专题02二元一次方程组期末复习讲义 (26大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题02二元一次方程组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，能准确判断方程（组）是否为二元一次方程（组）。 2.掌握二元一次方程的解、方程组的解的概念，能检验一组数值是否为方程（组）的解。 3.熟练掌握代入消元法、加减消元法两种核心解法，理解消元思想的本质。 4.掌握二元一次方程组的简单应用，能识别题目中的等量关系，会列方程组解决实际问题。 1.具备辨别、判断二元一次方程（组）的能力，能根据定义解决含参数基础题型。 2.能根据题目特点灵活选择代入法或加减法，熟练、准确地解方程组，提升运算能力。 3.学会从实际问题中提取条件、找出两组等量关系，具备列方程组解题的建模能力。 4.能规范书写解题步骤，提高方程类题型的逻辑思维与综合解题能力。 1.夯实基础概念，避免概念混淆、解方程组计算失误等常见扣分问题。 2.熟练掌握基础计算题、含参数题型、实际应用题，做到题型全覆盖。 3,规范解题格式，步骤完整、过程严谨，保证基础题不丢分、应用题稳得分。 题型01二元一次方程的定义及解 题型02.二元一次方程组的判定 题型03.二元一次方程组解的判定 题型04.由二元一次方程组的解求参数 题型05.代入消元法和加减消元法 题型06.方程组的特殊解法 题型07.错解复原问题 题型08.构造方程组求解 题型09.由方程组解的情况求参数 题型10.方程组相同解问题 题型11.三元一次方程组的定义及解 题型12.三元一次方程组的应用 题型13.由实际问题列方程组 题型14.由几何图形列方程组 题型15.方案问题 题型16.行程问题 .题型17.工程问题 题型18.数字问题 题型19.年龄问题 题型20.分配问题 题型21.销售利润问题 题型22.和差倍分问题 题型23.几何问题 题型24.图表信息问题 题型25.古代问题 题型26.其他实际问题 知识点01:二元一次方程基础概念 1. 二元一次方程定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，且等式两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 2. 三大判断条件（缺一不可） (1)含有且只有两个未知数 (2)未知数最高次数为1 (3)是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数） 3. 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 特点：一个二元一次方程有无数组解。 知识点02:二元一次方程组及解 1. 二元一次方程组定义 由两个二元一次方程组成，并且一共含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 2. 方程组的解 同时满足方程组中两个方程的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 特点：一般只有唯一一组解（特殊有无解、无数解）。 3.方程组解的三种情况 对于方程组 ： ①若 ，则有唯一解； ②若 ，则无解 ③若 ，则有无数组解。 (4).易错考点：已知解反向求参数、根据定义求字母取值（期末高频小题） 知识点03:两种解法详细步骤（考试必考） (1)代入消元法 （2）加减消元法（考试主流解法） (3)两种解法对比表（老师加分亮点） 解法 适用题型 优点 易错点 代入消元法 系数为 ±1，常数项简单 计算简单、不易错系数 代回原方程时代错式子、符号出错 加减消元法 系数大、无 ±1 系数 解题速度快、适合标准大题 漏乘常数项、符号加减混乱 知识点04:三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（a、b、c、d为常数，a0，b0，c0）。 2. 三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解法（核心：消元→二元→一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤： 1 消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ② 解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值；④ 写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 知识点05:标准解题六大步骤 步骤 核心要求 注意事项 1.设 设两个未知数（直接 / 间接设元） 规范表述，如 “设单价为 x 元，数量为 y 个”，避免模糊 2.找 提取两组独立等量关系 关键词：一共、比… 多 / 少、倍、配套、相遇等 3.列 依据等量关系列二元一次方程组 两个方程必须独立，不能重复 4.解 选用代入 / 加减消元法求解 计算仔细，避免符号、漏乘错误 5.验 ① 检验是否满足方程组② 检验是否符合实际意义 人数、物品数量必须为正整数，价格不能为负 6.答 完整写出答句，对应设元 不漏写单位，语句通顺 知识点06:等量关系 “寻宝指南”（应用题的核心密码） 所有题型的本质都是找等量关系，这些 “高频线索” 直接圈，一找一个准！ ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 几何图形问题:根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 ● 方案问题:根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 数字问题:两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 ● 年龄问题:年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 ● 图表信息题:从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 知识点07:应用题型方法速查表 题型01二元一次方程的定义及解 1．下列各式，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有未知数项的次数均为1，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．，项的次数为2，不是二元一次方程； B．，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为1，是二元一次方程； C．，不是整式，该方程不是整式方程，不是二元一次方程； D．，未知数项的次数为2，不是二元一次方程． 2．已知是方程的解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的，的值代入原方程，解关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 3．若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值是_____________． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是根据二元一次方程的未知数次数为1，列出关于、的方程求解． 根据二元一次方程的定义，未知数、的次数都为1，因此分别列出方程求解、的值，再代入计算． 【详解】解：根据二元一次方程的定义，未知数的次数均为， 可得， 解得． 则． 4．已知是二元一次方程的解，则的值为___________ 【答案】7 【分析】把代入二元一次方程可求出的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， 解得：． 题型02.二元一次方程组的判定 5．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A中的次数为2，不符合定义，A错误； B中的最高次数为2，不符合定义，B错误； C中方程组共含有，两个未知数，所有未知数次数都是1，均为整式方程，符合定义，C正确； D中方程组共含有，，三个未知数，不符合定义，D错误． 6．下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足三个条件：一共含两个未知数，二所有方程都是整式方程，三未知数的最高次数为1，逐一判断选项即可． 【详解】解： A 该方程组共含有，两个未知数，两个方程都是整式方程，未知数最高次数为1，符合二元一次方程组的定义，故A正确． B 该方程组含有，，三个未知数，属于三元一次方程组，不符合定义，故B错误． C 第二个方程不是整式方程，不符合定义，故C错误． D 方程中未知数的次数为2，不符合一次的要求，故D错误． 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 【详解】解：A选项不是二元一次方程组，因为含有三个未知数； C选项中的次数是2，所以不是二元一次方程组； D选项中不是二元一次方程，因为分母中含有未知数； 只有B选项符合二元一次方程组的条件． 故选：B． 题型03.二元一次方程组解的判定 8．下列以为解的二元一次方程组是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将解代入方程组的方程，判断是否使方程成立即可． 【详解】解：将代入得6-1=5，方程左右两边相等， 将代入得2×2-3×(-1)=4+3=7，方程左右两边相等， ∴是的解． 故选：A． 【点睛】本题考查了方程组的解，解题的关键是知道二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 9．二元一次方程有无数个解，下列各组数值中，不是该方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将选项中的解代入方程中即可判断是否为正确的解． 【详解】解：A．，此选项不符合题意； B．，此选项符合题意； C．，此选项不符合题意； D．，此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组解的问题，解题的关键是进行正确的计算． 10．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键． 题型04.由二元一次方程组的解求参数 11．已知是方程的一个解，那么m的值是________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将已知的的值代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，即可求解． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得． 12．已知关于，的方程组的解是，则的值为________． 【答案】 【分析】由题意得，解得，代入求解即可． 【详解】解：∵关于的方程组的解是， ∴， 解得：， ∴． 13．已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将与看作整体，对应已知方程组中的a与b，得到关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】解：对比两个方程组的结构可得， 由，得， 由，得， 因此方程组的解为． 14．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是根据题意，得到二元一次方程组． 根据题意可得，，即，代入二元一次方程可得，化简可得，根据题意可得，求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，即， 将代入二元一次方程可得， 化简可得， 由题意可得，，解得，B选项符合题意． 题型05.代入消元法和加减消元法 15．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将①代入②，得， ， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将，得， , 将，得， ， 解得， 将代入②，得， ， 解得， ∴方程组的解为． 16．解二元一次方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将代入， ， ， ， 将代入， 解得， ∴是方程组的解． （2）解：， 将①式去分母化简得：， 将②式去括号化简得：， ：， 解得：， 将代入④式，解得． ∴是方程组的解． 17．解下列方程组： (1) ， (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）把原方程组转化为，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把②代入①得，， 解得：， 把代入②得，， ∴方程组的解为． （2）解： 方程组可转化为， ①+②得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为． 题型06.方程组的特殊解法 18．已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将与看作整体，对应已知方程组中的a与b，得到关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】解：对比两个方程组的结构可得， 由，得， 由，得， 因此方程组的解为． 19．已知关于的二元一次方程的解如表所示： ．．． ．．． ．．． ．．． 关于的二元一次方程的解如表所示： ．．． ．．． ．．． ．．． 则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用二元一次方程解的定义和换元思想求解，先找到两个原方程的公共解，再建立新的二元一次方程组求解即可. 【详解】解：∵观察两个表格可知，是和的公共解， ∴对于方程组， 可得， 将两个方程相加得 ， 解得， 把代入，得， ∴方程组的解为． 20．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)关于，的方程组的解_____； (2)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； (3)已知关于，的方程组，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题三个小题均使用换元法将原复杂方程组转化为简单的二元一次方程组求解，解出换元后的未知数后，再还原得到原问题的结果． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （2）设，， 则方程组可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 解得； （3）设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握整体代换、构造新元简化方程组是解题的关键． 题型07.错解复原问题 21．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，解得，乙看错了方程组中的，解得，求出原方程组的正确解____． 【答案】 【分析】把代入②，代入①得到关于a，b的方程组，求出a，b，代入原方程即可求解． 【详解】解：解方程组 把代入②，代入①得　　   解得 原方程组为 解得 原方程组的正确解是：． 【点睛】此题主要考查加减消元法的应用，解题的关键是把方程的解代入原方程． 22．数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】先根据去分母时，两边都要乘以2判断，再根据代入法求出方程组的解． 【详解】解：丙同学出现错误，去分母时，18应该乘以2，正确的过程如下： ， 解：由①，得， 将③代入②，得， 去分母，得，即， 解得， 将代入③，得． 23．下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：， 解得． 把代入③，得． 方程组的解为 美美的做法： 由①，得③． 由②+③，得， 解得． 把代入①，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是________；美美的消元方法是________． (2)判断________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法，加减消元法 (2)美美，正确解答如下： ， 由①，得③， 由②+③，得，解得， 把代入①，得， 原方程组的解为． 【分析】（1）善善是利用代入进行的消元，美美是将②+③进行的消元． （2）根据美美在解答的过程中未在等式两边同时乘，导致计算错误，得到美美的解答过程有误，并根据加减消元法修改解题过程即可． 【详解】（1）解：∵善善的做法由方程①转化为③，将方程③代入方程②消去，得，体现了代入消元的思想， ∴善善的做法是代入消元法， ∵美美的做法由①得到③，由②+③两式相加消去，体现了加减消元的思想， ∴美美的做法是加减消元法． （2）略 题型08.构造方程组求解 24．已知关于x，y的方程，不论m是怎样的常数，总有一组解为（其中a，b是常数），则a的值为______． 【答案】5 【分析】根据题意可以得到当时有，当时有，由此求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程，不论m是怎样的常数，总有一组解为， ∴当时，，即， 当时，，即， 用①×2-②得：， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得到关于a、b的二元一次方程组是解题的关键． 25．当时，多项式的值是32，且当该多项式值为0，则的值是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无法确定 【答案】B 【分析】根题意分别把x=1、代入得出方程组，①+②即可求出2a+2c+2e的值，两边都除以2即可求出答案． 【详解】解析：∵当时，多项式的值是32，且当该多项式值为0， ∴代入得：， ①＋②得：，两边都除以2得：， 故选B． 【点睛】本题考查了代数式求值的应用，主要检查学生能否选择适当的方法求出a+c+e的值，难点是正确代入，题目较好，难度不大． 26．定义：关于，的二元一次方程（其中，，互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为　　　； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先根据“变更方程”定义写出原方程的变更方程，再联立方程组，用加减消元法求解； （2）先利用条件得出，联立原方程与变更方程求出解，将解代入新方程得到代数式关系，最后化简求值． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， 联立方程组，得， 解得； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， 联立方程组，得， 解得， ， ， ， 即， 是二元一次方程的一个解， ， 即， ． 题型09.由方程组解的情况求参数 27．关于的方程组的解满足，则的值为__________． 【答案】4 【分析】把得到，结合已知，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， 解得：． 28．已知关于、的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④不存在使得成立；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先解出、关于的表达式，再逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：解方程组 ∵（1）（2）3得 ，解得 ， 把代入（2）得 ，解得 ， 逐一验证结论： ① 当时，，，则 ，满足，故①正确； ② 当时，，整理得 ，解得，故②正确； ③ ，结果含，的值随变化，故③错误； ④ ， ，故不存在使得，故④正确． 综上，正确的结论共3个． 29．已知关于、的方程． (1)解这个方程组，它的解用含的代数式表示； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组，得到用含的代数式表示的解； （2）将得到的解代入已知等式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：， 得：，解得， 把代入得：，解得， 原方程组的解为； （2）解：把代入得：， 整理得， 解得． 题型10.方程组相同解问题 30．若关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值是________． 【答案】7 【分析】观察二元一次方程组中两个方程的系数特点，将两式相加整理得到与的关系式，利用解的含义得，整体代入即可求出的值． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 31．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，可知，即可求解． 【详解】解：可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 即． 32．已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 【答案】1 【详解】解：依题意可得， 解得． 把代入和中，可得方程组， 解方程组可得， ． 题型11.三元一次方程组的定义及解 33．解方程组得_______． 【答案】 【分析】利用加减消元法消去未知数，将三元一次方程组转化为一元一次方程逐步求解即可． 【详解】解：， ，得 ， ，得 ，解得， 把代入，得，解得， 把代入，得 ，解得， 原方程组的解为． 34．下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三元一次方程组的解法，属于基础题型．消元法的使用是解决这个问题的关键．首先利用和得出关于和的二元一次方程组，从而求出和的值，然后将和代入任何一个式子得出的值，从而得出方程组的解． 【详解】解：， 可得：④， 可得：⑤， 可得：， 解得：，将代入④可得：， 将，代入①可得：， ∴方程组的解为：， 故选：． 35．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 【答案】(1)；； (2)3 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 题型12.三元一次方程组的应用 36．甲、乙、丙三人共解100道数学题，每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解答出来．将其中只有一人会做的题目叫难题，三人都会做的题叫容易题，则难题比容易题多_________． 【答案】20 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用． 设只有1人解出的题目数量为x，有2人解出的题目数量为y，有3人解出的题目数量为z，根据“每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解答出来”即可列出关于x、y、z的三元一次方程组，②×2-①即可得出结论． 【详解】解：设只有1人解出的题目数量为x，有2人解出的题目数量为y，有3人解出的题目数量为z， 那么3人共解出的题次为：①， 除掉重复的部分，3人共解出的题目为：②， 得：． 故答案为：20 37．如图1，左侧秤盘中布袋里装有大小质量相同的玻璃球若干，右侧秤盘中有2个圆柱体和3个正方体（相同形状的几何体大小、质量都相等），此时天平处于平衡状态．从左侧袋中拿出3颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘中的1个圆柱体和1个正方体，如图2，天平仍处于平衡状态．现从图2右侧秤盘中拿掉玻璃球、圆柱体、正方体各1个，要使天平保持平衡，则需从左侧袋中再次拿出的玻璃球颗数为（   ） A．3颗 B．4颗 C．6颗 D．7颗 【答案】D 【分析】设1颗玻璃球的质量为，1个圆柱体的质量为，1个正方体的质量为，根据图1天平变化后的平衡状态，得出，表示1个圆柱体和1个正方体等于6颗玻璃球的质量，即可得解． 【详解】解：设1颗玻璃球的质量为，1个圆柱体的质量为，1个正方体的质量为， 由题意可知，， ， ， 即玻璃球、圆柱体、正方体各1个的质量等于7颗玻璃球的质量． 38．阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则____________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？ 【答案】(1) (2)12元 【分析】本题考查了二元一次方程组、三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）用整体的思想求解即可； （2）先列出三元一次方程组，再由“整体思想”即可得解． 【详解】（1）解： 得：， 故答案为：； （2）解：购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本共需c元， 由题意得：， 得：， ∴（元）． 答：购买2支铅笔、2块橡皮共需12元． 题型13.由实际问题列方程组 39．某校师生200人到甲、乙两地参观学习，到甲地的人数比到乙地的人数的2倍少4，则到两地的人数各为多少？设到甲地的人数为x，到乙地的人数为y，根据题意可得方程组__________． 【答案】 【详解】解：设到甲地的人数为x，到乙地的人数为y， 由题意得，． 40．甲从某一地点出发，前往某地，途中经过下坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走3千米，下坡每小时走5千米，平路每小时走4千米．去时走了80分钟，回程走了90分钟．设去时下坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 【答案】 【分析】先统一时间单位，将分钟换算为小时，根据总时间等于各段路程所用时间之和，结合原路返回时去时的下坡路变为回程的上坡路，平路长度和速度不变，分别根据去程和回程的总时间列方程即可． 【详解】解：速度单位为千米/小时，需统一单位，80分钟小时，90分钟小时， 去时：下坡路程为，速度为，用时，平路用时为，总时间为， 回程：上坡路程为，速度为，用时，平路路程为，速度为，用时，总时间为， ∴可列方程组． 41．一次方程组实际应用 某水果店购进甲、乙两种水果，甲每千克进价6元，乙每千克进价4元；购进甲、乙共15千克，总进价74元． (1)设甲购进x千克，乙购进y千克，列方程组； (2)求甲、乙各购进多少千克． 【答案】(1) (2)甲购进7千克，乙购进8千克 【分析】（1）根据“购进甲、乙共15千克，总进价74元”列方程组即可； （2）求解（1）中方程组即可． 【详解】（1）解：设甲购进x千克，乙购进y千克， ∵购进甲、乙共15千克， ∴， ∵甲每千克进价6元，乙每千克进价4元，总进价74元， ∴， 即； （2）解：解得， 答：甲购进7千克，乙购进8千克． 题型14.由几何图形列方程组 42．如图，将长方形的一角折叠，折痕为，比大，设和的度数分别为，那么所适合的一个方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，设和的度数分别为，根据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设和的度数分别为， 由题意可得， 故选：． 43．在一个大长方形中放入六个完全相同的小长方形（阴影部分），所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为______．    【答案】 【分析】设小长方形的长为、宽为，根据图形找出等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为、宽为， 由题意得，， 解得：， ∴每个小长方形的面积为． 44．如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组，理解题意找到等量关系是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽构造方程，并求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，大长方形的长为，大长方形的宽为， 列方程组，得，， 将，得，， 将代入①，得，， 解得，， ∴方程组的解为， 答：小长方形的长为，宽为． 题型15.方案问题 45．研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660名学生到郊外参加研学活动．已知用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若1辆小客车需租金120元/次，1辆大客车需租金220元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生 (2)共有3种租车方案， 方案1：租用24辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车 (3)最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系正确列式是关键． （1） 设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，结合题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得：，由二元一次方程的解的方法求解即可； （3）根据（2）中的方法，结合题意分别算出各自的费用，再比较即可求解． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用24辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车． （3）解：方案一所需租金为（元）； 方案二所需租金为（元）； 方案三所需租金为（元）； ， 最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元． 46．随着交通安全意识的增强，居民开始积极购买头盔保障骑行安全．某商店购进A种头盔2个和种头盔4个共需270元，购进A种头盔4个和种头盔1个共需330元． (1)求A，两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，两种头盔（A，两种头盔均购买），求该商店有多少种购买方案？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，种头盔的单价是30元 (2)该商店共有2种购买方案 【分析】（1）理解题意，根据购进A种头盔2个和种头盔4个共需270元，购进A种头盔4个和种头盔1个共需330元，列出方程组，即可作答． （2）先根据正好用450元购进A，两种头盔（A，两种头盔均购买），得出，再结合，均为正整数，进行计算分析，即可作答． 【详解】（1）解：设种头盔的单价是元，种头盔的单价是元， 根据题意列方程组得 解得 答：种头盔的单价是75元，种头盔的单价是30元． （2）解：设购进种头盔个，种头盔个， 由题意得， 整理得． ，均为正整数， 或 答：该商店共有2种购买方案． 47．某工业园区汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆，由于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（用二元一次方程组解答） (2)如果工厂招聘（）名新工人，在该厂抽调名熟练工，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有几种方案?请写出所有方案． 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可安装3辆电动汽车 (2)①调熟练工2人，新工人6人；②调熟练工3人，新工人4人；③调熟练工4人，新工人2人 【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月安装y辆电动汽车，根据3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车列出方程组，然后求解即可； （2）设调熟练工m人，根据一年的安装任务列出方程整理用m表示出n，然后根据人数m是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月安装y辆电动汽车， 根据题意得， 解得． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可安装3辆电动汽车； （2）解：设调熟练工m人， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴当，3，4时，，4，2， 即：①调熟练工2人，新工人6人；②调熟练工3人，新工人4人；③调熟练工4人，新工人2人． 题型16.行程问题 48．某人骑自行车从甲地到乙地，先以的速度下山，再以的速度通过平路到达乙地，共用；他返回时，先以的速度通过平路，再以的速度上山回到甲地，用了．求甲、乙两地之间的距离． 【答案】甲、乙两地之间的距离为9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设山路长为，平路长为，根据先下山后走平路，到乙地用了，后回到甲地用了，列方程组求解． 【详解】解：设山路长为，平路长为， 由题意得，， 解得：， 则． 答：甲、乙两地之间的距离为9千米． 49．如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 【答案】(1)，乙的速度是 (2)4分钟或7分钟 【分析】（1）设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、三种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ∵经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等 ∴， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， 甲到达A点所用时间为， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则， 解得； ③当，，， 令，则， 解得：； 综上所述，甲出发4分钟或7分钟后，两人与点的距离相等． 50．骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； (3)①，；②应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里 【分析】（1）设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）由题意得，，则，再求出符合题意的整数解即可； （3）①根据“本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为”即可求解每行驶的磨损量； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意得，，则， ∵m，n均为非负整数，且“保证新工人和熟练工在工作上有照应”， ∴， ∴或 ∴共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：①∵本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为 ∴设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为，后轮每行驶的磨损量为； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为， 由题意得， 解得， 答：应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里． 题型17.工程问题 51．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治，乙工程队每天整治，两工程队用时天．要求整治任务完成后甲、乙工程队分别整治的河道长度，小明、小华两名同学提出的解题思路如下： 请你补全小明、小华两名同学的解题思路．小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道，乙工程队整治河道． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示________，表示________． 根据题意，得 【答案】 ，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，， 【分析】本题考查了二元一次方程组，根据题意补全小明和小华的方程组即可. 【详解】解：小明同学的方法：； 小华同学的方法：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数； 根据题意得：； 故答案为：；，；甲工程队整治河道用的天数；乙工程队整治河道用的天数；，，. 52．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【答案】(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； (2)能比原来少用天． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键； （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别计算出施工进度改进前和改进后完成任务还需的天数，再作差即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得． 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）解：设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则 （天）， （天）， 则（天）． 答：能比原来少用天． 53．苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 【答案】(1)甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． (2)安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 【分析】（1）设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x和y吨，根据“甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨”列二元一次方程组求解即可； （2）设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元，易得， 运输总费用为，再分别列举m、n的可能取值，并分别求出运输总费用，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x吨和y吨， 根据题意得：，解得：， 答：甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． （2）解：设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元， 根据题意，得：，整理得：， 运输总费用为， ∵m、n为自然数， ∴当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元． 所以安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 题型18.数字问题 54．如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（   ） y 6 5 x 7 8 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为，根据题意建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为， 由题意得：，即， 解得， 故选：B． 55．如图，若在以同一点为中心的三个三角形的顶点处填入个数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则________． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出、，再计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ． 56．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答． 运输的化肥，装载了节火车车厢和15辆汽车；运输的化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨？ 解题方案：设每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥． (1)根据题意，列出方程组：　　； (2)解这个方程组，得 ； (3)答：每节火车车厢平均装 吨化肥，每辆汽车平均装 　　吨化肥（用数字作答）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意：运输的化肥，装载了节火车车厢和15辆汽车；运输的化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，列出方程组即可； （2）由加减消元法解这个方程组即可； （3）写出答案即可． 【详解】（1）解：设每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥． 根据运输的化肥，装载了节火车车厢和15辆汽车,可列， 根据运输的化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，可列， 即可列出方程组：， 故答案为：． （2）解：． 可得， 可得，即， 将代入①，可得， 故这个方程组的解为， 故答案为：． （3）答：每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥， 故答案为：，． 题型19.年龄问题 57．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 58．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 59．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 题型20.分配问题 60．芳芳和元元一起玩用火柴棍摆图形的游戏，三角形和正方形一共摆了10个（如图，任意两个图形之间没有公共边）．如果她们一共用了36根火柴棍，那么她们摆了个________三角形，________正方形． 【答案】 4 6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键． 设她们摆了x个三角形，y正方形，再根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设她们摆了x个三角形，y正方形， 由题意可得：，解得：， 所以设她们摆了4个三角形，6正方形． 故答案为：4，6． 61．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 【答案】可以制作乙种纸盒80个 【分析】设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 甲种无盖长方体纸盒需要1张正方形硬纸片和4张长方形硬纸片， 乙种无盖长方体纸盒需要2张正方形硬纸片和3张长方形硬纸片， 根据题意，得， 解得， ∴可以制作乙种纸盒80个． 62．工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果这些纸板做出的竖式纸盒为与横式纸盒个数为，恰好使库存的纸板用完，则用的代数式表示的值． 【答案】(1)①第二次记录有误，见解析；②做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； (2)3 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，代数式，比值，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键． （1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误；②由第一次记录，列出方程组，求解即可； （2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为，可得，求解即可； （3）根据题意，可得到，两个方程相加，即可解答． 【详解】（1）解：①第二次记录错误，理由如下： 设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，则需要正方形纸板张，需要长方形的纸板张， ∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和为，应该是5的倍数， ∴第二次记录有误； ②由题意可得：， 解得：， 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）由题意可得：， 解得：， ∴， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3． （3）由题意，得 ， ∴． 答：的值为． 题型21.销售利润问题 63．随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要2000元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要1450元．则购买颗型芯片需要______元． 【答案】 【分析】设购买颗型芯片需要元. 购买颗型芯片需要元，根据题意列出方程组，并求解即可． 【详解】解：设购买颗型芯片需要元. 购买颗型芯片需要元， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴购买颗型芯片需要元． 64．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型号健身器材的单价比乙型号健身器材的单价的一半贵1100元．购买28台甲型号健身器材的费用是购买5台乙型号健身器材费用的5倍，求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元． 【答案】甲型号健身器材的单价为2500元，乙型号健身器材的单价为2800元 【分析】设甲型号健身器材的单价为x元，乙型号健身器材的单价为y元，根据“甲型号健身器材的单价比乙型号健身器材的单价的一半贵1100元．购买28台甲型号健身器材的费用是购买5台乙型号健身器材费用的5倍”，列方程组求解． 【详解】解：设甲型号健身器材的单价为x元，乙型号健身器材的单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲型号健身器材的单价为2500元，乙型号健身器材的单价为2800元． 65．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 【答案】(1)m的值为80，n的值为60； (2)该商场可获利1100元； (3)该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 答：m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴． 答：该商场可获利1100元； （3）解：设该商场当日售出A款足球a个，B款足球b个， 根据题意得：， 整理得：， 又∵a、b均为正整数， ∴或或或， ∴该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个； 答：该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 题型22.和差倍分问题 66．甲、乙两位同学共带元去书店买书，回家后两人所剩的钱数相等．已知甲花去自己钱数的，乙花去自己的钱数的，则乙花去( )元． 【答案】 【分析】设甲原有钱元，乙原有钱元，根据两人总钱数和剩余钱数相等的条件列方程组，先求出乙原有的钱数，再计算乙花去的钱数即可． 【详解】解：设甲带了元，乙带了元， 根据题意列方程组得， 解得， 则乙花去的钱数为． 67．现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的银子比乙袋装的银子多6两，从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍．设甲袋原有银子x两，乙袋原有银子y两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲袋原有银子比乙袋多6两，可得第一个等量关系：，从甲袋取7两放入乙袋后，甲袋剩余银子为两，乙袋现有银子为两，根据“此时乙袋银子是甲袋的2倍”，可得第二个等量关系：；联立得到方程组即可 【详解】∵甲袋原有银子比乙袋多6两， ∴ 变形得； ∵从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍， 此时甲袋剩余银子为两，乙袋现有银子为两， ∴； 可得 68．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需155万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需220万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 【答案】 A型智能机器人的单价为50万元，B型智能机器人的单价为35万元 【分析】设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意得，解得； 答：A型智能机器人的单价为50万元，B型智能机器人的单价为35万元. 题型23.几何问题 69．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则小长方形的面积是______． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图中的数据，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组，根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，， 解得：， 则小长方形的面积是． 70．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示．若小长方形的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知两个小长方形的长加一个小长方形的宽等于长方形活动场地的长，即，两个小长方形的宽加一个小长方形的长等于长方形场地的宽，即，进一步列方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，根据题意得：. 71．综合与实践：探究用标准卡纸制作礼盒． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个横式叠盖纸盒和个竖式叠盖纸盒（其中均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)若，求的值； (2)求和值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒需要5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则，求其整数解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 则， 解得：； （2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴， ∴整数解为：或． 题型24.图表信息问题 72．学校的幻方社团正在进行推理游戏，小华在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则_____． x 2y y 6 【答案】6 【分析】本题考查代数推理，方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．利用幻方中各行、各列及对角线上的三个数之和相等，列出方程并求解，得到x与y的关系． 【详解】解：设右下角数字为， ∵图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等， ∴， 即， 则． 故答案为：6． 73．如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一根香蕉的重量的（    ） A． B． C．2倍 D．3倍 【答案】B 【分析】设1个苹果的重量为，一根香蕉的重量为，一个砝码的重量为，由图可列出方程组，用加减消元法消去，求出与关系，即可得出结果． 【详解】解：设1个苹果的重量为，一根香蕉的重量为，一个砝码的重量为， 由图可得： 由得：， ∴， ∴，即一个苹果的重量是一根香蕉的重量的倍． 74．在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1                        图2                  图3                            图4 (1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________． 【答案】(1) (2)；2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，找出关于a，b的方程（或方程组）是解题的关键． （1）根据“等和格”的定义，即可得出，变形后即可用含b的代数式表示出a； （2）根据“等和格”的定义，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可求出a，b的值； （3）根据“等和格”的定义，即可得出关于a，b的二元二次方程组，方程①变形后可得出方程③，方程②变形后可得出方程④，再将③代入④中即可求出b的值． 【详解】（1）解：依题意得：， ． 故答案为：． （2）依题意得：， 解得：． 故答案为：；2． （3）依题意得：， 由①可得：③， 由②可得：④， 将③代入④中得：． 故答案为：． 题型25.古代问题 75．《九章算术》中的“鸡兔同笼”问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？设鸡的数量为，兔的数量为，可列方程组为：_____． 【答案】 【分析】根据题意，分别找出总头数和总足数的等量关系，即可列出二元一次方程组，每只鸡和每只兔各有个头，总头数为，每只鸡有只足，每只兔有只足，总足数为，据此列方程即可． 【详解】解：设鸡的数量为，兔的数量为， 根据总头数为，可得方程， 根据总足数为，可得方程 ， 因此可列方程组， 故答案为：． 76．“曹冲称象”是流传很广的故事，现仿照其称重方法进行操作：将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．准备若干重量相等的石块和两个体重相同的搬运工．第一次，往船上放置100块石块，船上留2个搬运工，水位恰好到达标记位置；第二次，向船上增加3块石块，船上留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为150斤，设每块石块的重为斤，大象重为斤，下列说法错误的是（     ） A． B． C．该象重5150斤 D．每块石块重50斤 【答案】C 【分析】利用两次称重时船的总重量等于大象重量这一等量关系，列出关于 和 的方程组，求解后即可判断各选项的正误. 【详解】解：设每块石块重斤，大象重斤， 由第一次称重情况可得方程：， 故选项 A 说法正确； 由第二次称重情况可得方程：， 故选项 B 说法正确； 联立上述两个方程组成方程组：， ，解得 ， 将代入得：， 每块石块重斤，大象重斤； 故选项 D 说法正确，选项 C 说法错误. 77．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． 题型26.其他实际问题 78．列方程（组）解决实际问题． 为了保护同学们的视力，同时也要节约成本，学校规定，学生使用护眼纸，其他办公用纸为普通纸．已知一包护眼纸比一包普通纸贵3元，学校3月份购进护眼纸40包，普通纸30包，花了1660元．求两种纸张的每包单价分别是多少元？ 【答案】一包普通纸单价为22元，一包护眼纸单价为25元． 【分析】先设一包护眼纸单价为元，一包普通纸单价为元，列出方程组，进行解方程，即可作答． 【详解】解：设一包护眼纸单价为元，一包普通纸单价为元， 由题意得， 解得， 答：一包普通纸单价为22元，一包护眼纸单价为25元． 79．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)某物流公司现有货物31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（a，b均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请用含有b的代数式表示a，并帮该物流公司设计租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨 (2)，租车方案为：A型车2辆和B型车5辆或A型车7辆和B型车2辆 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解，二元一次方程组的应用，掌握利用方程组的正整数解解决应用问题是解题的关键． （1）设1辆A型车一次运货x吨，1辆B型车一次运货y吨，再确定好相等关系列方程组，解方程组即可得到答案； （2）租用型车辆，型车辆运输货物31吨，可得，再求解方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设1辆A型车一次运货x吨，1辆B型车一次运货y吨， 根据题意得，， 解得：， ∴1辆A型车一次运货吨，1辆B型车一次运货吨； （2）解：根据题意，， ∴， ∵a，b为正整数， ∴且是3的倍数， ∴当时，， 当时，， ∴方案1为租用A型车7辆，B型车2辆；方案2为租用A型车2辆，B型车5辆． 80．新疆长绒棉品质优良，其纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，可制成高级纺织面料，防化与防原子辐射布、其他纺织品，及各类宝塔线、缝纫线、绣花线、针织线等．丝路纺织厂与A，B两地有公路、铁路相连（距离如表所示）． A地 B地 公路段路程（km） 10 20 铁路段路程（km） 120 110 这家纺织厂从A地购买一批每吨3.08万元的长绒棉运回工厂，制成每吨4.25万元的高级纺织面料运到B地．已知公路运价为0.5元/（吨·千米），铁路运价为0.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运输费5200元，铁路运输费16640元． (1)请计算这批纺织面料的销售额比原料费（只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少万元? (2)如果工厂在运输过程中原料和产品均不产生损耗，在生产过程中原料的损耗率不变．工厂原计划用部分长绒棉作原料，生产高级纺织面料，原料和产品一共144吨．若要增加m吨的产品，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于27.2万元．求m的值． 【答案】(1)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多万元； (2)的值为4． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）设工厂从A地购买了x吨长绒棉，制成高级纺织面料y吨，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）求得原料与生产的产品比为，设原料a吨，产品b吨，根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂从A地购买了x吨长绒棉，制成高级纺织面料y吨， 依题意，得 ， 解得：， （万元）， 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多万元； （2）解：由（1）知，400吨原料可生产产品320吨， 故原料与生产的产品比为， 设原料a吨，产品b吨， 依题意，得， 解得， 要使产品增加m吨，则原料需增加吨， 根据题意得：， 解得：， 答：的值为4． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二元一次方程组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，能准确判断方程（组）是否为二元一次方程（组）。 2.掌握二元一次方程的解、方程组的解的概念，能检验一组数值是否为方程（组）的解。 3.熟练掌握代入消元法、加减消元法两种核心解法，理解消元思想的本质。 4.掌握二元一次方程组的简单应用，能识别题目中的等量关系，会列方程组解决实际问题。 1.具备辨别、判断二元一次方程（组）的能力，能根据定义解决含参数基础题型。 2.能根据题目特点灵活选择代入法或加减法，熟练、准确地解方程组，提升运算能力。 3.学会从实际问题中提取条件、找出两组等量关系，具备列方程组解题的建模能力。 4.能规范书写解题步骤，提高方程类题型的逻辑思维与综合解题能力。 1.夯实基础概念，避免概念混淆、解方程组计算失误等常见扣分问题。 2.熟练掌握基础计算题、含参数题型、实际应用题，做到题型全覆盖。 3,规范解题格式，步骤完整、过程严谨，保证基础题不丢分、应用题稳得分。 题型01二元一次方程的定义及解 题型02.二元一次方程组的判定 题型03.二元一次方程组解的判定 题型04.由二元一次方程组的解求参数 题型05.代入消元法和加减消元法 题型06.方程组的特殊解法 题型07.错解复原问题 题型08.构造方程组求解 题型09.由方程组解的情况求参数 题型10.方程组相同解问题 题型11.三元一次方程组的定义及解 题型12.三元一次方程组的应用 题型13.由实际问题列方程组 题型14.由几何图形列方程组 题型15.方案问题 题型16.行程问题 .题型17.工程问题 题型18.数字问题 题型19.年龄问题 题型20.分配问题 题型21.销售利润问题 题型22.和差倍分问题 题型23.几何问题 题型24.图表信息问题 题型25.古代问题 题型26.其他实际问题 知识点01:二元一次方程基础概念 1. 二元一次方程定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，且等式两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 2. 三大判断条件（缺一不可） (1)含有且只有两个未知数 (2)未知数最高次数为1 (3)是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数） 3. 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 特点：一个二元一次方程有无数组解。 知识点02:二元一次方程组及解 1. 二元一次方程组定义 由两个二元一次方程组成，并且一共含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 2. 方程组的解 同时满足方程组中两个方程的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 特点：一般只有唯一一组解（特殊有无解、无数解）。 3.方程组解的三种情况 对于方程组 ： ①若 ，则有唯一解； ②若 ，则无解 ③若 ，则有无数组解。 (4).易错考点：已知解反向求参数、根据定义求字母取值（期末高频小题） 知识点03:两种解法详细步骤（考试必考） (1)代入消元法 （2）加减消元法（考试主流解法） (3)两种解法对比表（老师加分亮点） 解法 适用题型 优点 易错点 代入消元法 系数为 ±1，常数项简单 计算简单、不易错系数 代回原方程时代错式子、符号出错 加减消元法 系数大、无 ±1 系数 解题速度快、适合标准大题 漏乘常数项、符号加减混乱 知识点04:三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（a、b、c、d为常数，a0，b0，c0）。 2. 三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解法（核心：消元→二元→一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤： 1 消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ② 解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值；④ 写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 知识点05:标准解题六大步骤 步骤 核心要求 注意事项 1.设 设两个未知数（直接 / 间接设元） 规范表述，如 “设单价为 x 元，数量为 y 个”，避免模糊 2.找 提取两组独立等量关系 关键词：一共、比… 多 / 少、倍、配套、相遇等 3.列 依据等量关系列二元一次方程组 两个方程必须独立，不能重复 4.解 选用代入 / 加减消元法求解 计算仔细，避免符号、漏乘错误 5.验 ① 检验是否满足方程组② 检验是否符合实际意义 人数、物品数量必须为正整数，价格不能为负 6.答 完整写出答句，对应设元 不漏写单位，语句通顺 知识点06:等量关系 “寻宝指南”（应用题的核心密码） 所有题型的本质都是找等量关系，这些 “高频线索” 直接圈，一找一个准！ ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 几何图形问题:根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 ● 方案问题:根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 数字问题:两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 ● 年龄问题:年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 ● 图表信息题:从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 知识点07:应用题型方法速查表 题型01二元一次方程的定义及解 1．下列各式，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知是方程的解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值是_____________． 4．已知是二元一次方程的解，则的值为___________ 题型02.二元一次方程组的判定 5．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 6．下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 题型03.二元一次方程组解的判定 8．下列以为解的二元一次方程组是（　　　） A． B． C． D． 9．二元一次方程有无数个解，下列各组数值中，不是该方程的解的是（    ） A． B． C． D． 10．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 题型04.由二元一次方程组的解求参数 11．已知是方程的一个解，那么m的值是________． 12．已知关于，的方程组的解是，则的值为________． 13．已知方程组的解是，则方程组的解是________． 14．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 题型05.代入消元法和加减消元法 15．解方程组： (1)； (2)． 16．解二元一次方程组． (1) (2) 17．解下列方程组： (1) ， (2)． 题型06.方程组的特殊解法 18．已知方程组的解是，则方程组的解是________． 19．已知关于的二元一次方程的解如表所示： ．．． ．．． ．．． ．．． 关于的二元一次方程的解如表所示： ．．． ．．． ．．． ．．． 则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 20．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)关于，的方程组的解_____； (2)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； (3)已知关于，的方程组，求，的值． 题型07.错解复原问题 21．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，解得，乙看错了方程组中的，解得，求出原方程组的正确解____． 22．数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 23．下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：， 解得． 把代入③，得． 方程组的解为 美美的做法： 由①，得③． 由②+③，得， 解得． 把代入①，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是________；美美的消元方法是________． (2)判断________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 题型08.构造方程组求解 24．已知关于x，y的方程，不论m是怎样的常数，总有一组解为（其中a，b是常数），则a的值为______． 25．当时，多项式的值是32，且当该多项式值为0，则的值是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无法确定 26．定义：关于，的二元一次方程（其中，，互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为　　　； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 题型09.由方程组解的情况求参数 27．关于的方程组的解满足，则的值为__________． 28．已知关于、的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④不存在使得成立；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．已知关于、的方程． (1)解这个方程组，它的解用含的代数式表示； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 题型10.方程组相同解问题 30．若关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值是________． 31．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 32．已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 题型11.三元一次方程组的定义及解 33．解方程组得_______． 34．下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 35．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 题型12.三元一次方程组的应用 36．甲、乙、丙三人共解100道数学题，每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解答出来．将其中只有一人会做的题目叫难题，三人都会做的题叫容易题，则难题比容易题多_________． 37．如图1，左侧秤盘中布袋里装有大小质量相同的玻璃球若干，右侧秤盘中有2个圆柱体和3个正方体（相同形状的几何体大小、质量都相等），此时天平处于平衡状态．从左侧袋中拿出3颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘中的1个圆柱体和1个正方体，如图2，天平仍处于平衡状态．现从图2右侧秤盘中拿掉玻璃球、圆柱体、正方体各1个，要使天平保持平衡，则需从左侧袋中再次拿出的玻璃球颗数为（   ） A．3颗 B．4颗 C．6颗 D．7颗 38．阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则____________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？ 题型13.由实际问题列方程组 39．某校师生200人到甲、乙两地参观学习，到甲地的人数比到乙地的人数的2倍少4，则到两地的人数各为多少？设到甲地的人数为x，到乙地的人数为y，根据题意可得方程组__________． 40．甲从某一地点出发，前往某地，途中经过下坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走3千米，下坡每小时走5千米，平路每小时走4千米．去时走了80分钟，回程走了90分钟．设去时下坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 41．一次方程组实际应用 某水果店购进甲、乙两种水果，甲每千克进价6元，乙每千克进价4元；购进甲、乙共15千克，总进价74元． (1)设甲购进x千克，乙购进y千克，列方程组； (2)求甲、乙各购进多少千克． 题型14.由几何图形列方程组 42．如图，将长方形的一角折叠，折痕为，比大，设和的度数分别为，那么所适合的一个方程组是（    ） A． B． C． D． 43．在一个大长方形中放入六个完全相同的小长方形（阴影部分），所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为______．    44．如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 题型15.方案问题 45．研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660名学生到郊外参加研学活动．已知用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． (3)在第（2）问的条件下，若1辆小客车需租金120元/次，1辆大客车需租金220元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 46．随着交通安全意识的增强，居民开始积极购买头盔保障骑行安全．某商店购进A种头盔2个和种头盔4个共需270元，购进A种头盔4个和种头盔1个共需330元． (1)求A，两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，两种头盔（A，两种头盔均购买），求该商店有多少种购买方案？ 47．某工业园区汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆，由于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（用二元一次方程组解答） (2)如果工厂招聘（）名新工人，在该厂抽调名熟练工，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有几种方案?请写出所有方案． 题型16.行程问题 48．某人骑自行车从甲地到乙地，先以的速度下山，再以的速度通过平路到达乙地，共用；他返回时，先以的速度通过平路，再以的速度上山回到甲地，用了．求甲、乙两地之间的距离． 49．如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 50．骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 题型17.工程问题 51．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治，乙工程队每天整治，两工程队用时天．要求整治任务完成后甲、乙工程队分别整治的河道长度，小明、小华两名同学提出的解题思路如下： 请你补全小明、小华两名同学的解题思路．小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道，乙工程队整治河道． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示________，表示________． 根据题意，得 52．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 53．苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 题型18.数字问题 54．如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（   ） y 6 5 x 7 8 A． B． C． D． 55．如图，若在以同一点为中心的三个三角形的顶点处填入个数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则________． 56．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答． 运输的化肥，装载了节火车车厢和15辆汽车；运输的化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨？ 解题方案：设每节火车车厢平均装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥． (1)根据题意，列出方程组：　　； (2)解这个方程组，得 ； (3)答：每节火车车厢平均装 吨化肥，每辆汽车平均装 　　吨化肥（用数字作答）． 题型19.年龄问题 57．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 58．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 59．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 题型20.分配问题 60．芳芳和元元一起玩用火柴棍摆图形的游戏，三角形和正方形一共摆了10个（如图，任意两个图形之间没有公共边）．如果她们一共用了36根火柴棍，那么她们摆了个________三角形，________正方形． 61．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 62．工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果这些纸板做出的竖式纸盒为与横式纸盒个数为，恰好使库存的纸板用完，则用的代数式表示的值． 题型21.销售利润问题 63．随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要2000元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要1450元．则购买颗型芯片需要______元． 64．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型号健身器材的单价比乙型号健身器材的单价的一半贵1100元．购买28台甲型号健身器材的费用是购买5台乙型号健身器材费用的5倍，求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元． 65．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 题型22.和差倍分问题 66．甲、乙两位同学共带元去书店买书，回家后两人所剩的钱数相等．已知甲花去自己钱数的，乙花去自己的钱数的，则乙花去( )元． 67．现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的银子比乙袋装的银子多6两，从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍．设甲袋原有银子x两，乙袋原有银子y两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 68．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需155万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需220万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 题型23.几何问题 69．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则小长方形的面积是______． 70．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示．若小长方形的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 71．综合与实践：探究用标准卡纸制作礼盒． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个横式叠盖纸盒和个竖式叠盖纸盒（其中均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)若，求的值； (2)求和值． 题型24.图表信息问题 72．学校的幻方社团正在进行推理游戏，小华在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则_____． x 2y y 6 73．如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一根香蕉的重量的（    ） A． B． C．2倍 D．3倍 74．在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1                        图2                  图3                            图4 (1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________． 题型25.古代问题 75．《九章算术》中的“鸡兔同笼”问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？设鸡的数量为，兔的数量为，可列方程组为：_____． 76．“曹冲称象”是流传很广的故事，现仿照其称重方法进行操作：将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．准备若干重量相等的石块和两个体重相同的搬运工．第一次，往船上放置100块石块，船上留2个搬运工，水位恰好到达标记位置；第二次，向船上增加3块石块，船上留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为150斤，设每块石块的重为斤，大象重为斤，下列说法错误的是（     ） A． B． C．该象重5150斤 D．每块石块重50斤 77．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    题型26.其他实际问题 78．列方程（组）解决实际问题． 为了保护同学们的视力，同时也要节约成本，学校规定，学生使用护眼纸，其他办公用纸为普通纸．已知一包护眼纸比一包普通纸贵3元，学校3月份购进护眼纸40包，普通纸30包，花了1660元．求两种纸张的每包单价分别是多少元？ 79．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)某物流公司现有货物31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（a，b均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请用含有b的代数式表示a，并帮该物流公司设计租车方案． 80．新疆长绒棉品质优良，其纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，可制成高级纺织面料，防化与防原子辐射布、其他纺织品，及各类宝塔线、缝纫线、绣花线、针织线等．丝路纺织厂与A，B两地有公路、铁路相连（距离如表所示）． A地 B地 公路段路程（km） 10 20 铁路段路程（km） 120 110 这家纺织厂从A地购买一批每吨3.08万元的长绒棉运回工厂，制成每吨4.25万元的高级纺织面料运到B地．已知公路运价为0.5元/（吨·千米），铁路运价为0.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运输费5200元，铁路运输费16640元． (1)请计算这批纺织面料的销售额比原料费（只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少万元? (2)如果工厂在运输过程中原料和产品均不产生损耗，在生产过程中原料的损耗率不变．工厂原计划用部分长绒棉作原料，生产高级纺织面料，原料和产品一共144吨．若要增加m吨的产品，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于27.2万元．求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $