精品解析：河北承德市第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中联考数学试题

高二年级5月份学情调研 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 2. 设函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则不同的排法总数为（ ） A. B. C. D. 5. 现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果： 30岁及以下 30岁以上 男 154 60 女 196 90 记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（ ） 附：，. A. B. C. D. 6. 已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正整数p，q互素，且，则（ ） A. 2071 B. 2143 C. 2219 D. 2307 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 若复数满足，则（ ） A. 可能为实数 B. 可能为纯虚数 C. 当的实部取得最大值时，为实数 D. 当的虚部取得最大值时，不为纯虚数 11. 对于维向量，，，，二者夹角的余弦值现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（ ） 附：，，，. A. B. 在上的投影向量为 C. D. 这组点的线性相关性弱 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量的分布列如表， 0 1 2 3 4 则______. 13. 若的展开式中的系数是系数的，则展开式中的系数为_____. 14. 设函数 ，若，则的最大值为______；当取得最大值时，_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 一个盒子内有6个白球，3个红球，它们除颜色外完全相同，每次从盒子里随机抽出一个小球并记录. （1）若抽出小球后不放回，求第二次抽到白球的概率； （2）若抽出小球后放回盒子，记抽取6次后记录次白球，求. 16. 已知函数 ，. （1）求的单调区间； （2）证明：. 17. 设，已知，是方程的两个不同的解． （1）求； （2）求； （3）若，求复数虚部的平方． 18. 现有一处鱼塘，要进行合理养殖与合理捕捞. （1）若鱼塘中有600尾鱼，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘（该标记不会在短期损坏），第二次随机打捞20尾鱼，求这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记的概率；（用组合数的式子表示） （2）现进行养殖. （i）假设当鱼塘中鱼的尾数为时，年增长量为，捕捞量为，受到环境制约，考虑简单模型，且为常数.当 时，给出合理的，使得下一年的鱼群数目达到能使年增长量最大的水平； （ii）当鱼塘中鱼的尾数为时，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘，第二次随机打捞25尾鱼后有1尾有标记，试给出的估计值（以使得仅1尾有标记的概率最大的的值作为的估计值）. 19. 已知函数.记曲线在处的切线为. （1）当时，求的方程； （2）证明：函数 在上单调递减； （3）当时，证明：曲线与有且仅有一个公共点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级5月份学情调研 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 设函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数在处的定义，与导函数在处导数值相等即可求解. 【详解】==， 而，所以，. 3. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 则，即正态曲线关于直线对称， 所以 ， 又 ， 所以 . 4. 现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则不同的排法总数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列数适用于有顺序要求的排法场景，分两步计算总排法数即可. 【详解】第一步：从200人中选取50人组成A方队，考虑站位顺序，共有种排法； 第二步：第一步选取后剩余 人，从中选取100人组成B方队，考虑站位顺序，共有种排法； 根据分步乘法计数原理，总排法数为两步排法数的乘积，即. 5. 现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果： 30岁及以下 30岁以上 男 154 60 女 196 90 记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（ ） 附：，. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对列联表各位置数值赋值后代入卡方公式计算结果，再与临界值比较即可得到答案. 【详解】首先对列联表参数赋值： ，， ，，总样本量 . 将参数代入卡方计算公式， 分步计算： ： ， ，故 ； ； ； 代入得 . 6. 已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，再结合切线过点得到关于切点横坐标的表达式，最后通过求导研究该表达式的单调性，进而求出的最大值. 【详解】设切点坐标为 ， 因为 ，所以，所以切点处的切线斜率 ， 由点斜式得切线方程为： 令，代入切线方程可得纵截距： ， 设函数 ，则， 令，由于恒成立，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 因此为的最大值点， 最大值为 ，即的最大值为. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据式子的组成构造函数，利用导数研究函数的单调性进而比较大小. 【详解】因为，， ， 考虑构造函数，求导得，， 当，当 所以函数在单调递增，在单调递减. 所以，，，而 , 显然，, 所以. 8. 已知正整数p，q互素，且，则（ ） A. 2071 B. 2143 C. 2219 D. 2307 【答案】C 【解析】 【分析】先根据组合数的性质对进行化简，再结合二项式定理求出其值，最后根据，互素求出，的值，进而得到的值. 【详解】由组合恒等式：， 令 ，得：， 代入原式， 令 ，则 ， 的取值范围为 ， 所以， 由二项式定理得， 令 ，得：， 因为 与 互素，故 ，， 所以 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】可通过二项展开式通项计算各次项系数，也可通过赋值法快速求解特定系数组合的值. 【详解】对于A，的系数仅来自的最高次项，即 ，故A正确； 对于B，令代入原式计算，得 ，故B正确； 对于C， ， ， ，即，故C错误； 对于D，令代入原式，左边为 ，右边为，故 ，D正确. 10. 若复数满足，则（ ） A. 可能为实数 B. 可能为纯虚数 C. 当的实部取得最大值时，为实数 D. 当的虚部取得最大值时，不为纯虚数 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题设复数，利用复数模的公式化简得到$a，b$满足的二元二次方程，再分别令、，通过判别式判断方程有解，验证A、B选项成立；接着对方程配方得到圆的标准形式，用三角换元表示，据此求出、的最大值并验证取等条件下是否为实数、纯虚数，进而判定C错误、D正确. 【详解】对于A，设，由题设得. 于是. 当时， ， 显然方程有实数解，则可能为实数，故A正确； 对于B，当时， ， 显然方程有实数解，且解不为0，则可能为纯虚数，故B正确； 对于C，因为 所以即， 可设，所以. 当且仅当时等号成立，此时，不为实数，故C错误； 对于D，由C项分析，知，当且仅当时等号成立， 此时，不为纯虚数，故D正确． 11. 对于维向量，，，，二者夹角的余弦值现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（ ） 附：，，，. A. B. 在上的投影向量为 C. D. 这组点的线性相关性弱 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据样本中心点过，再联立得到，对于B，在上的投影向量为，又即可判断；对于C，根据向量夹角的定义可得 ；对于D，由，再结合题意判断即可． 【详解】已知经验回归方程为和， 设， ，解得，则，故A正确； 在上的投影向量为， ， ， 而回归方程中，中，二者不相等， 因此投影向量为，B错误； 相关系数， ， 所以 ，C正确； 由回归方程中，中，， ， ， 所以这组点的线性相关性强，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量的分布列如表， 0 1 2 3 4 则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据分布列的性质求得，根据数学期望的计算公式求得 【详解】根据分布列的性质，所有概率之和为1，得 ,, 由离散型随机变量数学期望的定义， . 13. 若的展开式中的系数是系数的，则展开式中的系数为_____. 【答案】8 【解析】 【分析】将原式拆分为两个二项式展开式的和，分别求出指定项的系数，根据系数比值求得n，再计算的系数即可. 【详解】， 二项式的通项公式为：， 所以的系数为， 的系数为， 由题意， 所以，又， 所以， 所以 ， 解得或（舍去），所以的系数为. 14. 设函数 ，若，则的最大值为______；当取得最大值时，_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用特殊值得到的最大值，再证明等号可取，从而得出的值. 【详解】由题可知，对任意恒成立，取特殊值，代入函数有 ，即的最大值不超过. 若，则 原不等式转化为： 令，则，代入不等式，有 令 ，则 对任意恒成立，且，故是的极小值点，所以. 因为 ， 所以 验证：将代入得 所以 当 ， 即在单调递减，在，单调递增. 所以在处取得极大值 故 所以当时，又 故当时，即函数单调递减； 当时，即函数单调递增； 所以在处取得最小值，即恒成立，符合条件. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 一个盒子内有6个白球，3个红球，它们除颜色外完全相同，每次从盒子里随机抽出一个小球并记录. （1）若抽出小球后不放回，求第二次抽到白球的概率； （2）若抽出小球后放回盒子，记抽取6次后记录次白球，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式，按第一次抽取的颜色分类计算第二次抽到白球的概率即可； （2）先判断服从二项分布，再利用二项分布期望公式求解即可． 【小问1详解】 记“第一次抽到白球”为事件A，“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到白球”为事件B， 由题意，， 由全概率公式可得，． 【小问2详解】 由题意，每次抽到白球的概率为， 因为是放回抽取，共抽取6次， 所以记录的白球次数服从二项分布，即， 因此 . 16. 已知函数 ，. （1）求的单调区间； （2）证明：. 【答案】（1）的减区间为，的增区间，. （2）由题设，设， 则 ，故在上为增函数， 而 ， 故当时，；当时，， 的减区间为，增区间为. 若，则，故； 若，则，故； 若，则，故； 综上，，当且仅当时等号成立. 【解析】 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得原函数的单调性； （2）利用导数讨论的单调性，再就、、分类讨论后可证题设中的不等式. 【小问1详解】 ， 故当或时，；当时，， 故的减区间为，的增区间为，. 【小问2详解】 略 17. 设，已知，是方程的两个不同的解． （1）求； （2）求； （3）若，求复数虚部的平方． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 是方程的解，，即 ，，. 【小问3详解】 由（2）可得，设， 代入，得， ，由②可得，代入①式得， 于是 ，故． 18. 现有一处鱼塘，要进行合理养殖与合理捕捞. （1）若鱼塘中有600尾鱼，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘（该标记不会在短期损坏），第二次随机打捞20尾鱼，求这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记的概率；（用组合数的式子表示） （2）现进行养殖. （i）假设当鱼塘中鱼的尾数为时，年增长量为，捕捞量为，受到环境制约，考虑简单模型，且为常数.当 时，给出合理的，使得下一年的鱼群数目达到能使年增长量最大的水平； （ii）当鱼塘中鱼的尾数为时，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘，第二次随机打捞25尾鱼后有1尾有标记，试给出的估计值（以使得仅1尾有标记的概率最大的的值作为的估计值）. 【答案】（1） （2）（i）当 时，鱼群的数目增长情况良好. （ii）的估计值为或. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可求题设中的概率； （2）（i）根据时取最大值可得；（ii）利用不等式法可求的估计值. 【小问1详解】 设为“这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记”，则. 【小问2详解】 （i）由题设年增长量为， 当时，年增长量取最大值， 令 ，则 ， 故当 时，鱼群的数目增长情况良好. （ii）设，由题设仅1尾有标记的概率为， 令，则，而， 故，故的估计值为或. 19. 已知函数.记曲线在处的切线为. （1）当时，求的方程； （2）证明：函数 在上单调递减； （3）当时，证明：曲线与有且仅有一个公共点. 【答案】（1） （2），求导得 ， 换元，令，则，，只需证 ， 即证明，令，求导得， 二次求导得 （定义为函数的导函数），所以在上增，而 ， 所以在为负，为正，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，取最小值时，所以，对恒成立，且只在处， 所以在上单调递减. （3），， 所以，而 ， 所以切线方程为，即， 令，易知 ， 下面分别证明时，， 设函数， ，且只在孤立的点 为0，所以在上增，所以时，， 即，所以时，, 当时，，所以 ， 所以， 令 ， ，当时，， 所以 ，所以， 当时，由（2）可知， ， 即 ，两边同乘x得， 所以， 换元，令，因为，所以， 令 ，则 ， 而 （定义为函数的导函数），所以在上单调递增，所以当时， ， 所以在上单调递减，所以 ，所以 ， 所以只有唯一零点，所以与直线有唯一公共点. 【解析】 【分析】（1）先求导，进而求出切线的斜率，根据直线方程的点斜式即可求出切线方程. （2）求导，通过换元证明导函数在定义域内为负，即可证明递减. （3）设，先证时没有零点，利用，只需证，再利用即可证明；当时，利用第二问结论，再乘x，得，代入，只需证，通过换元，二次求导即可证明. 【小问1详解】 ，求导得， 所以，而， 所以切线方程，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法归纳： 1.第二问通过换元，使得求导判断正负的问题变得简单. 2.可以记一些基本的不等式如时，，，可判断式子的正负或者大小关系. 3.第三问直接求导计算量大，而且不容易有结果。一般这种题目是要利用前面的结论的，通过观察第二问结论的形式，巧妙乘x，换掉，使得运算变得简单. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $