精品解析：河北昌黎第一中学2025-2026学年高三下学期考前模拟数学试卷

河北昌黎第一中学2025-2026学年高三年级第四次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 可得，得到的虚部为1，则C正确. 2. 设全集 ，集合 ，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知全集 ，集合 ， 则共6个元素. 3. 抛物线的焦点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到焦点，再利用点到直线的距离公式求解即可． 【详解】由题可知，抛物线的焦点， 则焦点到直线的距离． 故选：C． 4. 设，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量模长的坐标表示以及垂直关系的向量表示，结合勾股定理计算即可. 【详解】由可得， 又可得， 在中，由勾股定理可得， 解得. 故选：C 5. 已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知条件，利用数列的单调性即可求解. 【详解】因为数列为递增数列， ， 所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立， 由二次函数性质知当时，有最小值，即， 所以，故实数的取值范围是. 6. 某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下：①将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别，两次观测时镜子间的距离为，人的“眼高”为，则建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相似三角形即可得到答案. 【详解】 设建筑物的高度为，由于得 由于得 故选：A. 7. 已知曲线与曲线只有一个公共点，则（ ） A. B. 1 C. e D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：把两曲线与有一个公共点，转化为方程只有一个实数解，通过分离常数求出值； 方法二：把两曲线与有一个公共点，转化成两曲线只有一个公切点，再利用几何意义求解； 方法三：利用原函数和反函数图像关于对称，且两函数图像都与相切于点，巧妙求出值. 【详解】方法一：由已知曲线与曲线只有一个公共点， 方程只有一个实数解，而，则只考虑， 即，令，则， 而在单调递增，且， 所以时，单调递减， 时，单调递增， 而时，；时，， 所以． 方法二：由已知曲线与曲线只有一个公共点， 则曲线与曲线只有一个公切点，设其坐标为， 根据函数的图像与函数的图像之间的关系， 所以有， 即，所以， 设，则在单调递减，而， 所以，所以． 方法三：由于函数的反函数为，两函数关于对称， 由于，令，则，即函数与函数相切于点， 同理，，令，即函数． 与函数也相切于点， 于是函数与函数相切于点，由选项可知，． 故选：B. 8. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆周上同时出发逆时针作匀速圆周运动．的起点坐标为，角速度为；的起点坐标为，角速度为．则质点Q与P相遇点对应的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设质点与相遇时用时，根据题意可得，求出，代入可得到质点落在的终边上，根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得，点在的终边上，点在的终边上， 设质点与相遇时用时， 由题意得， 解得， 此时质点落在的终边上， 所以点的横坐标为， 点的纵坐标为， 所以质点Q坐标为. 故选：D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据所给条件求出、，即可判断A，求出，再求，即可判断B，表示出，列出其前几项，即可判断C，结合二次函数性质求的最小值，即可判断D. 【详解】对于A：设等差数列的公差为，由，， 则，解得，所以，故A错误； 对于B：，所以，故B正确； 对于C：，则，，，，，， 当且时，， 得到，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以当时，取最小值， 且最小值为，故D正确. 10. 已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A. B. 存在点 使 C. 构成的三角形面积最大值为 D. 若 恒成立，则 的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出圆  的圆心和半径，由圆上的点到定点距离的最小值等于圆心到定点的距离减去圆半径，求得，结合两点间距离公式及二次函数的最值，判断A；根据正弦定理及正弦函数的最值求得的范围，从而得到的范围判断B；分析 构成的三角形面积最大值情况，判断C；由  恒成立，得，得关于的不等式，求解可得 的取值范围，判断D. 【详解】圆  的圆心为，半径为，又， 对于A，因 为圆  上的动点，则. 而， 当且仅当时，等号成立，所以，所以A正确； 对于B，由，得点在圆外. 当三点共线时，； 当三点不共线时，由正弦定理得，， 所以. 因为，所以. 又，所以. 综上所述，，所以B错误； 对于C，设点到直线的距离为，则的面积. 因为点在圆上，所以的最大值等于半径为，所以. 当或时，. 所以 构成的三角形面积无最大值，所以C错误； 对于D，若  恒成立，则恒成立， 即恒成立，化简得， 解得或，所以D正确. 11. 在新一代量子计算与三值逻辑芯片研究中，三进制编码因信息密度更高、能耗更低成为前沿方向.任意自然数 可表示为三进制表达式 ，则 ，其中当 时，， 或 （），记 ， 为整数 的三进制表达式中 的个数，则（ ） A. B. C. 对任意 ， D. 对任意 ， 【答案】AD 【解析】 【分析】A.写出33的三进制，即可判断；B.对1~80的所有自然数按三进制位数分类计算，得出的值；C.举出反例；D. 按定义计算得. 【详解】A.，所以，所以A正确； B.对1~80的所有自然数按三进制位数分类计算， ①1位三进制数（），三进制表示：，，所以，此时，所以此部分和为； ②2位三进制数（，），三进制表示：， 当，即，，，共2项， 和为， 当，，共4项， 和为，所以此部分和为； ③3位三进制数（，），三进制表示：， 当，，，即，，，共2项， 和为， 当，，，，共4项， 和为， 当，，，，共4项， 和为， 当，，，，共8项， 和为， 所以此部分和为； ④4位三进制数（，），三进制表示：， 当，， ，共2项， 和为， 当，中有2个为0，1个不为0， ，共项， 和为， 当，中有1个为0，2个不为0， ，共项， 和为， 当，都不为0， ，共项， 和为， 所以此部分和为； 所以，所以B错误； C.取，因为，，而，所以，所以C错误； D.设是三进制表示为，则， 所以， 所以， 因为 则，所以D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 【答案】20 【解析】 【详解】 如图的周长为. 13. 为调查某校学生每天学习的时间，现采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取高一学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，抽取高二学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，抽取高三学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，则估计该校学生每天学习时间的方差为 ________. 【答案】1.45 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、方差的计算公式运算求解. 【详解】由题意可得：抽取的总人数为， 则高一，高二，高三学生抽取的人数的频率分别为， 可得该校学生每天学习时间的平均数， 方差. 14. 已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成的角为，球与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球，使得球与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球与外切，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】在四棱锥中，点为底面正方形的中心，则有底面，记球的半径为，设四棱锥的高为为球与四棱锥的切点，根据侧面与底面所成角确定线段关系即可得，从而得球的体积；结合等比数列的定义可得，从而可得球的表面积. 【详解】如图，在四棱锥中，点为底面正方形的中心， 则底面， 令为的中点，连接， 记球的半径为，设四棱锥的高为为球与四棱锥的切点，， 侧面与底面所成的角为 ， 球的体积为. 设， 由于，即， ，两式相减可得，即， ， 球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. （1）求的值及的取值范围； （2）若，求函数图象的对称中心. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）由求出，根据在上有最大值，且无最小值求出的取值范围. （2）结合（1）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心. 【小问1详解】 因为，，所以， 由于，则，即. 由可得， 又因在上有最大值，且无最小值， 根据正弦函数的图象可知， 解得，故的取值范围为. 【小问2详解】 由结合（1）可知，则， 所以 . 令，，解得，， 则函数图象的对称中心为，. 16. 某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示. 工艺甲 工艺乙 合计 合格 60 40 100 不合格 20 30 50 合计 80 70 150 （1）依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关； （2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）产品的质量与采用的工艺有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据卡方的计算公式求解卡方，即可与临界值比较作答， （2）根据条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 零假设：产品的质量与采用的工艺无关， 根据小概率值的独立性检验，产品的质量与采用的工艺有关. 【小问2详解】 记事件为3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲，事件为这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙. . 17. 如图，已知 均为圆台 的母线，四边形 为圆台的轴截面，且 ，. （1）证明：； （2）已知二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的外接球的半径. 【答案】（1） 证法一：因为均为圆台的母线， 所以延长必交于一点，如图： 因为，所以确定一个平面， 又因为圆台的上下底面互相平行，即平面平面， 因平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得； 证法二：利用向量共线证线线平行 由题知，，， 所以 ， 所以 . 又直线 无公共点，所以 . （2） 【解析】 【分析】（1）证法一：根据圆台是由圆锥截成的，再由面面平行的性质可得；证法二：根据向量共线证明 ，结合向量共线性质证明结论； （2）先用勾股定理证明，进而证明，然后建立空间直角坐标系，用向量的方法由二面角的值可得圆台的高，设三棱锥 的外接球球心为 ，设 ，根据，列方程求，由此可求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 由已知，得，，分别为上下底面圆的直径， 因此上底面的半径，下底面的半径. 又因为在上底圆，，， 由，可得，即， 由（1）知与必相交于点，所以共面， 因为，，平面，， 所以平面，又因为，所以平面， 且平面，所以； 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系： 设，则， 于是，， 设平面的法向量为， 由，故可取； 又， 设平面的法向量为， 由，故可取， 因二面角的余弦值为， 所以，解得（负值舍去）， 所以圆台的高. 设三棱锥 的外接球球心为，易得,则在直线上， 设，又，所以 ， 由，得，解得， 所以三棱锥的外接球的半径. 18. 已知函数 . （1）判断 的单调性. （2）设 ，其中 . （i）证明： 在 上有唯一的极值点； （ii）若 为 在 上的零点， 为 在 上的极值点，比较 与 的大小，并说明理由. 【答案】（1）在 上单调递增 （2）（i）因，则， 令，则 因为 ，所以 ，所以 ， 故 在 上单调递增. 因，则 ， 所以 在 上存在唯一的变号零点， 所以 在 上有唯一的极值点. （ii） ，理由如下： 由 （i） 可知， 在 上有唯一的极值点 ，则， 当时，,则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增. 又 ，所以 ，而 ， 所以 在 上没有零点，在上存在唯一零点 ，所以 . 因为，又因， ， 则 令 ，则， 所以 在 上单调递增，则，所以 因 ，，且在上单调递增，则 . 【解析】 【分析】（1）利用求导即可判断函数的单调性； （2）（i）对函数求导后得，令，求导并判断，得 在 上单调递增.再利用零点存在定理证得 在 上存在唯一的变号零点即可. （ii）先分析 的单调性，得到  的大小关系，再由零点和极值点得到 ，构造函数，求导分析的单调性，得 ，根据在上的单调性即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为 ， 因， 故 在上单调递增. 【小问2详解】 （i）略（ii）略 19. 已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为､，焦点到渐近线的距离为1.经过点且倾斜角为的直线与双曲线的左支交于A､B两点（其中点A在x轴上方）. （1）求双曲线的标准方程； （2）将平面沿x轴折叠，记y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）所成的二面角为. （i）如图1，当时，求折叠后的值； （ii）如图2，当时，求折叠后的线段长度的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由离心率为，可得；由焦点到渐近线的距离为1，可得，再结合，即可得双曲线的标准方程； （2）（i）在折叠前，联立直线与双曲线的标准方程，可求得A､B两点的坐标，恰为弦长；在折叠后，建立空间直角坐标系，确定A､B两点的坐标，即可求出，进而求出折叠后的值. （ii）在折叠前，联立直线与双曲线的标准方程，应用韦达定理可得A､B两点的坐标的关系；在折叠后，建立空间直角坐标系，确定A､B两点的坐标与折叠前坐标的关系，表示出，再研究此函数的值域即可. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为， 所以，所以， 又因为，所以. 因为右焦点到渐近线的距离为1，取渐近线的方程为， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为 【小问2详解】 （i）在折叠前（如图），可知左焦点，又， 所以直线的方程为.将其代入双曲线方程， 消去整理可得， 设交点，，则，， 分别代入，可得，， 所以，， 所以； 在折叠后（如图1），因为，所以平面平面， 易知原轴正半轴垂直于平面，进而原轴正半轴垂直于原轴，也垂直于原轴负半轴. 以射线方向为轴正方向，原轴负方向为轴正方向， 原轴正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，， 则， 所以折叠后. （ii）在折叠前，设直线方程为，联立， 消去整理可得， 因为直线与双曲线的左支交于，两点（其中点A在x轴上方）， 所以，, 由韦达定理可知，，所以. 在折叠后（如图2），以射线方向为轴正方向，原轴负方向为轴正方向， 过原点作直线垂直于平面，且向上方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 因为，所以，， 所以， 因为，， 所以 设，则，且， 因为对称轴，所以在区间上单调递减， 所以，且无最大值， 所以折叠后的线段长度的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题在折叠后问题转化为立体几何问题，可采用空间直角坐标系去研究，因此能建立空间直角坐标系，并准确转化A､B两点的坐标显得至关重要，这也是本题的解题关键点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北昌黎第一中学2025-2026学年高三年级第四次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设全集 ，集合 ，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下：①将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别，两次观测时镜子间的距离为，人的“眼高”为，则建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知曲线与曲线只有一个公共点，则（ ） A. B. 1 C. e D. 8. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆周上同时出发逆时针作匀速圆周运动．的起点坐标为，角速度为；的起点坐标为，角速度为．则质点Q与P相遇点对应的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 10. 已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A. B. 存在点 使 C. 构成的三角形面积最大值为 D. 若 恒成立，则 的取值范围为 11. 在新一代量子计算与三值逻辑芯片研究中，三进制编码因信息密度更高、能耗更低成为前沿方向.任意自然数 可表示为三进制表达式 ，则 ，其中当 时，， 或 （），记 ， 为整数 的三进制表达式中 的个数，则（ ） A. B. C. 对任意 ， D. 对任意 ， 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 13. 为调查某校学生每天学习的时间，现采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取高一学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，抽取高二学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，抽取高三学生 人，其每天学习时间的均值为 h，方差为 ，则估计该校学生每天学习时间的方差为 ________. 14. 已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成的角为，球与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球，使得球与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球与外切，则球的表面积为__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. （1）求的值及的取值范围； （2）若，求函数图象的对称中心. 16. 某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示. 工艺甲 工艺乙 合计 合格 60 40 100 不合格 20 30 50 合计 80 70 150 （1）依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关； （2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，已知 均为圆台 的母线，四边形 为圆台的轴截面，且 ，. （1）证明：； （2）已知二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的外接球的半径. 18. 已知函数 . （1）判断 的单调性. （2）设 ，其中 . （i）证明： 在 上有唯一的极值点； （ii）若 为 在 上的零点， 为 在 上的极值点，比较 与 的大小，并说明理由. 19. 已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为､，焦点到渐近线的距离为1.经过点且倾斜角为的直线与双曲线的左支交于A､B两点（其中点A在x轴上方）. （1）求双曲线的标准方程； （2）将平面沿x轴折叠，记y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）所成的二面角为. （i）如图1，当时，求折叠后的值； （ii）如图2，当时，求折叠后的线段长度的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $