精品解析：河北衡水市冀州区滏运中学2025-2026学年高三年级考前模拟预测（一）数学试题

衡水溪运中学2026届高三压轴卷 数学试题（一） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若等比数列满足（其中为常数），则（ ） A. B. C. D. 6. 已知线段，，为线段上一点，，记与的夹角为，若对于某个范围内任意固定的，总存在两个不同的符合题意，则的取值范围是：（ ）. A. B. C. D. 7. 已知函数，实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，P为与在第一象限的公共点，若，则的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题成立的是（ ） A. 已知，若，则 B. 若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D. 对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 10. 已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（ ） A. 若，则点P的坐标为 B. 若，则的最小值为6 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为 11. 已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，正方体过三点的截面记为截面，则（ ） A. 截面的面积为 B. 直线与截面所成角的正弦值为 C. 在截面上存在一点，使得直线截面 D. 若点是平面上一点且满足，则动点的轨迹所围成几何图形的面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为_____；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是____. 13. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为，则的离心率为______.过点的直线与交于，两点（均异于左、右顶点），若，则______. 14. 已知数列满足，，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求； （2）设角的平分线交于点，且，求的值． 16. 某校数学社团设计了一款游戏，满足如下规则：一质点在数轴上从原点开始随机向左或向右移动，每步移动一个单位长度．若每步质点向右移动的概率为，向左移动的概率为．经过5步移动后，质点的位置坐标记为随机变量． （1）当时，若质点只在非负半轴上移动，求在此条件下的值； （2）该数学社团用计算机进行了100次独立实验，记录最终位置的频数分布如下： 1 3 5 频数 9 16 23 27 14 11 ①求的平均数； ②用该样本的平均数估计随机变量的均值，求的值（保留两位小数）． 17. 已知数列中，． （1）求； （2）设，证明：数列是等比数列； （3）记，求数列的前n项和． 18. 已知函数． （1）设． ①求曲线在点处的切线方程； ②求在上的最小值． （2）若在上单调递减，求的取值范围． 19. 在三棱锥中，点在底面内的投影恰在直线上，与的面积相等． （1）若，证明：为线段的中点； （2）若，，的面积等于． （ⅰ）证明：的周长为定值； （ⅱ）当二面角的平面角为时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡水溪运中学2026届高三压轴卷 数学试题（一） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到集合，然后求交集. 【详解】，，所以. 2. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意， 则z的共轭复数 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项得出，再两边平方可求，利用数量积的定义求结论即可. 【详解】因为，所以，即， 又， 即，，故. 4. 已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两函数图象关于直线对称及得到，结合的范围代入求解即可. 【详解】由题意知，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. 5. 若等比数列满足（其中为常数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知应用，得出，最后应用等比数列求和公式计算即可. 【详解】由，得， 所以，因数列是等比数列，所以数列也是等比数列， 所以，因此，数列是首项为2，公比为的等比数列， 故． 故选：A. 6. 已知线段，，为线段上一点，，记与的夹角为，若对于某个范围内任意固定的，总存在两个不同的符合题意，则的取值范围是：（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转换成以为圆心，2为半径的圆应与线段有两个公共点，画出图像即可求解； 【详解】由题意可知以为圆心，2为半径的圆应与线段有两个公共点， 以为坐标原点，为轴，作图如下： 当与圆相切时，由，，可得， 故 当与圆相交，且点刚好在圆上时，如下图： 由余弦定理可得：， 所以的取值范围是， 故选：B 7. 已知函数，实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对 化简：. 求导：. 令，得； 时，此时单调递减； 时，此时单调递增， ， ， 显然， 故的图象关于直线对称, 且在上单调递减，上单调递增. 所以等价于， 平方得， 整理得，解得. 8. 已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，P为与在第一象限的公共点，若，则的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，不妨设，，则，于是， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 又，所以， 在中，，，， 设内切圆的半径为，则，即， 解得. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题成立的是（ ） A. 已知，若，则 B. 若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D. 对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 【答案】AB 【解析】 【分析】A.根据，由判断；B.由题意知这组数据完全线性相关，再根据直线斜率的正负判断；C.由两边取自然对数求解判断；D.根据值越大，“与有关系”的可能性越大判断. 【详解】A.已知，且，则，故正确； B.若一组样本数据对应的样本点都在直线上，说明这组数据完全线性相关，又因为直线斜率是负相关，所以这组样本数据的相关系数为-1，故正确； C.由两边取自然对数得，求得线性回归方程为，所以，，则，故错误； D.对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，“与有关系”的可能性越大，所以判断“与有关系”的把握性越大，故错误； 故选：AB 10. 已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（ ） A. 若，则点P的坐标为 B. 若，则的最小值为6 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线定义以及性质可以得出A、B、C选项，利用直线斜率和倾斜角的关系，得出的表达式，再利用函数导数求最值. 【详解】对于A，因为焦半径，所以，代入，解得， 所以，故A错误； 对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得，所以点A在抛物线内， 所以，当且仅当与轴平行时取等，故B正确； 对于C，设，则， 所以， 所以的最小值为，C正确； 对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限， 如图所示： 则 ， 令，分母为，则， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以当时，， 此时，由图知，所以，故D正确. 11. 已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，正方体过三点的截面记为截面，则（ ） A. 截面的面积为 B. 直线与截面所成角的正弦值为 C. 在截面上存在一点，使得直线截面 D. 若点是平面上一点且满足，则动点的轨迹所围成几何图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正方体性质做出截面，计算求解可判断A；建立空间直角坐标系，根据线面角向量法计算可判断B；假设存在直线截面，根据线面垂直向量法结合空间四点共面定理计算可判断C；得到点的轨迹，根据点到平面距离结合球的表面积公式计算可判断D. 【详解】对于A，由正方体的性质可知，如图正六边形即为平面截正方体所得的截面，边长， 所以面积，故A错误； 对于B，以为原点建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ， 又都在平面内，所以平面， ，截面的法向量 所以，故B正确； 对于C，假设存在直线截面，则， 设，则 ， ` 所以 因为，由于 假设在截面上，所以四点共面，根据共面向量定理得 由， 所以，因为正方体，但不在正方体内部， 所以截面上不存在一点，故C错误； 对于D，点是平面上一点且满足， 所以点的轨迹是以为直径的球面，半径为，球心坐标为， ，与截面的交线是一个圆， 球心到截面的距离为， 所以交线圆的半径为，所以面积为 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为_____；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用对立事件概率的性质以及条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件A为“全是红球”，则， 记事件B 为“至少有1个是白球”，则， 记事件C为“至少有1个红球”，则 则事件AC为“全是红球”，则 所以“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 故答案为：；. 13. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为，则的离心率为______.过点的直线与交于，两点（均异于左、右顶点），若，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用斜率公式、结合椭圆的定义与余弦定理求解即可. 【详解】设，上下顶点坐标分别为和， 所以，得，且， 所以，离心率； 设，，则，， 因为，所以， 则， 整理为，得， 所以，，， 中，根据余弦定理. 14. 已知数列满足，，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，按为奇数和偶数分类变形，可得，由此求出，再求解即可. 【详解】由，用分别替换， 得，， 联立，解得， 所以，联立,得. 由，，得， 所以， 又因为时，代入，得， 所以，故， 故答案为：5. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求； （2）设角的平分线交于点，且，求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，然后结合余弦定理可求得的值； （2）利用面积公式建立关于边和角的等式，结合二倍角公式与余弦定理建立关于，的等式，整理后可得结果． 【小问1详解】 由， 结合正弦定理得， 整理得 ， 由余弦定理得， 解得． 【小问2详解】 如图，由题意得， 即， 因为，，， 代入化简得： ，即． 由余弦定理得，又因， 则， 整理可得， 两边同除以，得， 即． 16. 某校数学社团设计了一款游戏，满足如下规则：一质点在数轴上从原点开始随机向左或向右移动，每步移动一个单位长度．若每步质点向右移动的概率为，向左移动的概率为．经过5步移动后，质点的位置坐标记为随机变量． （1）当时，若质点只在非负半轴上移动，求在此条件下的值； （2）该数学社团用计算机进行了100次独立实验，记录最终位置的频数分布如下： 1 3 5 频数 9 16 23 27 14 11 ①求的平均数； ②用该样本的平均数估计随机变量的均值，求的值（保留两位小数）． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）利用公式计算条件概率； （2）由频数分布计算平均值，再结合二项分布的期望公式求的值. 【小问1详解】 设事件“质点只在非负半轴上移动”，事件“”， ，，所以． 另解： 所以． 【小问2详解】 ①样本的均值． ②设向右移动次数为，，， 所以，所以． 又由①知，所以 ，得 ． 17. 已知数列中，． （1）求； （2）设，证明：数列是等比数列； （3）记，求数列的前n项和． 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由递推公式可得答案； （2）证明为常数即可完成证明； （3）由（2）分析可得，，然后由裂项求和法可得答案. 【小问1详解】 数列中，， 则，； 【小问2详解】 由，则，则， 从而是以为首项，公比为2的等比数列； 【小问3详解】 由（2）， 则 ， 从而. 18. 已知函数． （1）设． ①求曲线在点处的切线方程； ②求在上的最小值． （2）若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1）①；②． （2）． 【解析】 【分析】（1）①求导，确定切线斜率即可求解，②通过二次求导，确定函数单调性，即可求解； （2）通过二次求导，结合，讨论，即可. 【小问1详解】 当时， ，． ①因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． ②令，则． 当时，，，且两个等号不能同时成立， 所以，在上单调递减． 又，，所以存在，使得． 当时，；当时，． 在上单调递增，在上单调递减． 又，，， 所以在上的最小值为． 【小问2详解】 ． 令，则， ． 若 ，即，则存在，使得当时，， 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即在上单调递增，不符合题意． 若 ，即，则当时， ，，两个等号不能同时成立， 所以当时，． 当时， ， ， 所以，在上单调递减． 因为，所以当时，， 所以当时，，在上单调递减，符合题意． 综上，的取值范围为． 19. 在三棱锥中，点在底面内的投影恰在直线上，与的面积相等． （1）若，证明：为线段的中点； （2）若，，的面积等于． （ⅰ）证明：的周长为定值； （ⅱ）当二面角的平面角为时，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）6 【解析】 【分析】（1）过A作，垂足为G，连接GB，先求证平面，再证明平面，最后利用面积得出即可求证； （2）（ⅰ）根据条件求出，，以C为原点建系，设，利用向量法求出A到CP的距离即可求出点的轨迹方程，结合椭圆的定义求解； （ⅱ）设，，先求出平面BCP、平面ACP的法向量，根据二面角求出，再设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理化简求出，最后利用弦长公式求解. 【小问1详解】 过A作，垂足为G，连接， 因为点在底面内的投影恰在直线上， 则平面，平面，则， 又，且，平面，所以平面， 因为平面，所以，，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为与的面积相等，GA与GB分别为两个三角形边上的高， 则，故为等腰三角形， 又，则F为线段AB的中点； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，所以， 因为，所以， 以C为原点，所在方向为x轴正方向，平行于所在方向为z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设，则，， 则A到CP的距离为， 化简得：， 同理可得B的轨迹方程也是， 故点A，B在以C为中心的椭圆上，且E，F分别为该椭圆的左、右焦点， 所以，故的周长为定值16； （ⅱ）设，， 则，，， 设平面ACP的一个法向量为， 则， 取，则，，则， 同理可得平面BCP的一个法向量为， 因为二面角的平面角为， 所以， 又A，B在上， 则 ，故， 在xOy平面中，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立， 化简得，则，， 又， 故，解得， 由弦长公式得线段AB的长 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $