精品解析：河南洛阳市河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 启用时间：2026.6.2 7：50~9：50 考察范围：人教A版 选择性必修一、选择性必修二、选择性必修三 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列满足，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 4. 已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 66 B. 72 C. 132 D. 198 5. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 6. 已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 8. 设，，2是与的等比中项，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量X 服从二项分布，Y = 2X +1 ，则D(Y) = 3 B. 相关系数 r 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C. 在线性回归分析中，若 值越小则模型的拟合效果越好 D. 随机变量X 服从正态分布 ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 11. 已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 13. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为______. 14. 已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知，是双曲线：上的两点，点是线段的中点. （1）求直线的方程； （2）若线段的垂直平分线与相交于，两点，证明：，，，四点共圆. 18. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调增区间； （3）若存在极大值点，求证：． 19. 开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达年，是当时世界上最大的都市，《清明上河图》描绘的正是当年汴河两岸的繁华盛景.如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河园、开封府、大相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独特魅力.为深化游客对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目.某旅行社组织了一个人的“宋文化研学团”，其中人购买了景点联票（深度体验游客），人只购买了部分景点门票（精选游览游客）.为增强文化体验，旅行社准备从人中随机抽取人，赠送珍贵的《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿参与北宋蹴鞠体验活动. （1）求抽到的人中恰有人为“深度体验游客”的概率； （2）如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为，且是否参与相互独立.设“抽到的人中实际参加蹴鞠体验的游客人数”，求的分布列及数学期望. （3）该旅行社对某天位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据： 景点编号 一 二 三 四 景点名称 清明上河园 开封府 大相国寺 龙亭公园 游览人数（人） 假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用表示第个景点得到游客喜欢，用表示第个景点没有得到游客喜欢.结合上表数据，写出方差、、、的大小关系.（结论不要求证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 启用时间：2026.6.2 7：50~9：50 考察范围：人教A版 选择性必修一、选择性必修二、选择性必修三 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式逐项计算得到数列是周期为3的数列，即可求解. 【详解】因为 ，所以, ，，，， 所以数列是周期数列，周期为 ，故． 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据导函数为正得出函数增区间. 【详解】因为，令，得，所以的单调递增区间是． 故选：C． 3. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 4. 已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 66 B. 72 C. 132 D. 198 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的公差，求得其通项公式求解. 【详解】因为等差数列的公差, 所以，则 ， 所以 ， 由 ，得 ， 所以 或12时，该数列的前项和取得最大值， 最大值为， 故选：A 5. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 【答案】C 【解析】 【详解】设事件“抽到的学生喜欢文学阅读”，事件“抽到的学生喜欢科普阅读”， 由题意，， . 6. 已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出圆关于轴的对称圆，结合图形分析即可得. 【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为. 故选：B 7. 已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】设点在双曲线右支上，延长交的延长线于点，由 及得到平分且，从而，进而根据双曲线的定义结合中位线可求. 【详解】不妨设点在双曲线右支上， ，分别表示与同方向的 单位向量， 由 可知点在的平分线上， 又由，可知， 延长交的延长线于点，则， 根据双曲线的定义，得， 易得点O，M分别为，的中点， . 8. 设，，2是与的等比中项，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，然后，然后利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】∵2是与的等比中项，∴，∴． ∵，，当且仅当，时取等号， ∴． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量X 服从二项分布，Y = 2X +1 ，则D(Y) = 3 B. 相关系数 r 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C. 在线性回归分析中，若 值越小则模型的拟合效果越好 D. 随机变量X 服从正态分布 ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，，A正确； 对于B，相关系数 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，B错误； 对于C，在线性回归分析中，若 值越大则模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，正态曲线关于直线对称，所以， 又，所以，D正确. 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意求出，再化简求出，利用裂项相消即可求出，即可求出满足题意的. 【详解】① ② ②①得， ，当时，，当时，，满足上式， 故， ， 故， ， 故. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算. 【详解】乘火车、飞机的事件分别为，这人迟到的事件为， 则，， 因此， 所以这个人迟到的概率为0.38. 13. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，， 即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故答案为：. 14. 已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得有两个不等实根，时，令，利用导数求得的单调性和极值；当，令，利用导数求得的单调性和极值，作出、与图象，则与和图象一共有两个交点，结合m的范围，分析即可得答案. 【详解】令函数，可得有两个不等实根， 当时，，整理得， 令，则， 令，解得或0（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，； 当时，，整理得， 令，则， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，， 作出、与图象，如下图所示： 因为函数有两个零点，且， 所以与和图象一共有两个交点， 由图象得，则正数m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式． （2）结合题意利用分组求和法与错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为， 等比数列的公比为，，则 解得， 所以数列的通项公式，的通项公式为. 【小问2详解】 由题意得， 则数列的前项和 ， 设， 则， 则 ， 所以，所以. 16. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行判定定理和面面平行的判定定理、面面平行的性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面． 【小问2详解】 因为平面，底面为正方形， 所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为，由所以 令，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知，是双曲线：上的两点，点是线段的中点. （1）求直线的方程； （2）若线段的垂直平分线与相交于，两点，证明：，，，四点共圆. 【答案】（1） （2） 证明：由得， 解得或，所以，. 线段中垂线的方程为：， 设， 由得， 所以， 故的中点，所以， ， 所以，，，在以为圆心，为半径的圆上， 所以，，，四点共圆. 【解析】 【分析】（1）通过作差法求解直线的斜率，然后求解直线方程； （2）首先求解出线段中垂线的方程为：，然后求解中点，最后证明验证即可证明； 【小问1详解】 依题意，直线的斜率必定存在，设其斜率为，，， 所以，，所以， 又，，所以， 故直线的方程为，即，经检验，符合题意， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 略 18. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调增区间； （3）若存在极大值点，求证：． 【答案】（1） （2） 当时，函数的单调增区间为和； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和 （3） 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为， ，，，； 当时，在单调递增，此时无极值，不合题意； 综上，若存在极大值点，则． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出切线的方程； （2）求导，分情况讨论函数的单调递增区间； （3）利用函数的单调性求出函数的极大值，根据的取值范围进而可证明. 【小问1详解】 若，则，，， 曲线在处切线的斜率， 曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ，定义域为， ， 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和； 当时，，函数的单调增区间为； 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和． 综上，当时，函数的单调增区间为和； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和； 【小问3详解】 略 19. 开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达年，是当时世界上最大的都市，《清明上河图》描绘的正是当年汴河两岸的繁华盛景.如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河园、开封府、大相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独特魅力.为深化游客对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目.某旅行社组织了一个人的“宋文化研学团”，其中人购买了景点联票（深度体验游客），人只购买了部分景点门票（精选游览游客）.为增强文化体验，旅行社准备从人中随机抽取人，赠送珍贵的《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿参与北宋蹴鞠体验活动. （1）求抽到的人中恰有人为“深度体验游客”的概率； （2）如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为，且是否参与相互独立.设“抽到的人中实际参加蹴鞠体验的游客人数”，求的分布列及数学期望. （3）该旅行社对某天位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据： 景点编号 一 二 三 四 景点名称 清明上河园 开封府 大相国寺 龙亭公园 游览人数（人） 假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用表示第个景点得到游客喜欢，用表示第个景点没有得到游客喜欢.结合上表数据，写出方差、、、的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列答案见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，结合二项分布的期望公式可得出的值； （3）设表示第个景点得到游客喜欢的概率，则服从两点分布，计算得出，求出，结合二次函数的单调性可得出、、、的大小关系. 【小问1详解】 记事件“抽到的人中恰有人为“深度体验游客””， 由古典概型的概率公式可得. 【小问2详解】 由题意可知，，，， ，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. 【小问3详解】 设表示第个景点得到游客喜欢的概率，则服从两点分布， 则，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 由表格中的数据可知，，，， 因为， 即，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $