精品解析：河北省部分学校2026届高三考前适应性考试（一）数学试卷

数学（一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若，且，则（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 4. 若直线是函数的图象的一条对称轴，则函数的图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 称不等式的解集为函数的“大于点集”，则函数的“大于点集”为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 内角，，的对边分别为，，，，且的面积，则（ ） A. 2或 B. 3或 C. 4或 D. 5或 8. 已知是抛物线的焦点，准线为，，是抛物线上不同的两点，过点作的垂线段，垂足为，过点作的垂线段，垂足为，的值为一常数，当的最小值为时，这一常数值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个顶点分别为，，椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个顶点分别为，，则（ ） A. 两椭圆有相同的顶点 B. 两椭圆的离心率相等 C. 若为上的点，为上的点，则的周长与的周长相等 D. 四边形的面积与四边形的面积相等 10. 在中，角为钝角，则下列结论正确的是（ ） A. B. 角越大，的值越大 C. 的值一定小于0 D. 若，则 11. 已知函数的定义域为，若，则，，的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____________． 13. 农历正月十五为元宵节，因为有观灯的习俗，因此又称灯节．今年的元宵节，某单位需要从2盏相同的红灯和6盏两两不同的花灯中选出4盏排成一排安排某展台，展台要求必须有红灯，且红灯不相邻，则共有_________种不同的排法． 14. 正三棱柱的顶点均在球的表面上，且，当此三棱柱的体积最大时，球的表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列满足，，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前40项和． 16. 在中，，，，为的中点，为中点，如图，沿将翻折至的位置，使点落到点的位置，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． （1）求的方程； （2）记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； （3）直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 18. 某公司在研发机器人互动节目《机器侠》中，设计台各不相同的人形机器人进行武术表演，其中8台表演“两步登墙后空翻”动作，7台表演“空中大回旋”动作．每台机器人的表演相互独立． （1）从这台机器人中随机抽取3台，求恰好抽到1台表演“两步登墙后空翻”、2台表演“空中大回旋”动作机器人的概率； （2）研发前期每台表演“两步登墙后空翻”的机器人完成动作的概率均为，现使用3台“两步登墙后空翻”机器人完成该动作，设X为完成该动作的机器人的台数，求X的分布列，数学期望； （3）研发前期每台表演“空中大回旋”的机器人完成动作的概率均为，根据各种方案完成的情况分为完美、合格、失败三类，其中完美收益4分，合格收益2分，失败收益分．收益的期望为，方差为，综合得分公式：，S越大，方案越优秀．现有甲、乙两种方案： 甲方案：使用5台表演“空中大回旋”的机器人，具体判定标准如下： 完美：4台或5台全部完成动作； 合格：恰好2台或3台完成动作； 失败：恰好0台或1台完成动作． 乙方案：使用6台表演“空中大回旋”的机器人，分两轮独立执行，每轮各3台，具体判定标准如下： 完美：两轮都至少2台完成； 合格：恰一轮至少2台完成，另一轮不超过1台完成； 失败：两轮都不超过1台完成． 甲、乙哪种方案更优秀？ 19. 已知函数，函数，t，a均为实数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先将复数化简为标准代数形式，得到其对应复平面内点的坐标，即可判断所在象限. 【详解】  因此对应的点为，横坐标为正、纵坐标为负， 故该点位于第四象限. 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合,再结合集合的运算即可求解. 【详解】解得或，即, 则，则. 3. 已知向量，，，若，且，则（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直、向量平行的坐标表示列方程组求解参数，即可求解. 【详解】由，代入坐标得，即 ①， 的坐标：， 由，代入坐标得，整理得  ②， 解方程组求参数： 将②代入①得 ，解得，再代入②得， 因此. 4. 若直线是函数的图象的一条对称轴，则函数的图象的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正弦函数对称轴的性质求出参数φ的值，再根据正切函数对称中心的性质推导结果. 【详解】正弦函数的图象的对称轴满足， 已知是的一条对称轴，代入可得：  ， 整理得， 又，取，得， 正切函数的图象的对称中心满足， 令， 解得  因此的图象的对称中心为. 5. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】当时，圆的方程，即， 圆心为，半径，圆心到直线的距离， 此时圆与直线相切，满足充分性； 当直线与圆相切时， ，∴或，圆心为，半径， 圆心到直线的距离与半径相等，即， ∴，两边同时平方整理得，∴或（舍去）， 此时，满足必要性. ∴“”是“直线与圆相切”的充要条件. 6. 称不等式的解集为函数的“大于点集”，则函数的“大于点集”为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域，在不同的范围求解的不等式，两个不同的范围取并集即可得到结果. 【详解】当时，，由，可得，即， 因为在上单调递减，所以，解得， 故此时； 当时，，由，可得，即， 因为在上单调递增，所以，解得或， 故此时， 综上可得，函数的“大于点集”为或. 7. 内角，，的对边分别为，，，，且的面积，则（ ） A. 2或 B. 3或 C. 4或 D. 5或 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角形面积公式求出，再由同角三角函数关系得到，结合余弦定理构造关于的方程求解 【详解】由三角形面积公式，又，得，即，解得， 所以， 由余弦定理，又，整理得， 等式两边同除以得，设，则， 若，代入得，判别式，无实根，舍去； 若，代入得，即，解得或， 故或. 8. 已知是抛物线的焦点，准线为，，是抛物线上不同的两点，过点作的垂线段，垂足为，过点作的垂线段，垂足为，的值为一常数，当的最小值为时，这一常数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义有，设，，，，应用余弦定理得，令，进而化为方程存在实数解求得，结合已知求对应的常数值. 【详解】已知抛物线的焦点，准线 ， 根据抛物线定义，，所以， 设，，，则， 令，则， 设，整理得， 由判别式，得， 因为，所以，即，当且仅当时取等号， 因此的最小值为，则， 当关于轴对称时，即且夹角满足，所求常数为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个顶点分别为，，椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个顶点分别为，，则（ ） A. 两椭圆有相同的顶点 B. 两椭圆的离心率相等 C. 若为上的点，为上的点，则的周长与的周长相等 D. 四边形的面积与四边形的面积相等 【答案】BCD 【解析】 【详解】椭圆中，顶点为， 焦点，不妨设短轴顶点为， 椭圆中，顶点为， 焦点，不妨设短轴顶点， 椭圆的顶点，椭圆的顶点，故A错误； 离心率，则，故B正确； 由椭圆的定义可知，椭圆上一点与两焦点围成的三角形周长为， 则的周长为， 的周长为， 故的周长与的周长相等，C正确； ，则； ，则， 则四边形的面积与四边形的面积相等，故D正确． 10. 在中，角为钝角，则下列结论正确的是（ ） A. B. 角越大，的值越大 C. 的值一定小于0 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用三角恒等变换及三角形内角和的性质化简相关三角函数式依次判断各项的正误即可. 【详解】因为， 所以， 由于为钝角，则为锐角，故， 因此，即，A对， 由，则，故， 所以为定值，B错， 由 ， 由为钝角，则为锐角，故，，， 所以，故，C对， 由，则 ， 而且为钝角，故， 所以 ，D对. 11. 已知函数的定义域为，若，则，，的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导，根据导数的正负确定函数在定义域上的单调区间和极值点，结合函数在不同单调区间的取值范围，逐个判断选项中给出的大小关系是否存在对应的满足函数值的大小要求. 【详解】函数的导函数， 令，可得，结合， 可得，或，或， 当 时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，取最大值，最大值为， 且，， 对于选项A：若都在单调递增区间，由可得，A正确， 对于选项B：若都在单调递减区间，由可得，B正确， 对于选项C：取，，，则， 此时，，， 满足此时，C正确， 对于选项D：若，可得，矛盾， 若，，结合，可得，矛盾， 若，，，结合，可得，矛盾， 若，可得，矛盾， 综上：由不可能得到，D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的性质转化，然后代入解析式，根据诱导公式化简求值. 【详解】因为是奇函数，， ， . 13. 农历正月十五为元宵节，因为有观灯的习俗，因此又称灯节．今年的元宵节，某单位需要从2盏相同的红灯和6盏两两不同的花灯中选出4盏排成一排安排某展台，展台要求必须有红灯，且红灯不相邻，则共有_________种不同的排法． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，可能的情况为：1红3花、2红2花两类 1红3花：从6盏花灯中选出3盏：； 4盏灯全排列：； 则1红3花的排法为：种； 2红2花：从6盏花灯中选出2盏：； 2盏花灯排列，产生3个空位； 3个空位任选2个放置相同红灯：， 则2红2花的排法为：种； 总排法为：种． 14. 正三棱柱的顶点均在球的表面上，且，当此三棱柱的体积最大时，球的表面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先列出三棱柱的体积，利用导数求底面边长和高取何值时，三棱柱体积最大，再求三棱柱外接球半径，再利用球的表面积公式求球的表面积. 【详解】如图： 设正三棱柱的底面边长为，高为，则，可得，. 三棱柱的体积为. 设，，则. 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，三棱柱的体积最大，此时. 设正三棱柱上、下底面中心分别为、，连接，取中点为，则为正三棱柱外接球球心. 设三棱柱外接球半径为，则， 又， 此时球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列满足，，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前40项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数列已知两项的值即可求得公比及首项，从而写出通项公式，然后由对数计算出数列的通项公式； （2）由分组求和及裂项相消即可求得数列前40项的和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由题意可知，∴公比， ∴， ∴数列的通项. ∴数列的通项公式. 【小问2详解】 由题意可知， ∴， ， ， . 16. 在中，，，，为的中点，为中点，如图，沿将翻折至的位置，使点落到点的位置，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为，，为的中点，故， 所以，又是中点，所以， 在中，，， 故，， 因此，， 由可得， 在中由余弦定理得：， 在中： ， 所以，又，平面， 所以平面， （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据勾股定理证明，根据线面垂直判定定理证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再求出直线的方向向量，结合向量夹角公式求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 向量，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，，即为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则. 直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． （1）求的方程； （2）记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； （3）直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）不存在常数，使恒为定值.理由如下： 如图： 将直线代入，整理得：. 由可得， 设，，则，， 则. 则 . 要使为定值，不随的改变而改变，须使， 该方程在实数范围内无解，故不存在常数，使为定值. 【解析】 【分析】（1）根据焦距确定，确定渐近线斜率可得的关系，再结合可求的值，进而得到双曲线的方程. （2）先确定，点坐标，利用向量方法，结合即可确定点坐标. （3）将直线方程与双曲线方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，利用韦达定理得到，，再表示出，根据为定值，探索的存在情况. 【小问1详解】 直线的斜率为，双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以这条渐近线的斜率为. 依题意，可得解得. 所以双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意，对于，当时，，即或. ① 当时，，则， 设，，由， 即，解得，所以，则 ② 当时，同法可得. 所以点坐标为或. 【小问3详解】 略 18. 某公司在研发机器人互动节目《机器侠》中，设计台各不相同的人形机器人进行武术表演，其中8台表演“两步登墙后空翻”动作，7台表演“空中大回旋”动作．每台机器人的表演相互独立． （1）从这台机器人中随机抽取3台，求恰好抽到1台表演“两步登墙后空翻”、2台表演“空中大回旋”动作机器人的概率； （2）研发前期每台表演“两步登墙后空翻”的机器人完成动作的概率均为，现使用3台“两步登墙后空翻”机器人完成该动作，设X为完成该动作的机器人的台数，求X的分布列，数学期望； （3）研发前期每台表演“空中大回旋”的机器人完成动作的概率均为，根据各种方案完成的情况分为完美、合格、失败三类，其中完美收益4分，合格收益2分，失败收益分．收益的期望为，方差为，综合得分公式：，S越大，方案越优秀．现有甲、乙两种方案： 甲方案：使用5台表演“空中大回旋”的机器人，具体判定标准如下： 完美：4台或5台全部完成动作； 合格：恰好2台或3台完成动作； 失败：恰好0台或1台完成动作． 乙方案：使用6台表演“空中大回旋”的机器人，分两轮独立执行，每轮各3台，具体判定标准如下： 完美：两轮都至少2台完成； 合格：恰一轮至少2台完成，另一轮不超过1台完成； 失败：两轮都不超过1台完成． 甲、乙哪种方案更优秀？ 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 （3）甲方案更优秀 【解析】 【分析】（1）分别计算总基本事件和符合条件的事件数，再计算概率； （2）每台机器人完成动作相互独立，且概率为，故服从二项分布，求出相应概率列出分布列，并求出数学期望； （3）根据综合得分公式，分别计算两种方案的期望与方差，进而比较得分大小得出结论． 【小问1详解】 从台机器人中随机抽3台，总事件数为：， 恰好抽到1台表演“两步登墙后空翻”、2台表演“空中大回旋”动作机器人的事件数为：, 则概率为：． 【小问2详解】 每台机器人完成动作相互独立，且概率为，故服从二项分布， 的可能取值为，则： ； ； ； ； 分布列为： 0 1 2 3 数学期望： ． 【小问3详解】 已知综合得分公式：，S越大，方案越优秀， ①甲方案：完成台数满足， 当时失败，此时，收益为； 当时合格，此时，收益为； 当时完美，此时，收益为； 期望； 方差：； ， 则甲的综合得分：； ②乙方案：完成台数满足， 单轮至少２台完成的概率：，则单轮不超过1台的概率为， 两轮均，即完美的概率：，收益4； 一轮，一轮，即合格的概率：，收益2； 两轮，即失败的概率：，收益； 期望； 方差：， 则乙的综合得分：， ， 甲方案更优秀． 19. 已知函数，函数，t，a均为实数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 【答案】（1） （2） （3）由两边同时取对数得， 已知是的两根，所以， 设，因为，所以， 将代入得， 则， 即， 则问题转化为证明：当时，，即证， 设，则 ， 因为，所以且， 因此在上，,单调递增， 所以,即， 由此可得，即， 两边同时取指数，则有，命题得证. 【解析】 【分析】(1) 运用导数的几何意义求出切线方程，再通过计算该切线在两坐标轴上的截距来求解三角形面积, (2) 采用分离参数法，将“存在实数使不等式成立”的问题，转化为求解新构造函数最小值的最值问题, (3)使用换元法，将难以处理的双根不等式问题，转化为关于单变量的函数单调性证明问题. 【小问1详解】 当时，, 则，即切点坐标为, ，， 则切线方程为， 令，得轴截距为，令，得轴截距为， 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积. 【小问2详解】 已知，则，若存在正实数x，使， 即，即有解， 因为，两边同时除以得， 即， 令， ， 易得，，则的符号完全由决定， 所以当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 所以， 即. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $