第4章 第7节 正弦定理和余弦定理——2027届高三数学 一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“正弦定理和余弦定理”专题，依据课标要求梳理了三角形度量、面积计算、综合应用三大核心考点，通过分析近五年高考真题明确解三角形、面积计算、最值问题的高频考查方向，构建了知识梳理-考点突破-真题训练的系统备考体系。 课件亮点在于“真题溯源+一题多解+规律建模”的备考策略，如以2023全国乙卷解三角形题为例，提炼“先定定理后求关系”的解题步骤，培养学生的数学思维和运算能力。针对面积计算、最值范围等典型题型，总结“角化边”“边化角”等突破方法，帮助学生熟练掌握答题技巧，教师可依托此课件实现考点精准覆盖，提升复习效率。

第四章 第7节　正弦定理和余弦定理 2027届高三数学总复习 课标解读 课前练习 目录索引 考点突破 知识梳理 课标解读　1.通过对三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.3.会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题. 课前练习 1.(人教A版必修第二册6.4.3节练习第1题(2)改编)在△ABC中,已知a=5,b=2,C=,则c=(　　) A. B.19 C. D.39 A 解析 由余弦定理,得 c== . 故选A. 2.(人教B版必修第四册9.1.2节练习第4题改编)在△ABC中,若a=3,b=2,c=,则△ABC的面积等于(　　) A. B.3 C. D. C 解析 由余弦定理,得cos C==-,所以sin C=,于是△ABC的面积为S=absin C=×3×2×.故选C. 3.(人教A版必修第二册6.4.3节例8改编)在△ABC中,已知B=30°,b=,c=2,则A=　 　　　　.  15°或105° 解析 由正弦定理,得sin C=. 因为c>b,B=30°,所以30°<C<180°. 于是C=45°,或C=135°. 当C=45°时,A=105°. 当C=135°时,A=15°. 4.(人教B版必修第四册9.1.1节练习第5题改编)在△ABC中,若a=3,b=2,B=2A,则cos A=　　　　　,sin B=　　　　　.  解析 因为B=2A,所以sin B=sin 2A,即sin B=2sin Acos A.由正弦定理可得b=2acos A,即2=2×3×cos A,故cos A=,则sin A=, 所以sin B=2sin Acos A=2×. 知识梳理 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 =2R a2=　　　 　　　,  b2=a2+c2-2accos B,c2=　 　　　　　  b2+c2-2bccos A a2+b2-2abcos C 定理 正弦定理 余弦定理 常见 变形 (1)a=　　　　,b=　　　　　, c=　　　　.  (2)sin A=,sin B=,sin C=. (3)a∶b∶c=　 　　　　　　　  cos A=, cos B=, cos C= 可解 决的 问题 (1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角 (1)已知三边,求各角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角; (3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边 2Rsin A 2Rsin B 　2Rsin C　 sin A∶sin B∶sin C 2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况 A的分类 A为锐角 A为钝角或直角 图形         关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形的面积公式 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则面积 S=absin C=　　　　=　　　　.  微点拨 △ABC的面积公式的其他形式 (1)S△ABC=aha(ha表示边a上的高); (2)S△ABC=(a+b+c)r(r为△ABC内切圆半径). bcsin A 　acsin B 考点突破 考点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1　(1)(2025·全国2,5)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° A 解析 在△ABC中,由余弦定理得cos A= ,又0°<A<180°,所以A=45°.故选A. 教考链接 (人教B版必修第四册9.1.2节练习A第3题)已知△ABC中,a=8,b=6,c=2,求角C. 解 由余弦定理,得cos C=. 由于0<C<π,所以C=. (2)(2023·全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 acos B-bcos A=c,且C=,则B=(　　) A. B. C. D. C 解析 由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C, 即sin(A-B)=sin C. 又因为A,B,C是△ABC的内角, 所以A-B=C,所以A-B=.① 又因为A+B=π-C=,② 结合①②解得B=.故选C. (3)(2024·全国甲,理11)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2=ac,则sin A+sin C=(　　) A. B. C. D. C 解析 (方法1)由b2=ac,得sin Asin C=sin2B=.又b2=a2+c2-2accos B =a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,即sin2A+sin2C=sin Asin C=, 则(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=,所以sin A+sin C=.故选C. (方法2)由已知及余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,所以(a+c)2=b2+3ac.因为b2=ac,所以ac=b2,所以(a+c)2=b2+3×b2=b2,所以a+c=b.由正弦定理得,所以sin A+sin C =sin B=sin 60°=.故选C. 规律方法　用正弦、余弦定理求解三角形基本量的步骤及方法 [对点训练1](1)(2026·安徽五校联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两解的是(　　) A.b=6,A=60°,C=45° B.b=,c=6,B=60° C.a=,b=2,A=45° D.a=8,b=4,A=80° C 解析 对于A选项,三角形的三个角确定,一条边确定,则三角形只有一个解,故A错误;对于B选项,csin B=3=b,所以三角形无解,故B错误;对于C选项,bsin A=<2,所以三角形有两个解,故C正确;对于D选项,a>b,所以B<A=80°,三角形只有一个解,故D错误.故选C. (2)(2026·安徽蚌埠模拟)在△ABC中,a,b,c是角A,B,C所对的边长,若 sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,则=(　　) A. B.1 C. D.2 B 解析 因为sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,所以a∶b∶c=4∶5∶6.不妨设a=4k,k>0,则b=5k,c=6k.由余弦定理,知cos A=,所以cos A==1.故选B. 考点二　利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状 例2　(2026·浙江宁波期中)设△ABC中的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos C+ccos A=bsin B,则△ABC的形状是(　　) A.锐角三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 D 解析 (方法1)因为acos C+ccos A=bsin B,由正弦定理得sin Acos C+ sin Ccos A=sin2B,整理得sin(A+C)=sin B=sin2B.因为B∈(0,π),所以sin B≠0,因此sin B=1,故B=,即△ABC为直角三角形.故选D. (方法2)因为acos C+ccos A=bsin B,由余弦定理,得a·+c·=bsin B,整理得b=bsin B.由于b>0,所以sin B=1,故B=,即△ABC为直角三角形.故选D. 规律方法　判断三角形形状的基本方法 [对点训练2](2025·山东日照模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足2acos B=c,则该三角形为(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不能确定 B 解析 因为2acos B=c,由正弦定理得2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B +sin Bcos A,所以sin Acos B-sin Bcos A=0,即sin(A-B)=0.又0<A<π,0<B<π,则-π<A-B<π,则A-B=0,所以A=B,所以该三角形为等腰三角形.故选B. 考点三　正弦定理、余弦定理的综合应用 考向1　三角形的面积计算问题 例3　(2026·山东潍坊调研)在△ABC中,sin2A+sin(+A)=. (1)求A; (2)若∠BAC的角平分线AD交边BC于点D,且AD=2,CD=,求△ABC的面积. 解 (1)因为sin2A+sin(+A)=,所以sin2A+cos A=, 即cos2A-cos A-=0, 解得cos A=-或cos A=(舍去). 又因为0<A<π,所以A=. (2)由(1)知,∠CAD=∠BAD=. 在△CAD中,由余弦定理得,CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos∠CAD, 所以()2=22+AC2-2×2×AC×, 整理得AC2-2AC-3=0, 所以AC=3(AC=-1舍去). 又因为AD是∠BAC的角平分线,所以S△ACD+S△ABD=S△ABC, 即AC·AD·sinAB·AD·sinAC·AB·sin, 所以AB=AB,解得AB=6. 因此S△ABC=AC·AB·sin×3×6×. 规律方法　三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用含该角的公式. (2)与面积有关的问题,一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化. 三角形面积公式还可用其他几何量表示:S=(a+b+c)r,其中a+b+c为三角形的周长,r为三角形内切圆的半径. [对点训练3](2023·全国乙,理18)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2, AC=1. (1)求sin∠ABC; (2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积. 解 (1)在△ABC中,由余弦定理和题设可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=2×2+1×1-2×2×1×cos 120°=7,故BC=. 由正弦定理得sin∠ABC=·sin∠BAC. 因此sin∠ABC=. (2)由(1)和题设得cos∠ABC=, 故tan∠ABC=. 由题设可知tan∠ABC=,故AD=. 所以△ADC的面积为AC·AD·sin(120°-90°)=. 考向2　三角形中的三角恒等变换问题 例4　(2026·山东聊城三模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 asin B+btan Bcos A=2bsin C,则B=(　　) A. B. C. D. B 解析 由asin B+btan Bcos A=2bsin C,结合正弦定理可得sin Asin B+sin Btan Bcos A=2sin Bsin C.因为sin B≠0,所以sin A+tan Bcos A=2sin C,即sin A+=2sin C,所以=2sin C,即=2sin C,因此=2sin C.由于sin C≠0,所以cos B=.由于B∈(0,π),则B=.故选B. 规律方法　求解三角形中三角恒等变换问题的方法 (1)利用正弦定理将边化为角,得到关于内角A,B,C的关系式; (2)利用和差倍角公式、同角关系式及其变形,通过正用、逆用、变形用等对三角关系式化简; (3)结合内角和定理A+B+C=π及诱导公式等进行角的转化,进一步化简三角函数式解决问题. [对点训练4](2025·河南鹤壁期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若btan B+btan A=-2ctan B,则A=(　　) A. B. C. D. B 解析 由btan B+btan A=-2ctan B,结合正弦定理可得,sin B×+sin B ×=-2sin C×,整理得cos Asin B+sin Acos B=-2sin Ccos A,则sin(A+B)=-2sin C·cos A,即sin C=-2sin Ccos A.又0<C<π,所以sin C≠0,所以cos A=-.又因为0<A<π,所以A=.故选B. 考向3　三角形中的最值与范围问题 例5　[一题多变](2025·安徽六安模拟)在△ABC中,已知a=bcos C+csin B, b=2,则△ABC周长的最大值为　　　　.  6 解析 因为a=bcos C+csin B, 所以sin A=sin Bcos C+sin Csin B, 即sin(B+C)=sin Bcos C+sin Csin B, 所以sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Csin B, 因此sin Csin B=cos Bsin C. 由于sin C≠0,故sin B=cos B,即tan B=. 由于B∈(0,π),故B=. (方法1)由于b=2,由余弦定理,得22=a2+c2-2accos,即a2+c2-ac=4, 所以(a+c)2-3ac=4,故(a+c)2-4=3ac≤3()2,所以(a+c)2≤4, 解得a+c≤4,当且仅当a=c时,等号成立,所以周长a+b+c=2+a+c≤6,即周长的最大值为6. (方法2)由于b=2,由正弦定理,得, 所以a=sin A,c=sin C,于是周长a+b+c=2+(sin A+sin C). 又A+C=, 所以a+b+c=2+[sin A+sin(-A)]=2+sin A+cos A)=2+4sin(A+). 又因为0<A<,所以当A+,即A=时,周长取最大值6. AI变式 [变式1](增加限制条件)在锐角三角形ABC中,已知a=bcos C+csin B,b=2,则△ABC周长的取值范围为　　　　　　　.  (2+2,6] 解析 由方法2可知,周长为a+b+c=2+4sin(A+), 若△ABC为锐角三角形,则0<C=-A<,于是<A<, 因此<A+,所以<sin(A+)≤1, 则2+2<2+4sin(A+)≤6, 即周长取值范围是(2+2,6]. [变式2](改变求最值的目标量)在△ABC中,已知a=bcos C+csin B,b=2,则△ABC面积的最大值为　　　　.  解析 设△ABC的面积为S,则S=acsin B=acsinac. 由方法1知,a2+c2-ac=4,所以a2+c2=ac+4≥2ac, 于是ac≤4,当且仅当a=c时,等号成立, 所以S=ac≤×4=, 故△ABC面积的最大值为. 规律方法　解决三角形最值与范围问题的两个基本途径 (1)利用均值不等式解决三角形的最值问题:在解决三角形问题时,主要涉及边与角的关系,特别是在运用余弦定理计算周长、计算面积时,会出现三角形两边的平方和、两边的积、两边的和等代数式,这就为均值不等式的应用提供了条件,因此在解决最值或范围问题时,应注意均值不等式的合理运用. (2)借助三角恒等变换解决三角形中的最值或范围问题:解决三角形问题时,通过正弦定理与余弦定理的应用,将问题转化为某一内角的三角函数,然后借助三角恒等变换,求出三角函数的最值或值域,解决相关的最值或范围问题. [对点训练5](2025·浙江丽水期中)在锐角三角形ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,且c=2,则△ABC的面积S的取值范围是　　　 　　.  (,2) 解析 因为, 由正弦定理,得,即(a-b)(a+b)=c(a-c),即a2-b2=ac-c2. 由余弦定理得cos B=. 因为0°<B<180°,所以B=60°,则A+C=120°. 又c=2,由正弦定理,得a=+1,因此S=acsin B=asin 60°=+1). 因为△ABC为锐角三角形,则30°<C<90°,从而tan C∈(,+∞), 所以S∈(,2). 思维进阶　射影定理 射影定理又称“第一余弦定理”,即在△ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,b,c,则a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A.以下用三种方法分别证明: (1)a=bcos C+ccos B(用正弦定理证明). 因为a=2Rsin A=2Rsin(B+C)=2Rsin Bcos C+2Rcos Bsin C=bcos C+ccos B,所以a=bcos C+ccos B成立. (2)b=ccos A+acos C(用余弦定理证明). 因为ccos A+acos C=c·=b, 所以b=ccos A+acos C成立. (3)c=acos B+bcos A(用平面向量证明). 因为△ABC中有, 即c2=accos B+bccos A,故c=acos B+bcos A成立. 典例(1)(2025·河北沧州期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若ccos B-(2a-b)cos C=0,则C=(　　) A. B. C. D. B 解析 由ccos B-(2a-b)cos C=0,得ccos B+bcos C=2acos C.根据射影定理,得a=2acos C,所以cos C=.又0<C<π,所以C=.故选B. (2)(2026·广东揭阳期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 bcos C+bsin C=a+c,则B=(　　) A. B. C. D. B 解析 由bcos C+bsin C=a+c,结合射影定理,可得bcos C+bsin C =bcos C+ccos B+c,因此bsin C=ccos B+c.由正弦定理,得sin Bsin C =sin Ccos B+sin C.又sin C≠0,sin B=cos B+1,即sin B-cos B=1,所以2sin(B-)=1,所以sin(B-)=.因为0<B<π,所以-<B-,所以B-,所以B=.故选B. [对点训练]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,则C=(　　) A. B. C. D. C 解析 由,得,所以2acos C+bcos C+ccos B=0,所以2acos C+a=0,即cos C=-.因为0<C<π,所以C=.故选C. $