22.2函数的表示课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦函数的三种表示方法，通过复习函数定义及描点法画图象导入，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探究列表法、图象法及表达式法的特点与应用。 其亮点在于结合气温变化、水库水位等实际问题，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力与几何直观，通过表格数据分析、图象规律推理发展数学思维中的推理意识，以函数表达式、表格、图象等数学语言表达变量关系体现模型意识。实例丰富如气温图象分析、弹簧长度与质量关系探究，助力学生理解知识，教师使用可高效落实教学目标。

复习回顾 1、什么是函数？ 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。 2、描点法画函数图象一般有哪几步？ （1）、列表 （2）、描点 （3）、连线 22.2函数的表示 1．了解函数的三种表示方法及其优点，体会数形结合思想。 2．能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系. 3．能对函数关系进行分析,对变量的变化情况进行初步讨论. 学 习 目 标 问题1 下图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线,气温T是不是时间t的函数? 这里是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的？ 用平面直角坐标系中的一个图象来表示的． 探究新知 气温T是时间t的函数 ——图象法 追问3：怎样确定满足函数关系的点的坐标? 取一些自变量的值，计算出相应的函数值. 追问4：自变量 x 的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值 S，是否确定了一个点 ( x，S ) 呢? 确定. 因为每个点都代表 x 的值与 S 的值的一种对应. 例如：点 (2，4) 表示当 x = 2 时，S = 4. 计算并填写下表： x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 S 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 填表 描点 画出上面表格中各对数值所对应的点. 连线 连接这些点 点有无数个，取有限点做代表，再用光滑的曲线连接. S = x2 用空心圈表示不在曲线的点 用光滑曲线去连接画出的点 　一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．如右图中的曲线即函数 S = x2（x＞0）． 函数 S = x2 (x＞0)的图象 探究新知 列表法有什么优缺点呢？ 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接找到与它对应的函数值. 优点 缺点 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律. 探究新知 图象法：用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法. x/m 1 2 3 4 5 y/m 26 16 14 14 14.8 （3）能画出函数的图象吗？ 40 35 30 25 20 15 10 5 O 5 10 y = 2 ( x + ) ( x  0 ) 列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. 例2 以下式子，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一的对应值，即 y 是 x 的函数.从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表. y=2x+3 知识点2：列表法 新知探究 x …… -2 -1 0 1 2 …… y …… -1 1 3 5 7 …… 从式子 y=2x+3 可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围是全体实数. 从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表： O -3 4 14 24 t/时 例1 下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天 气温 y 如何随时间 t 的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？ y/℃ 8 O -3 4 14 24 y/℃ 8 t/时 可以认为，气温y是时间t的函数，上图是这个函数的图象.由图象可知： 这一天中凌晨4时气温最低（-3 ℃），14时气温最高（8 ℃ ）. 从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到 14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态. 我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少. 例2　(课本P106例3)一个水库的水位在最近5 h内持续上涨.表中记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度. (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？ t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 解　如图1，描出表中数据对应的点.可以看出，这6个点在一条直线上.再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3 m.由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻(如t=2.5 h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的. 例2　(课本P106例3)一个水库的水位在最近5 h内持续上涨.表中记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度. (2)水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位的变化规律吗？ t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 解　由于水位在最近5 h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数.开始时水位高度为3 m，以后每小时水位上升0.3 m.函数y=0.3t+3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过t h水位高度y为(0.3t+3)m.其图象是图2中点A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段AB. 初中数学 给出下列说法： ②甲组在途中停留了5 min； 由横坐标看出，35-30=5，甲组在途中停留了 5 min， ②正确. 55 练习 八年级（2）班从学校出发去某景点旅游，全班分成甲、乙两组．甲组乘 坐大客车，乙组乘坐小轿车．已知甲组比乙组先出发，汽车行驶的路程 s（单 位：km）和行驶时间 t（单位：min）之间的函数关系如图所示： s/km t/min O 10 20 303540 50 60 70 乙 甲 初中数学 给出下列说法： ③甲、乙两组同时到达景点； 由横坐标看出，甲组在t=70时到达， 乙组在t=60时到达，不同时， ③错误. 55 练习 八年级（2）班从学校出发去某景点旅游，全班分成甲、乙两组．甲组乘 坐大客车，乙组乘坐小轿车．已知甲组比乙组先出发，汽车行驶的路程 s（单 位：km）和行驶时间 t（单位：min）之间的函数关系如图所示： s/km t/min O 10 20 303540 50 60 70 乙 甲 4.如图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.（1）这一天内，上海与北京何时气温相同？ （2）这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间比北京气温低？ （1）7时和12时 （2）0~7时，12~24时上海气温高，7~12时，上海气温低. 5.如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中(不计空气阻力)，弹簧秤的读数F(kg)与时间t(s)的函数图象大致是（ ） A B C D A 开始一段的弹簧秤的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧秤的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变. 根据铁块的移动过程可知，弹簧秤的读数由保持不变—逐渐增大—保持不变. 综合应用 弹簧秤的度数 = 重力 － 铁块受到的浮力 练习1 在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体他测得弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系如下： 所挂物体的质量x/kg 1 2 3 4 5 … 弹簧的长度y/cm 20 22 24 26 28 … (1)表格反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)不挂重物时，弹簧长是多少？ (3)请写出y与x之间的关系式，并求当弹簧长为35cm时，所挂物体质量是多少？ 解：(1)在两个有依赖关系的变量中，主动变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量是因变量.表格中，弹簧长度随所挂物体质量的变化而变化，因此所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量. (3)由(2)可知，不挂重物时弹簧长18cm，且所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度增加2cm，因此关系式为 . 当 时，代入关系式可得 ，解得 ，即 . 当弹簧长为35cm时，所挂物体质量是8.5kg. (2)观察表格数据，所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度增加2cm（如从1kg到2kg，长度从20cm到22cm，增加了2cm）.当所挂物体质量为1kg时，弹簧长度为20cm，那么不挂重物（ ）时，弹簧长度为 练习2 某品牌储水机的容量是200升,当加水加满时,储水机会自动停止加水,已知加冷水量y(升)和时间x(分钟)的图象如图所示,加水过程中,水的温度t(摄氏度)和x(分钟)的关系： . (1)写出y与x的函数关系式； (2)求储水机中的水加满时,储水机内水的温度. 解：(1)每分钟加水量为 (升),则 , y与x的函数关系式为 . (2)当 时,解得 , 当 时, , 储水机中的水加满时,储水机内水的温度为32摄氏度. $