河北承德市第八中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

**基本信息** 高二下学期期中数学试卷，涵盖函数导数、概率统计、排列组合等模块，以航天夏令营、“六艺”文化为情境，融合基础运算与综合应用，体现数学眼光与语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|概率事件、导数计算、二项式定理|如第1题以抛硬币定义随机变量，考查数学抽象| |多选题|3/18|排列组合、概率公式、函数性质|第9题“六艺”课程安排，融合传统文化与计数原理| |填空题|3/15|二项式系数、导数单调性|第14题通过导数恒成立求参数，考查逻辑推理| |解答题|5/77|导数综合、二项式定理、排列应用|第19题航天夏令营拍照，结合插空法与定序问题，体现数学应用|

河北省承德市第八中学2025--2026学年第二学期期中考试高二学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．先后抛掷两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为，则表示的是（    ） A．第一次抛硬币 B．恰有一枚硬币正面朝上 C．硬币正面朝上面的数字是1 D．先抛一枚硬币 2．已知甲组有名男生名女生，乙组有2名男生4名女生，如果随机选1个组，再从该组中随机选1名学生，则该学生是女生的概率为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数满足，则（   ） A．4 B．-4 C．-2 D．2 5．（    ） A． B． C．1 D． 6．若，则（    ） A．45 B．20 C．135 D．120 7．如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（    ）    A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 8．已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（   ） A．若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法 B．若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法 C．若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法 D．若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法 10．对于随机事件A，B，若，，，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的对称中心为 B．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 C．存在实数使曲线是轴对称图形 D．当时，函数的极大值点为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知二项式展开式中的系数为，则实数___________． 13．已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则由小到大为_______． 14．若在上单调递增，则a的最大值为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．本小题13分已知函数. (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 16．本小题15分设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 17．本小题15分已知函数． (1)若函数在定义域上不单调，求实数的取值范围； (2)若，且函数有三个零点，求实数的取值范围； (3)若，过点作函数的切线，求切线方程． 18．本小题17分已知在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，并且所有项的系数之和为1． (1)求和的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中的常数项． (4)若，求．（结果用数字表达） 19．本小题17分某航天夏令营结束后，5名学生（含学生甲）和3位老师（含老师乙）站成一排拍照留念. (1)求3位老师互不相邻的排法种数； (2)求甲不排最左端且乙不排最右端的排法种数； (3)若保持原来5名学生和3位老师的相对位置不变，有3位家长想加入其中站成一排拍照，求所有可能的排法种数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B D D D C ACD AC 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】根据随机变量的含义逐项进行判断即可. 【详解】对于A选项，“第一次抛硬币”是抛掷动作，和正面朝上的硬币数为1的含义无关，描述错误，故A错误； 对于B选项，“恰有一枚硬币正面朝上”对应的正面朝上的硬币数恰好为1，符合“”表示的含义，故B正确； 对于C选项，硬币的正反面不存在“正面朝上面的数字是1”的情况，和“”的含义无关，故C错误； 对于D选项，“先抛一枚硬币”是抛掷动作，和正面朝上的硬币数为1的含义无关，故D错误. 综上所述，B选项正确. 2．B 【详解】记事件为“选出的学生是女生”，事件为“选中甲组”，事件为“选中乙组”. ∵ 随机选取个组，两组被选中的概率相等，∴ . ∵ 甲组共有名学生，其中女生2名，∴ . ∵ 乙组共有名学生，其中女生4名，∴ . 根据全概率公式可得， ∴ . 3．D 【分析】先求出导函数，然后令即可求解. 【详解】对函数求导得，令得，解得. 4．B 【分析】由题设结合导数定义可得答案. 【详解】.故选：B. 5．D 【分析】根据二项式定理即可得到答案. 【详解】因为 . 6．D 【详解】若，则或， 当时，（舍去）； 当时，. 所以. 所以. 7．D 【详解】由图象可知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以在处取极大值，故A正确； 由当时，， 可得在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和， 所以在上存在最小值，故C正确； 若，，，，， 函数在上至多有4个零点，故D错误. 8．C 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 9．ACD 【分析】利用组合数的公式可判断A，利用定序相除可判断B，利用插空法可判断C，分情况讨论可判断D. 【详解】学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法，A正确； 课程“乐”排在“书”前面，可得课程共有种排法，B错误； 课程“射”“御”排在不相邻两个月，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，C正确； 课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，利用分类加法计数原理，当“数”在第六个月时共有种； 当“数”既不在第一个月也不在第六个月时，共有种， 故课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，课程共有种排法，D正确． 故选：ACD 10．AC 【详解】对于A，因为，，， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 11．AC 【分析】计算出，的对称中心为，故A正确；利用判别式即可判断B；利用偶函数的定义即可判断C；利用极值点的定义判断D. 【详解】对于A，当时，，，故， 所以的对称中心为，所以A选项正确； 对于B，若函数在R上单调递增，则恒成立， ，解得，所以B选项错误； 对于C，当时，， 对于函数，因为， 所以是偶函数， 即曲线关于对称，是轴对称图形，所以C选项正确； 对于D，，令，得或0， 当时，或， 所以在区间上单调递增； 在区间上单调递减. 所以的极大值点为，所以D选项错误. 12．2 【详解】二项式展开式通项公式为， 令，解得，所以， 又因为二项式展开式中的系数为，所以， 即，解得. 13． 【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小． 【详解】设，， 当时，，即， 所以在上单调递减， 所以， 所以，即， 所以． 14． 【分析】根据可导函数在上单调递增的充要条件是导函数非负恒成立，将问题转化为求参数小于等于构造的新函数的最小值，进而求新函数的最小值即为的最大值. 【详解】已知在上单调递增，故对任意，都有恒成立， 对求导得， 因此不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，只需满足即可，又， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此是的极小值点，也是最小值点， 代入得，即的最大值为. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用在处斜率为0即可求解； （2）将问题转化成进行求解. 【详解】（1）当时，，， 设点的坐标，由题意得：，解得：， 所以，因此点的坐标为. （2）， 令，则， 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是. 16．(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数在区间内的单调性和极值，结合端点值确定函数在区间内的最大值和最小值； （3）把零点问题转化为直线与的交点问题，结合（2）作出的大致图象，结合图象求b的取值范围． 【详解】（1）函数求导得， 则， 曲线在点处的切线方程为： ，即． （2）令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 为极大值点，为极小值点， ， ， ， ， 综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为． （3）函数在有三个不同的零点， 等价于直线与有3个不同交点， 由（2）知，的极大值为，极小值， 作出大致图象如下： 由图象可知，要使直线与有3个不同交点， 则需满足：，解得． 17．(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）对求导，由不单调可得有两个不相等的实数根，利用根的判别式求解即可. （2）先利用导数确定的单调性，然后根据有三个零点确定实数的取值范围. （3）设出切点坐标，写出切线方程，利用切线经过列出关于的方程，求解出，然后写出切线方程即可. 【详解】（1）的定义域为. . 函数在定义域上不单调，说明有两个不相等的实数根， 所以，解得或. （2），，. 令，即，或，列表如下： 极小值 极大值 . 要使函数有三个零点，则，解得. 故实数的取值范围是. （3）时，，. 设切点，则切线的斜率. 故切线方程为. 又切线经过，，整理得：， 解得或. 当时，切点坐标为，切线方程为. 当时，切点坐标为，切线方程为. 综上，切线方程为或. 18．(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二项式的性质结合已知条件求出展开式的项数，进而求出，再利用赋值法结合所有项系数和为1，构造方程求出； （2）列出二项式的通项公式，结合第5项最大代入求解； （3）利用二项展开式的通项公式，采用赋值法求出，进而求解； （4）利用赋值法求出与，再作差计算求解． 【详解】（1）二项式只有第5项二项式系数最大，说明展开式共项，故， 令，，且，解得． （2）二项式的通项公式为，第5项对应， 则． （3）已知，，则的常数项由两部分组成： 当时，； 当时，， 则常数项为：． （4）， 令，则， 令，则， 则． 19．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）运用插空法即可求解； （2）方法1：根据甲的位置进行分类讨论，相加即可求解； 方法2：运用间接法，将8人全排后，去掉不符合条件的，即可求解； （3）方法1：运用缩倍法，解决定序问题； 方法2：运用占位法，解决定序问题. 【详解】（1）由插空法可得，3位老师互不相邻的排法种数为； （2）方法1：甲排在最右端的排法种数为， 甲不排两端且乙不排最右端的排法种数为， 故甲不排最左端且乙不排最右端的排法种数为； 方法2：甲排在最左端的排法种数为， 乙排在最右端的排法种数为， 甲排最左端且乙排最右端的排法种数为， 故由间接法可得甲不排最左端且乙不排最右端的排法种数为； （3）方法1：这3位家长加入的方法种数为； 方法2：这3位家长加入的方法种数为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $