8.4.2 第1课时 公式法 课件 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦平方差公式和完全平方公式的因式分解，通过情景导入中对因式分解定义、提公因式法及与整式乘法逆运算关系的回顾，搭建新旧知识桥梁，为公式法学习提供支架。 其亮点在于注重概念辨析（如完全平方式三项特征）、分层例题（从基础填空到综合分解）和口诀总结（“一提二套三分四检”），体现推理意识与符号意识。例如例5中多项式分解到底的过程培养推理能力，帮助学生掌握分解方法，教师可借助系统资源提升教学效率。

8.4.2 第1课时 公式法 第8章 整式乘法与因式分解 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1. 探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，体会转化思想；（重点） 2. 能综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因 式分解．（难点） 思考 1.什么叫因式分解？我们已学过什么因式分解的方法？ 2.因式分解与整式乘法有什么关系？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解. 我们学过了提公因式法分解因式. 因式分解和整式乘法互为逆运算. 情景导入 如果把整式乘法中的完全平方公式和平方差公式逆向使用,那么就可以某些多项式分解因式. 概念梳理 运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫作公式法. a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 用完全平方公式分解因式 1 a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方和 是第一项和第三项底数的积的±2 倍 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解. 2 a b + b2 ± = (a ± b)² a2 首2 + 尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 3. a² + 4ab + 4b² = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )². 2. m² - 6m + 9 = ( )² - 2·( )·( ) + ( )² = ( )²； 1. x² + 4x + 4 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )²； x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照 a²±2ab + b² = (a±b)²，填空： m m - 3 3 x 2 m 3 利用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法，叫做公式法. 能用平方差公式分解因式的多项式特点: 多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式． 新知讲解 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 适用于完全平方公式形式的多项式的特点 新知讲解 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25. 是 （2）因为它只有两项. 不是 （3）4b² 与 - 1 的符号不统一. 不是 分析： 不是 是 （4）中间项缺 2 倍. 例1 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( ) A . 36 B. 9 C. - 36 D. - 9 B 解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x = 2x×(-3)，故可知 N = (-3)2 = 9. 变式训练 如果 x2 - mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_____. 解析：16 = (±4)2， - m = 2×(±4)，即 m = ±8. ±8 典例精析 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解. 例2 分解因式： （1）x2 + 14x + 49； （2）9a2 - 30ab + 25b2. 分析：(1)中，x2 = (x)2， 49 = 7²，14x = 2·x·7， 所以 x2 + 14x + 9 是一个完全平方式， 即 16x2 + 24x + 9 = (x)2 + 2×x×7 + 72. 2 a b b2 a2 解： (1) x2 + 14x + 49 = (x + 7)2. = x2 + 2·x·7 + 72 例2 分解因式： （2）9a2 - 30ab + 25b2. 解： (1) 9a2 - 30ab + 25b2 = (3a 5b)2. = (3a)2 - 2×3a×5b +(5b)2 分析:(2) 中，9a2 = (3a)2，25b2 =(5b)²，30ab = 2×3a×5b， 所以 9a2 - 30ab + 25b2 是一个完全平方式， 即 9a2 - 30ab + 25b2 = (3a)2 2×3a×5b + (5b)2. 要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解． 方法总结： 新知讲解 (3) (4)36 (3)原式= =(x+9)(x-9) (4)原式= =(6a+5b)(6a-5b) 例题解析 方法总结 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 新知讲解 1.利用完全平方公式简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算， = 1. = 2500. 练一练 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 用平方差公式进行因式分解 2 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2 - ( )2的形式. （1）x2 + y2 （2）x2 - y2 （3） - x2 - y2 - ( x2 + y2 ) ( y + x )( y - x ) （4） - x2 + y2 （5）x2 - 25y2 ( x + 5y )( x - 5y ) （6）m2 - 1 ( m + 1 )( m - 1 ) ( x + y )( x - y ) 因式分解的方法 1.提取公因式法 2.运用公式法： 两项——平方差 三项——完全平方公式 思考：ma-mb+2a-2b四项又如何分解？ 这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，再提取公因式. 新知讲解 ma-mb+2a-2b=(ma-mb)+(2a-2b) =m(a-b)+2(a-b) =(a-b)(m+2) 思考：还有没有其他方法？ ma-mb+2a-2b=(ma+2a)-(mb+2b) =a(m+2)-b(m+2) =(m+2)(a-b) 新知讲解 x2 - 92 例3 分解因式： a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解：(1)原式= x 9 x x 9 9 (2) 原式 = (6a)2 - (5b)2 (1) x2 - 81； (2) 36a2 - 25b2. = (6a + 5b)(6a - 5b). = (x + 9)(x - 9) 分解因式： (1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. 针对训练 ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n ) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续用提公因式法分解 例4 把下列多项式分解因式： （1）ab2 － ac2 ； （2）3ax2 + 24axy + 48ay2 . 解：(1) ab2 － ac2 = a(b2 － c2) = a(b + c)(b－ c) （提取公因式） （用平方差公式） （2）3ax2 + 24axy + 48ay2 = 3a(x2 + 8xy + 16y2) = 3a(x + 4y)2 （提取公因式） （用完全平方公式） 例5 把下列多项式分解因式： （1）16x4 － 81； （2）x4 － 2x2 + 1 . 解：（1）16x4 － 81 = (4x2 + 9)(4x2 － 9) = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x－3) （用平方差公式） （用平方差公式） （2）x4 － 2x2 + 1 = (x2 － 1)2 （用完全平方公式） = [(x + 1)(x － 1)]2 （用平方差公式） = (x + 1)2(x － 1)2 （1）分组时小组内能提公因式要保证组与组之间还有公因式可以提； （2）分组添括号时要注意符号的变化； （3）要将分解到底，不同分组的结果应该一样的． 注意： 新知讲解 多项式分解因式的一般步骤: 1. 如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; 2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; 3. 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组来分解; 4. 分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 口诀：一提 二套 三分 四检 新知讲解 方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式进行因式分解. 2. 已知 x2 - y2 ＝ －2，x＋y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值. 所以 x - y ＝ -2②. 解：因为 x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y) ＝ -2， x＋y ＝ 1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 练一练 方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值. 公式法分解因式 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式 如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式． a2±2ab+b2=(a±b)2 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 课堂总结 $