第7节　向量法求空间角课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“向量法求空间角”专题，依据课标要求梳理了异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面夹角三大核心考点，通过知识梳理（公式推导+范围提醒）、诊断自测（正误判断+计算辨析）、核心考点（例题精讲+变式训练），对接高考评价体系，明确三类角在近五年真题中占比超60%的高频考查权重，归纳坐标法、基向量法等常考题型。 课件亮点在于“真题实战+方法固化+素养渗透”，如以2025全国Ⅰ卷四棱锥题为例，示范异面直线角坐标法四步（建系、求方向向量、算向量夹角、得空间角），培养学生空间观念（数学眼光）与逻辑推理（数学思维），特设“易错警示”（向量夹角与空间角范围差异），帮助学生精准掌握得分技巧，教师可依托课件系统开展专题复习，提升备考效率。

第7节　向量法求空间角 课标要求 　　能用向量方法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问 题，并能描述解决这一类问题的过程，体会向量方法在研究空间角问 题中的作用. 目录/ CONTENTS 夯实必备知识 01 研透核心考点 02 课时跟踪检测 03 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则 cos θ＝｜ cos ＜u，v＞｜＝ ⁠. 提醒：两异面直线所成角的范围为（0， ］，而不共线的向量的夹角的范 围为（0，π），所以公式中要加绝对值. 　 高中总复习·数学 目 录 2. 直线与平面所成的角 如图所示，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ， 直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝｜ cos ＜u，n ＞｜＝ ⁠. 提醒：直线与平面所成角的范围为 ，而向量之间的夹角的范围为 [0，π]，所以公式中要加绝对值. 　 高中总复习·数学 目 录 3. 二面角（平面与平面的夹角） （1）平面与平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把 这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角，如图1.若 平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2 的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜n1，n2 ＞｜＝ ⁠； 　 高中总复习·数学 目 录 （2）二面角：二面角α-l-β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则｜ cos φ｜＝ cos θ＝ ，如图2，3. 提醒：注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0， π]，两个平面的夹角的范围为［0， ］. 　 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角. （　×　） （2）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. （　×　） （3）两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角. （　×　） （4）直线与平面所成角的范围和平面与平面夹角的范围相同. （　√　） × × × √ 高中总复习·数学 目 录 2. 已知直线l1的方向向量s1＝（1，0，1），直线l2的方向向量s2＝（－1， 2，－2），则l1和l2夹角的余弦值为（　　） A. － B. C. D. － √ 解析： 　因为s1＝（1，0，1），s2＝（－1，2，－2），所以 cos ＜s1， s2＞＝ ＝ ＝－ ，所以l1和l2夹角的余弦值为 . 高中总复习·数学 目 录 3. 已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若 cos ＜ m，n＞＝－ ，则l与α所成的角为 　 　. 解析：设直线l与α所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜m，n＞｜＝ ，又 ∵θ∈［0， ］，∴θ＝ . 4. 已知两平面的法向量分别为m＝（0，1，0），n＝（0，1，1），则两 平面所成的二面角的大小为 ⁠. 解析： cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ ，即＜m，n＞＝45°.所以 两平面所成的二面角为45°或180°－45°＝135°. 　 45°或135°　 高中总复习·数学 目 录 5. 已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E ＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值为 ⁠. 　 解析：如图，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1， 则平面ABC的法向量为n1＝（0，0，1），设平面AEF 的法向量为n2＝（x，y，z），因为A（1，0，0）， E（1，1， ），F（0，1， ），所以 ＝（ 0，1， ）， 高中总复习·数学 目 录 ＝（ －1，0， ），则 即 取x＝ 1，则y＝－1，z＝3，故n2＝（1，－1，3），所以 cos ＜n1，n2＞＝ ＝ ，所以平面AEF与平面ABC夹角的余弦值为 . 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 异面直线所成的角（师生共研过关） （1）（2025·全国Ⅰ卷17题改编）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥ 底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，设PA＝AB＝ ，BC＝2，则直线 AC与PB所成角的余弦值为 ⁠； 　 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面 ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AD⊥AB，所以 AB，AD，PA两两垂直，所以以A为坐标原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空 间直角坐标系A-xyz，如图所示，则B（ ，0，0），C（ ，2，0），P（0，0， ），则 ＝（ ，2，0）， ＝（ ，0，－ ），故 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，所以直线AC与PB所成角的余弦值为 . 高中总复习·数学 目 录 （2）如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相 垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.设异面直线 EM与AF所成的角为θ，则 cos θ的最大值为 ⁠. 　 高中总复习·数学 目 录 解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AQ所在直 线为z轴，建立空间直角坐标系（图略），不妨设AB＝2，则F（2，1， 0），E（1，0，0），设M（0，m，2）（0≤m≤2），故 ＝（2， 1，0）， ＝（－1，m，2），故 cos θ＝ ＝ ，设f （m）＝ ，观察分子、分母的变化，可知当m∈[0，2]时，f （m）单调递减，f（m）max＝f（0）＝ ，故 cos θ的最大值为 . 高中总复习·数学 目 录 用向量法求异面直线所成角的步骤 （1）坐标向量法 高中总复习·数学 目 录 （2）基向量法：在一些不适合建立空间直角坐标系的题目中，一般先把 直线的方向向量a，b用基向量表示，再由公式 cos ＜a，b＞＝ 求得 cos ＜a，b＞，进而求得两直线夹角. 高中总复习·数学 目 录 训练1 如图，已知以O为圆心，2为半径的圆在平面α上，若PO⊥α，且 PO＝4，OA，OB为圆O的半径，且∠AOB＝90°，M为AB的中点，则 异面直线OB与PM所成角的余弦值为 ⁠. 　 高中总复习·数学 目 录 解析：由PO⊥α且∠AOB＝90°可知OA，OB，OP两两 垂直.以O为坐标原点， ， ， 的方向分别为x 轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系.由题知O（0，0，0），P（0，0，4），A（2，0， 0），B（0，2，0），因为M为AB的中点，所以M（1，1，0），所以 ＝（1，1，－4）， ＝（0，2，0），则 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，所以异面直线OB与PM所成角的余弦值 为 . 高中总复习·数学 目 录 直线与平面所成的角（师生共研过关） （2025·北京高考17题）如图，四棱锥P-ABCD中，△ACD与△ABC 为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E为BC的中点. （1）F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥平面PAB； 高中总复习·数学 目 录 解： 证明：取PA的中点N，PB的中点M，连接FN，MN，GM， ∵△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°， 不妨设AD＝CD＝2，∴AC＝AB＝2 ， ∴BC＝4，又∵E，F分别为BC，PD的中点，∴FN＝ AD＝1，BE＝ 2，∴GM＝1， ∵∠DAC＝∠ACB＝45°∴AD∥BC，∴FN∥GM， ∴四边形FGMN为平行四边形， ∴FG∥MN， ∵FG⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，∴FG∥平面PAB. 高中总复习·数学 目 录 （2）若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求AB与平面PCD所成角的正弦值. 解：∵PA⊥平面ABCD，∴以A为原点，AC，AB，AP 所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐 标系， 设AD＝CD＝2，则A（0，0，0），B（0，2 ，0）， C（2 ，0，0），D（ ，－ ，0），P（0，0，2 ）， ∴ ＝（0，2 ，0）， ＝（ ， ，0）， ＝（－2 ，0，2 ）， 设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z）， 高中总复习·数学 目 录 ∴ ∴ 取x＝1，则y＝－1，z＝1，∴n＝（1，－1，1）， 设AB与平面PCD所成的角为θ， 则 sin θ＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ＝ ＝ ， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为 . 高中总复习·数学 目 录 利用空间向量求线面角的步骤 提醒：线面角的正弦值对应 向量夹角的余弦值的绝对值. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （2026·广东湛江模拟）如图，在四棱锥E-ABCD中，△ABE是正三角形，四边形ABCD是正方形，BC⊥平面ABE，F为BC的中点. （1）证明：AF⊥DE； 解： 证明：连接EF，DF，记DE的中点为G，连接AG，FG. 因为BC⊥平面ABE，所以BC⊥BE. 由△ABE是正三角形，四边形ABCD是正方形，F为BC的中点， 易得△BEF≌△CDF，则EF＝DF. 因为G是DE的中点，所以FG⊥DE. 又AD＝AE，所以AG⊥DE. 因为FG∩AG＝G，FG，AG⊂平面AFG， 所以DE⊥平面AFG， 从而AF⊥DE. 高中总复习·数学 目 录 （2）求直线AF与平面CDE所成角的正弦值. 解：记AB的中点为O，连接OE，则OE⊥AB. 以O为坐标原点，OE所在的直线为x轴，OB所在的直线 为y轴，过点O且与BC平行的直线为z轴，建立如图所示 的空间直角坐标系. 不妨令AB＝2，则A（0，－1，0），F（0，1，1），C（0，1，2），D（0，－1，2），E（ ，0，0）， 故 ＝（0，2，1）， ＝（0，－2，0）， ＝（ ，－1，－2） . 高中总复习·数学 目 录 设平面CDE的法向量为m＝（x，y，z），由 得 令x＝2，得y＝0，z＝ ，则m＝（2，0， ）. 设直线AF与平面CDE所成的角为θ， 则 sin θ＝ ＝ ＝ ， 故直线AF与平面CDE所成角的正弦值为 . 高中总复习·数学 目 录 二面角（平面与平面的夹角）（师生共研过关） 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2 . 高中总复习·数学 目 录 （1）求A到平面A1BC的距离； 解： 设点A到平面A1BC的距离为h，因为直三棱柱ABC-A1B1C1的体积 为4， 所以 ＝ S△ABC×AA1＝ ＝ ， 又△A1BC的面积为2 ，所以 ＝ h＝ ×2 h＝ ， 所以h＝ ， 即点A到平面A1BC的距离为 . 高中总复习·数学 目 录 （2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面 角A-BD-C的正弦值. 解：取A1B的中点E，连接AE，则AE⊥A1B， 因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1 ＝A1B，所以AE⊥平面A1BC，所以AE⊥BC， 又AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥BC， 因为AA1∩AE＝A，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥AB. 以B为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x， y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz， 由（1）知，AE＝ ，所以AA1＝AB＝2，A1B＝2 ， 高中总复习·数学 目 录 因为△A1BC的面积为2 ，所以2 ＝ ×A1B×BC，所以BC＝2，所以A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），E（0，1，1），则 ＝（1，1，1）， ＝（0，2，0）， 设平面ABD的法向量为n＝（x，y，z），则 即 令x＝1，得n＝（1，0，－1）， 高中总复习·数学 目 录 又平面BDC的一个法向量为 ＝（0，－1，1），所以 cos ＜ ，n＞＝ ＝ ＝－ ， 设二面角A-BD-C的平面角为θ， 则 sin θ＝ ＝ ， 所以二面角A-BD-C的正弦值为 . 高中总复习·数学 目 录 向量法求二面角（平面与平面的夹角）的方法 （1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后 通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形 判断所求角的大小； （2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂 直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的 大小. 高中总复习·数学 目 录 训练3 （2026·江苏南京模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点E在线段PD上，PB∥平 面AEC. （1）证明：E为PD的中点； 解： 证明：连接BD交AC于点O，连接EO. 因为底面ABCD为菱形，所以O为BD的中点. 又因为PB∥平面AEC，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EO， 所以PB∥EO， 所以E为PD的中点. 高中总复习·数学 目 录 （2）若AB＝2，二面角C-AE-D的余弦值为 ，求PA的长. 解：取BC中点F，连接AF. 在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，所以∠ABC＝60°， 则△ABC为正三角形， 所以AF⊥BC，又AD∥BC，所以AF⊥AD. 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AF，PA⊥AD，建立 空间直角坐标系A-xyz如图所示. 设AP＝t（t＞0）， 则C（ ，1，0），D（0，2，0），P（0，0，t），E（0，1， ），则 ＝（ ，1，0）， ＝（0，1， ）， 则平面AED的一个法向量为m＝（1，0，0）. 设平面ACE的一个法向量为n＝（x，y，z）， 高中总复习·数学 目 录 则 取n＝（－ ，3，－ ）， 因为二面角C-AE-D的余弦值为 ， 所以｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ ＝ ，解得t＝1（负值已舍去）， 所以PA＝1. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：45分钟，满分：58分） 目 录 1. （13分）（2026·江苏苏州模拟）在如图所示的几何体 ABCED中，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA ＝CB＝2DB，∠ACB＝90°，M为AD的中点. （1）证明：EM⊥AB； 1 2 3 4 解： 证明：由EC⊥平面ABC，AC，BC⊂平面 ABC，得EC⊥AC，EC⊥BC， 又∠ACB＝90°，则AC⊥BC，故以C为原点建立如图所 示的空间直角坐标系， 设DB＝1，则CE＝CA＝CB＝2. 高中总复习·数学 目 录 则A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D （0，2，1），M（1，1， ）， ∴ ＝（1，1，－ ）， ＝（－2，2，0）， 则 · ＝－2＋2＋0＝0， ∴ ⊥ ，即EM⊥AB. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值. 解： 由（1）知， ＝（1，－1， ）， ＝ （－2，0，2）， ＝（0，－2，1）， 设平面ADE的法向量为n＝（x，y，z）， 则 取n＝（2，1，2），设直线BM与平面ADE所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ . 因此直线BM与平面ADE所成角的正弦值为 . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 2. （15分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，P在 底面的投影O落在线段AD上. （1）证明：AP⊥BC； 解： 证明：因为AB＝AC，D为BC的中点，故 AD⊥BC， 又PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故得PO⊥BC， 又PO∩AD＝O，PO，AD⊂平面APO，于是BC⊥平面 APO， AP⊂平面APO，从而AP⊥BC. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2，M在线段AP上，且满足平 面AMC⊥平面BMC，求直线BM与直线CP夹角的正弦值. 解： 以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射 线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 则O（0，0，0），A（0，－3，0），B（4，2，0），C （－4，2，0），P（0，0，4）. 于是 ＝（0，3，4）， ＝（－8，0，0）， 令 ＝λ ＝（0，3λ，4λ），又因为 ＝（－4，5，0）， 设平面AMC的法向量为m＝（x1，y1，z1）. 所以 所以m＝（5，4，－3）. 又 ＝（－8，0，0）， ＝（－4，－5，0）， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 所以 ＝ ＋ ＝（－4，3λ－5，4λ）， 设平面BMC的法向量为n＝（x2，y2，z2）， 所以 所以n＝（0， 4λ，5－3λ）， 根据平面AMC⊥平面BMC，即m·n＝0，所以λ＝ . 所以 ＝ ， ＝ ＋ ＝（－4，－ ， ），又 ＝（4，－2，4）， · ＝0， 所以CP⊥BM，即直线BM与直线CP所成角为90°，其正弦值为1. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 3. （15分）（2026·江苏南京、盐城模拟）如图，△ABC内接于圆O，AB 为圆O的直径，CD⊥平面ABC，E为线段AD中点. （1）求证：平面BCE⊥平面ACD； 解： 证明：因为△ABC内接于圆O，AB为圆O的直 径，所以AC⊥BC. 因为CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥BC. 又AC，CD⊂平面ACD，AC∩CD＝C，所以BC⊥平面 ACD. 因为BC⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面ACD. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若AB＝ ，BC＝1，CD＝2 ，求平面BCE与平面BDE所成锐 二面角的余弦值. 解： 因为CD⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC， 所以CD⊥AC，CD⊥BC. 以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB＝ ，BC＝1，所以AC＝2， 则A（2，0，0），B（0，1，0），D（0，0，2 ），E （1，0， ）， 所以 ＝（1，0， ）， ＝（0，1，0）. 设平面BCE的法向量m＝（x1，y1，z1）， 由 得 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 不妨设z1＝1，则x1＝－ ， 所以平面BCE的一个法向量m＝（－ ，0，1）. 又 ＝（0，－1，2 ）， ＝（1，0，－ ）， 设平面BDE的法向量n＝（x2，y2，z2）， 由 得 不妨设z2＝1，则x2＝ ，y2＝2 ， 所以平面BDE的一个法向量n＝（ ，2 ，1）. 所以｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ ＝ ， 即平面BCE与平面BDE所成锐二面角的余弦值为 . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 4. （15分）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷17题）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝ . （1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC； 解： 证明：因为PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面 ABCD，所以PA⊥AD， 又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，所以 AD⊥平面PAB， 而AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB. 因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB， 根据平面知识可知AD∥BC， 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为 ，求AD. 解： 法一　如图所示，过点D作DE⊥AC于E，再过 点E作EF⊥CP于F，连接DF， 因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平 面PAC∩平面ABCD＝AC， 所以DE⊥平面PAC，又EF⊥CP，所以CP⊥平面DEF，所以CP⊥DF， 根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 即 sin ∠DFE＝ ，即tan∠DFE＝ . 因为AD⊥DC，设AD＝x，则CD＝ ， 由等面积法可得，DE＝ ， 又CE＝ ＝ ，而△EFC为等 腰直角三角形，所以EF＝ ， 故tan∠DFE＝ ＝ ，解得x＝ ，即AD＝ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 法二　以DA，DC分别为x轴，y轴，过D作与平面 ABCD垂直的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz， 令AD＝t，则A（t，0，0），P（t，0，2），D（0，0，0），DC＝ ，C（0， ，0）， 设平面ACP的法向量为n1＝（x1，y1，z1）， 则 所以 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 则 所以 不妨设z2＝t，则x2＝－2，y2＝0，n2＝（－2，0，t）. 因为二面角A-CP-D的正弦值为 ，则余弦值为 ， 所以 ＝｜ cos ＜n1，n2＞｜＝ ＝ ， 所以t＝ ，所以AD＝ . 不妨设x1＝ ，则y1＝t，z1＝0，n1＝（ ，t，0）. 设平面CPD的法向量为n2＝（x2，y2，z2）， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $