精品解析：陈经纶期中试卷

北京市陈经纶中学分校 2024-2025学年度七年级第二学期期中统一检测 数学试卷 （考试时间90分钟 满分100分） 考生须知： 1、在试卷和答题卡上认真填写班级、姓名、考号． 2、试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3、在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4、考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. ±2 C. 16 D. ±16 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 如果，，那么 D. 负数没有平方根 5. 已知，下列不等式变形中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 7. 小王同学参观“探秘中轴线”展览助力“北京中轴线申遗”，为更详细地了解所生活的北京城的历史，她查阅资料发现了如图．若按图所示建立平面直角坐标系，表示永定门的点的坐标为，表示西直门的点的坐标为，则表示下列地点的点的大致坐标正确的是（ ） A. 健德门 B. 东直门 C. 会城门 D. 宣武门 8. 如图，，，，，…按此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 用不等式表示“的3倍与7的差小于11”为______． 10. 物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是．在一次实验中，一个物体从高的建筑物上自由下落，到达地面需要的时间为________s． 11. 如图，要在河岸l上建一个水泵房，修建引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样修建引水渠最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是________． 12. 用一个a的值，说明命题“”是假命题，这个值可以是______． 13. 如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD＝∠AOC，则∠BOC＝____． 14. 某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度和第三次转过的角度分别为、，则第二次拐弯角（）的度数是________． 15. 如图，四边形纸片，．折叠纸片，使点D落在上的点处，点C落在点处，折痕为．若，则______． 16. 已知四个互不相等的整数a、b、c、M满足：． （1）则M与b的关系式为________； （2）若，则的值为________． 三、解答题（本题共52分．第17-22题每题5分，第23每题4分，第24-26题每题6分） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， ∴________． ∵平分， ∴________=________． ． ， ． ∴________________．（理由：________） ．（理由：________） 21. 如图，三角形ABC的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点A，B，C的对应点． （1）画出三角形； （2）若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，写出点的坐标；（________，________）； （3）若点D在y轴上且三角形的面积大于4，直接写出点D的纵坐标的取值范围． 22. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是非负整数，求m的值． 23. 阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： （1）比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） （2）已知，且，若，，试比较A和B的大小． 24. 科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹． （1）求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹； （2）快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数． 25. 已知：三角形，点M是平面上一点，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，过点A作，与所在的直线交于点F． （1）如图1，当，时，证明； （2）若，． ①如图2，当点M在三角形内部时，探究与之间的数量关系； ②如图3，当点M在三角形外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的与之间的数量关系． 26. 在平面直角坐标系中，点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q落在线段上，则称点P为线段的内垂点．若垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点． 已知点，，． （1）在点、、中，线段的内垂点为________； （2）点M是线段的最佳内垂点且到线段的距离是2，则点M的坐标为________； （3）点在轴上且为线段的内垂点，则点的纵坐标的取值范围是________； （4）已知点，，．若线段上存在线段的最佳内垂点，求的取值范围． 附加题（共10分，第1题2分，第2题4分，第3题4分） 27. 参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到了以下消息：（分别以相应字母来对应他们本人的成绩） 信息序号 文字信息 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E 这5位同学的比赛名次依次是________．（用“>”连接） 28. 方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 29. 对实数x，y定义运算：，其中a，b是常数．令，，，如果，，那么k的取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市陈经纶中学分校 2024-2025学年度七年级第二学期期中统一检测 数学试卷 （考试时间90分钟 满分100分） 考生须知： 1、在试卷和答题卡上认真填写班级、姓名、考号． 2、试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3、在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4、考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. ±2 C. 16 D. ±16 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根的意义求解即可，正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 【详解】∵(±2)2=4， ∴4的平方根是±2，即 故选：B 【点睛】本题考查了平方根的意义，如果个一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点的坐标为，可得，， ∴点在第四象限． 3. 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将这组值代入二元一次方程即可得出答案． 【详解】解：将代入得：， 解得：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，正确理解方程的解是解题的关键． 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 如果，，那么 D. 负数没有平方根 【答案】A 【解析】 【分析】本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可． 【详解】A、如果两个角相等，那么它们是对顶角，如等腰三角形的两个底角相等，这两个角不是对顶角，故A是假命题，符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，故B是真命题，不符合题意； C、如果，那么，故C是真命题，不符合题意； D、负数没有平方根，故D是真命题，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题时可以找到其反例． 5. 已知，下列不等式变形中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，A选项错误； ∵， ∴，B选项错误； ∵， ∴，C选项正确； ∵， ∴，D选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是本题的关键． 6. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵AB∥CD， ∴∠3=∠1=65°， ∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°． 考点：平行线的性质 7. 小王同学参观“探秘中轴线”展览助力“北京中轴线申遗”，为更详细地了解所生活的北京城的历史，她查阅资料发现了如图．若按图所示建立平面直角坐标系，表示永定门的点的坐标为，表示西直门的点的坐标为，则表示下列地点的点的大致坐标正确的是（ ） A. 健德门 B. 东直门 C. 会城门 D. 宣武门 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知点永定门的坐标为和西直门的坐标为，确定平面直角坐标系的原点及单位长度，结合图形中各点的位置进行判断即可． 【详解】解：∵永定门的坐标为，西直门的坐标为，  ∴ 图中网格小正方形的边长为1个单位长度，且轴为中轴线，轴为过永定门的水平线． 观察图象，结合平面直角坐标系的原点及单位长度，则： 健德门的大致坐标，A选项错误； 东直门的大致坐标，B选项正确； 会城门的大致坐标，C选项错误； 宣武门的大致坐标，D选项错误． 8. 如图，，，，，…按此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形中各点的坐标变化规律，发现点的下标 与 的余数决定了点所在的象限及坐标数值规律，根据 的余数确定 的坐标特征即可求解． 【详解】解：，，，， ，，，， ，…… 观察各个点的坐标，发现每4个点一组呈现规律性变化． ∵， ∴观察点，，，……的坐标规律发现： 当下标时， ，坐标， 又， ． 二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 用不等式表示“的3倍与7的差小于11”为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先表示“的3倍”为，再表示“与7的差”为，最后再表示“小于11”为． 【详解】解：∵“的3倍”为，再表示“与7的差”为， ∴用不等式表示“的3倍与7的差小于11”为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”、“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 10. 物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是．在一次实验中，一个物体从高的建筑物上自由下落，到达地面需要的时间为________s． 【答案】10 【解析】 【分析】直接将490代入所给关系式，可求出，再利用算术平方根定义求解即可． 【详解】解：把代入中， 得， ∴． ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查的知识点利用算术平方根求解，此题中需注意的是时间t的取值范围是大于0的． 11. 如图，要在河岸l上建一个水泵房，修建引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样修建引水渠最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段最短原理解题． 【详解】过点作于点，将水泵房建在了处， 这样做既省人力又省物力，其数学原理是：垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查垂线段最短的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 用一个a的值，说明命题“”是假命题，这个值可以是______． 【答案】-1（答案不唯一，即可．） 【解析】 【分析】选取的的值不满足即可． 【详解】解：时，满足是实数，但不满足， 所以可作为说明命题“如果是任意实数，那么“”是假命题的一个反例． 故答案为：-1（答案不唯一，即可．） 【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 13. 如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD＝∠AOC，则∠BOC＝____． 【答案】120° 【解析】 【详解】解： ① 又 ② 由①、②得， ∵∠BOC与∠AOC是邻补角， 故答案为： 14. 某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度和第三次转过的角度分别为、，则第二次拐弯角（）的度数是________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】过作，根据平行线的性质分别求出、的度数，根据即可求解． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15. 如图，四边形纸片，．折叠纸片，使点D落在上的点处，点C落在点处，折痕为．若，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后利用平角的定义求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵折叠纸片，使点D落在上的点处， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角的定义等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 16. 已知四个互不相等的整数a、b、c、M满足：． （1）则M与b的关系式为________； （2）若，则的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）观察方程组中，的系数，利用加减消元法消去和，即可得到与的关系式； （2）根据的取值范围结合为整数，求出的值，再由原方程组推导出与的关系，代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：（1）， 得：， 得：， 得：； （2）∵， ∴， 解得：， ∵b为整数， ∴， ∵， ∴得：， ∴， ∴， ∴的值为2100． 三、解答题（本题共52分．第17-22题每题5分，第23每题4分，第24-26题每题6分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根、立方根和绝对值的性质计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了实数运算，熟练掌握算术平方根、立方根和绝对值的性质是解题关键． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】根据加减法消元解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解： ，得 ， ，得 ， ， 将代入①，得 ， ∴原方程组的解为． 19. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 20. 如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， ∴________． ∵平分， ∴________=________． ． ， ． ∴________________．（理由：________） ．（理由：________） 【答案】；；；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【分析】根据平行线的判定与性质证明即可． 【详解】略 21. 如图，三角形ABC的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点A，B，C的对应点． （1）画出三角形； （2）若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，写出点的坐标；（________，________）； （3）若点D在y轴上且三角形的面积大于4，直接写出点D的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）解：如图1，三角形即为所求， （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画出图形，即可求解； （2）根据平移的性质即可求解； （3）先推导出点B到y轴的距离为4，，再根据三角形面积大于4，列不等式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形， ∴点向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后的对应点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，点D的纵坐标为， ∴点B到y轴的距离为4，， ∴， 即， ， 解得或． 22. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是非负整数，求m的值． 【答案】或 【解析】 【分析】先把m当做已知数，求出的值，再根据列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：方程组， 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵m是非负整数， ∴或． 23. 阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： （1）比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） （2）已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹． （1）求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹； （2）快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数． 【答案】（1）A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹 （2）最多应购进A种机器人100台 【解析】 【分析】（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，列方程组，解出即可； （2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，根据题意列不等式40m+50（200-m）≥9000，求最大整数解即可． 【小问1详解】 设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹， 根据题意，得 解得， 答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹． 【小问2详解】 设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台． 根据题意，得40m+50（200-m）≥9000， 解得m≤100． 答：最多应购进A种机器人100台． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键． 25. 已知：三角形，点M是平面上一点，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，过点A作，与所在的直线交于点F． （1）如图1，当，时，证明； （2）若，． ①如图2，当点M在三角形内部时，探究与之间的数量关系； ②如图3，当点M在三角形外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的与之间的数量关系． 【答案】（1）证明：，， ∴， ，， ， 又， ， ． （2）①；②； 【解析】 【分析】(1)根据同角的余角相等得到，再由平行线的性质得到，从而得出结论； (2)①先推导出，，得到，继而推导出，得到，即可解答； ②先推导出，，得到，推导出，得到，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①，理由为： 是的外角 ， 是的外角， ， ∴， 即， ， ， ∴； ②补全图形见下图，，理由如下： 是的外角 ， 即， 是的外角， ， 即， ， 即 ， ， ． 26. 在平面直角坐标系中，点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q落在线段上，则称点P为线段的内垂点．若垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点． 已知点，，． （1）在点、、中，线段的内垂点为________； （2）点M是线段的最佳内垂点且到线段的距离是2，则点M的坐标为________； （3）点在轴上且为线段的内垂点，则点的纵坐标的取值范围是________； （4）已知点，，．若线段上存在线段的最佳内垂点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或； （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义解决问题即可； （2）满足条件的点在线段的垂直平分线上； （3）画出图象即可解决问题； （4）分两种情况讨论，构建不等式组解决问题即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴轴， ∵， ∴在点、、中，线段的内垂点； 【小问2详解】 解：∵垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点． ∴当P在的垂直平分线上时，P为最佳内垂点， ∴点Q在的垂直平分线上， 又∵M到线段的距离是2， ∴或； 【小问3详解】 解：如图，作交y轴于E，作交y轴于F， ∵N为线段的内垂点， ∴N在线段上， ∴， 【小问4详解】 解：当点F在点C左侧时， ∵，， ∴的中点为， ∵线段上存在线段的最佳内垂点， ∴， ∴， 当点F在点C右侧时， 同理可得：， ∴， 综上可知：或． 附加题（共10分，第1题2分，第2题4分，第3题4分） 27. 参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到了以下消息：（分别以相应字母来对应他们本人的成绩） 信息序号 文字信息 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E 这5位同学的比赛名次依次是________．（用“>”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据推理得出几位同学的名次即可． 【详解】根据题意得到各信息的数学表达式如下： ①， ②， ③， ④． 将①代入③得： ⑤， 由②④得： ⑥， 由①得，代入④得： ， 移项整理得 ⑦， 由⑤得，将和代入②得： ， 移项整理得 ⑧， 结合⑥⑦⑧得 ． 28. 方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可． 将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同． 【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键． 29. 对实数x，y定义运算：，其中a，b是常数．令，，，如果，，那么k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义分别表示出，，，再由，的取值范围得到和的范围，将 变形为 ，利用不等式的性质求解的取值范围即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴①，②， 得，③， 得，④， 得，⑤， 得，， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $