精品解析：山东枣庄市滕州市北辛中学2025-2026学年七年级下学期竞学竞练数学学科试题

七年级竞学竞练数学学科试题 一、选择题：每题3分，共30分． 1. 下列节水、节能、回收、食品四个标志图形是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解： A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，它将氧气从肺送到身体各个组织，它的直径约为，将用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比． 先求得光伏吸收区的面积，再求得总面积，然后利用几何概率的求解方法求解即可． 【详解】解：由图可知，总面积为， 其中光伏吸收区的面积为， 小球最终停留在光伏吸收区的概率是， 故选：C． 4. 如图，数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. 边角边 B. 三角形的稳定性 C. 边边边 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的应用，根据O是与的中点，得到，，根据，推出，是． 【详解】解：∵O是与的中点， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 5. 一个不等边三角形的两边长分别为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边的关系．设第三边长为，根据三角形三边的关系得，据此求解即可． 【详解】解：设第三边长为， 根据题意得，即， 又三角形为不等边三角形，且第三边长为偶数， 为8、12、14，符合条件的三角形有3个， 故选：B． 6. 在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的形状判定，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①因为，又，所以，解得，能确定是直角三角形； ②设，因为，所以，即，解得，则，能确定是直角三角形； ③由，可得，那么，能确定是直角三角形； ④因为，所以，则，所以是直角三角形； ⑤设，因为，所以， 由，可得，即，解得，则，不能确定是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件有①②③④，共4个， 故选：C． 7. 如图，把长方形沿对折，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用折叠的性质求出，再根据平行线的性质求出结果． 【详解】解：由折叠可得：， ∵长方形中，， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 8. 如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB＝7，DE＝4，则S△ABD＝（　　） A. 28 B. 21 C. 14 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】作DH⊥BA于H，根据角平分线的性质，得出DH＝DE＝4，从而可以计算S△ABD． 【详解】解：作DH⊥BA于H． ∵BD平分∠ABC，BC⊥DE，DH⊥AB， ∴DH＝DE＝4， ∴S△ABD＝×7×4＝14， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9. 如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点O，连接，若的周长比的周长大则的长为（    ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的作法．利用基本作图得到垂直平分，则，，利用等量代换得到的周长，再利用的周长比的周长大14得到，从而得到的长． 【详解】解：由作图得垂直平分， ，， 的周长， 的周长，的周长比的周长大14， ， ， 故选：C． 10. 如图，已知在中，，，点为的中点．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为（ ） A. 3 B. 3或5 C. 3或 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 用的长度减去的长度，根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴； 当时 ∵，是的中点， ∴，解得， ∵， ∴，即，解得； 当时 ，解得， ∵， ∴，即，解得， 故选：． 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题卡的相应位置上． 11. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_______． 【答案】63°或27° 【解析】 【分析】等腰三角形分锐角和钝角两种情况，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数： 【详解】有两种情况： （1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°， ∵∠ABD=36°， ∴∠A=90°-36°=54°. ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=×（180°-54°）=63°. （2）如图 当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°， ∵∠HFE=36°， ∴∠HEF=90°-36°=54°， ∴∠FEG=180°-54°=126°. ∵EF=EG， ∴∠EFG=∠G=×（180°-126°）=27°． 【点睛】考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理；分类思想的应用． 12. 现在规定两种新的运算“*”和“▲”：，．如，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意按照规定的运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，明白新的运算相对于我们平时所见的运算之间的联系是解题的关键． 13. 如图，是的中线，是的中线，于点F．若，则长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】由，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 14. 如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过证明，得出，，最后根据即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点D、E，垂足为F、G，若，则_______度． 【答案】40 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 【详解】解：∵垂直平分、垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点C，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：11． 三、解答题：共8小题，满分72分，解答应写出文字说明过程或演算步骤． 17. 计算与化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 当，时，原式． 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）在直线l上找一点P，使得的周长最小； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据成轴对称的性质，画图即可； （2）根据的周长等于，得到当的值最小时，三角形的周长最小，根据、关于直线l对称，进而得到，得到当，，三点共线时，的值最小，画图即可； （3）长方形的面积减去三个直角三角形的面积进行求解即可． 【小问1详解】 解： 如图， '即为所求； 【小问2详解】 解：的周长等于， 当的值最小时，三角形的周长最小， 、关于直线l对称， ， 当，，三点共线时，的值最小， 如图，点P即为所求； 【小问3详解】 解：的面积． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，割补法求图形面积，两点间线段最短等知识，熟悉这些知识是解答本题的关键． 19. 在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】因为P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，所以P应是∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点． 【详解】解：∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点P即为所求，如图， 【点睛】此题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，需仔细分析题意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质是解答此题的关键． 20. 如图，点E在外部，点D在边上，若，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，根据证明，得出结论即可． 【详解】证明：， ， ， ∵和中， ， ． ． 21. 如图，中，平分，过点A作于E，交于点．求的度数为多少． 【答案】36度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出． 由直角三角形的性质求出，由角平分线定义得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，即可得到． 【详解】解：∵于， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 22. 如图，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为． （1）如果，，试求的周长； （2）如果，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． （1）折叠时，对称轴为折痕，垂直平分线段，由垂直平分线的性质得，再把的周长进行线段的转化即可； （2）设，则，根据，可得，在中，利用互余关系求，再求． 【小问1详解】 由折叠的性质可知，垂直平分线段， 根据垂直平分线的性质可得，， ， 故的周长为； 【小问2详解】 设，则， ， ， 在中，， 即， 解得， ． 23. 【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 （1）如图①，的理由是______； A. B. C. D. （2）请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为______（写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． （3）如图②，是的中线，交于G，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【答案】（1）B （2）1（或3，5，7，9，11） （3）解：， 理由：如图，延长至点E，使，连接， 同（1），可证， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长至E，连 ，同（1），可证， 推出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得． 【小问1详解】 解：在和中，， ， ∴的理由是； 【小问2详解】 解：， ， 在中，，，， ∴， 即， ∵为奇数，， ∴的长可以为1，3，5，7，9，11 中之一； 【小问3详解】 略 24. 《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 （1）如图1，为等边三角形，点在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点．则 ，判定依据为 ， ，并直接写出的度数 ． 【应用模型】 （2）如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； （3）如图3，在Rt中，，，点是外一点，连接，，．当5，时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1），SAS，AD， （2）见解析 （3）12.5 【解析】 【分析】(1) 观察图形可知，结合已知条件可以确定全等的判定方法，然后利用全等三角形的对应角相等，再通过进一步推导可以求出； (2) 首先结合第 (1) 问的图形结构证明 ，然后利用全等的性质和已知条件确定 的度数，进而证明即可； (3) 依据前 2 问的解题经验，构造类似的图形结构，通过作辅助线把四边形的面积进行转化而求解． 【小问1详解】 解：如图1，设，交于点． ， 为等边三角形， ，，， ，即 ， ， ，， 又， ； 【小问2详解】 证明： 线段绕点 逆时针旋转 得到， ，， ． 为等边三角形， ，， ，即 ． 在 和 中， ， ． 三点共线，， ， ， ， ，即平分； 【小问3详解】 解：答案12.5．理由： 如图 2，延长到，使 ． ，， 在四边形中， ． ， ． 在 和 中， ． ，， ， ． ，， ． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形（等边三角形）的性质．能够在探究的过程中掌握基本图形的结构并加以应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级竞学竞练数学学科试题 一、选择题：每题3分，共30分． 1. 下列节水、节能、回收、食品四个标志图形是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，它将氧气从肺送到身体各个组织，它的直径约为，将用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. 边角边 B. 三角形的稳定性 C. 边边边 D. 全等三角形的对应角相等 5. 一个不等边三角形的两边长分别为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 如图，把长方形沿对折，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB＝7，DE＝4，则S△ABD＝（　　） A. 28 B. 21 C. 14 D. 7 9. 如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点O，连接，若的周长比的周长大则的长为（    ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，已知在中，，，点为的中点．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为（ ） A. 3 B. 3或5 C. 3或 D. 5 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题卡的相应位置上． 11. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_______． 12. 现在规定两种新的运算“*”和“▲”：，．如，，则_____． 13. 如图，是的中线，是的中线，于点F．若，则长为________． 14. 如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是__________． 15. 如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点D、E，垂足为F、G，若，则_______度． 16. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 三、解答题：共8小题，满分72分，解答应写出文字说明过程或演算步骤． 17. 计算与化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）在直线l上找一点P，使得的周长最小； （3）求的面积． 19. 在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明． 20. 如图，点E在外部，点D在边上，若，，，求证：． 21. 如图，中，平分，过点A作于E，交于点．求的度数为多少． 22. 如图，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为． （1）如果，，试求的周长； （2）如果，求的度数． 23. 【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 （1）如图①，的理由是______； A. B. C. D. （2）请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为______（写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． （3）如图②，是的中线，交于G，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 24. 《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 （1）如图1，为等边三角形，点在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点．则 ，判定依据为 ， ，并直接写出的度数 ． 【应用模型】 （2）如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； （3）如图3，在Rt中，，，点是外一点，连接，，．当5，时，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $