 3. 总体涨了3.2%-1.5%+0.8%=+2.5%，涨了2.5% 合作探究答案 问题1. 少产5件；亏损300元 问题2. 超出正常水位0.5m；低于正常水位0.3m 问题3. （1）西，8米；（2）水位下降1.5m；（3）-300元 要点归纳1. 先规定正方向/先确定标准量 问题4. 98g到102g 问题5. （1）标准值50mm，偏差±0.05mm；（2）合格范围49.95mm到50.05mm 问题6. （1）合格；（2）合格；（3）不合格 要点归纳2. 标准值；允许偏差 问题7. （1）3天超产，2天不足；（2）多4件 问题8. -23米（-30+15-8=-23） 要点归纳3. 正方向/标准量；正负的含义 典型例题答案 例1. 含义：标准直径50mm，允许偏差±0.05mm，合格范围49.95~50.05mm。判断：（1）49.97mm合格；（2）50.03mm合格；（3）50.06mm不合格 例2. （1）5+(-2)+3+(-1)+4+0+(-3)=+6，比计划多6件。（2）计划总量500件，实际总量500+6=506件。 例3. -30+15=-15（米），位置记作-15米 变式. +8-5-7=-4C，夜里12时气温是-4C 错误诊所答案 1. 错；正负是人为约定的，可以表示任何相反意义的量，不一定是增减 2. 错；(200±5)g表示允许范围195~205g，不是每袋都是200g 3. 错；+0表示刚好等于标准值，有实际意义（如正好达标） 4. 错；需要具体情境，如+5米可能表示上升，-3米可能表示下降，要看约定的正方向 达标检测答案 A1. A A2. D（0.52g在0.48~0.52范围内） A3. B A4. B A5. 逆时针转3圈 B6. 37C（35-(-2)=37） B7. 24.75kg到25.25kg B8. 55元、47元、52元、46元 B9. 0（+3-2+4-5=0） C10. （1）周六产量最高（+10），周日最低（-4）；（2）偏差和=+5-3+8-2+0+10-4=+14，总产量=700+14=714件 C11. （1）偏差和=1.5-3+2-0.5+1-1.5-2-2.5=-5千克，不足5kg；（2）总重量=8x25-5=195kg，总价=195x3.5=682.5元 中考1. C；净运入(3-2+5-4)=+2吨 中考2. A；净变化5-3+2-1=+3元，高3元 学科网（北京）股份有限公司 $