专题02 整式乘法（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材苏科版

专题02 整式乘法 单项式乘法 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 乘法公式 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 乘法公式与几何图形 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 单项式乘法 1．（25-26七年级下·宁夏中卫·期中）计算：______． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 2．（2026七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，正确计算是解题的关键．先根据积的乘方法则计算乘方项，再根据单项式乘单项式法则与同底数幂的乘法法则计算，得到最终结果． 【详解】解： ． 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先进行乘方运算，再进行乘法运算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 4．（25-26七年级上·上海长宁·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先计算乘方，再计算乘法，最后再合并同类项即可求解． 【详解】解： 利用单项式乘法求字母或代数式的值 5．（24-25七年级下·宁夏中卫·期末），求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·江苏·期末）若，，则____________． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·重庆·期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是_______． 【答案】18 【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是7， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 8．（25-26七年级下·江苏·期末）已知，，求代数式的值． 【答案】8 【分析】本题考查了整式的乘法运算（包括积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式）以及代数式求值，解题的关键是先根据整式乘法法则化简代数式，再代入数值计算；根据积的乘方法则，单项式乘单项式的法则进行化简代数式，再代入数值计算即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 所以代数式的值是8． 单项式乘法的应用 9．（25-26七年级下·河北张家口·期中）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 【答案】B 【分析】首先根据长方形面积公式计算目标图形的面积，利用单项式乘多项式法则展开，再结合图中A、B、C三类卡片的面积特征，通过对比多项式中各项的系数确定所需卡片的数量； 【详解】解：， 由图可知： A类卡片是长为、宽为的长方形，面积为，B类卡片是边长为的正方形，面积为，C类卡片是边长为的正方形，面积为， ∵目标面积中包含个和个， ∴需要C类卡片张，A类卡片张． 10．（25-26七年级下·陕西西安·期中）2026年江苏两会明确提出并重点部署乡村振兴工作，为更好地落实该精神，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所，已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用长方形面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：∵长方形面积长宽，已知长为，宽为， ∴面积， 根据单项式乘多项式法则展开得： ． 11．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为． （1）当时，______； （2）当的长变化时，与的差始终不变，则a与b满足的数量关系为______． 【答案】 【分析】（1）根据题意分别表示出和即可得到答案； （2）根据题意分别表示出和，进而求出的结果，根据当的长变化时，与的差始终不变求解即可． 【详解】解：（1）当时，，， ∴； （2）由题意得，，， ∴ ， ∵当的长变化时，与的差始终不变， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·广东深圳·期中）麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米．这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸． (1)把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (2)已知房屋的高度为米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）． 【答案】(1)把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的砖，购买所需地砖至少需要元； (2)在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，购买所需壁纸至少需要元． 【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每地砖的价格是元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出侧面积即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是元/平方米，求出需要的钱数即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， （元） 答：把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的砖，购买所需地砖至少需要元； （2）解：根据题意得：， （元） 答：在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，购买所需壁纸至少需要元． 多项式乘法 13．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用多项式乘单项式的法则计算即可； （2）利用多项式乘多项式的法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 14．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用单项式乘多项式的运算法则展开式子，再合并同类项得到结果；　 （2）分步计算，先计算前两个因式的乘积，再与第三个多项式相乘，整理得到最终结果. ． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 15．（25-26八年级上·江西南昌·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 16．（24-25七年级下·江苏·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法，掌握多项式乘多项式法则、乘法公式是解题关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （3）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 多项式乘法的化简求值 17．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）先化简，再求值，其中． 【答案】；26 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 18．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解：， ， 原式． 19．（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式以及求值、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将，代入得：原式． 20．（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对原式进行化简． 先利用平方差公式和完全平方公式将原式展开，再通过去括号，合并同类项进行化简，最后将的值代入化简后的式子求值． 【详解】原式 当时，将其代入， 原式=． 已知多项式乘积不含某项求字母的值 21．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若的展开式中不含x的一次项，则的值为（     ） A．2 B． C．0 D．1或2 【答案】A 【分析】展开原式并合并同类项，根据不含一次项的条件得一次项系数为，列方程求解即可． 【详解】解：， ∵的展开式中不含x的一次项， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·广东惠州·期末）若的乘积中不含与项，则的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，解题的关键是根据题意将式子展开再让不含该项的系数为0． 根据多项式乘多项式的法则，计算展开后，合并同类项，让与项的系数分别为 0 即可求解． 【详解】解： ， ∵乘积中不含与项， ， 解得：， ， 故选：A． 23．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）若展开后不含的二次项，则常数的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，利用多项式乘多项式的法则，将整式展开后再合并同类项，因为不含二次项，令二次项系数为零，求解的值． 【详解】解： ， 展开后不含的二次项， ， 解得：． 故答案为：． 24．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知的展开式中不含项和常数项，求： (1)m，n的值； (2)的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． （1）根据整式的运算法则进行化简后即可求出答案； （2）将m与n代入进行计算即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含项和常数项， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴ ． 多项式乘多项式与图形面积 25．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，现有一块长为m，宽为m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化． (1)求需要进行绿化的空地面积（用含，的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化空地的价格为20元/，则完成绿化共需要多少元？ 【答案】(1)（） (2)完成绿化共需要1220元 【分析】（1）利用长方形面积公式求出长方形面积，减去中间正方形面积化简即可； （2）将，，代入式子中，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：当时， （）， 元． 答：完成绿化共需要元． 26．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）教材中，在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是一个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为．因此，可得到等式：． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式：___________； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为___________； (3)代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___________项． (4)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N一共有___________项． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据图②，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）由（1）中结论可得，将所给式子的值整体代入即可； （3）由，共有项，， 共有项，进而找出规律，即可做答； （4）根据（3）中规律作答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴ ； （3）解：，共有项， 共有项， 可知展开后合并同类项共项， ∴展开后合并同类项共项； （4）解：由（3）知，展开后合并同类项共项． 27．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【基本方法】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解 (1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． (2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值． (3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把当作系数，将多项式去括号，合并同类项，得，再令的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将，的代数式代入式子，合并同类项得，然后根据的值与无关，令的系数为0，即可求出n的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，令的系数为0 ，即可求得与的关系． 【详解】（1）解： ， 其值与的取值无关， ， ； （2）∵，， ， 的值与无关， ，即； （3）设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ． 28．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______． (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】(1) (2)45 (3)4 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积及一元一次方程的应用，掌握多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得 ，从而得解． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为，所以有， 故答案为：； （2）解： 解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为，所以需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张，即， 故答案为：45； （3）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意： ， ， ， ， ， 即2号卡片的边长为4． 乘法公式 29．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10201 (2)4 【分析】（1）利用完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 30．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 31．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算 (1)利用乘法公式计算： (2)计算： 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）将转化为，再利用平方差公式计算即可求解； （2）将原式整理成，再用乘法公式计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 乘法公式与几何图形 33．（25-26七年级下·四川成都·期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：． (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式； （2）利用（1）中的等式变形后，直接代入求得答案即可； 【详解】（1）； （2）∵，， ∴； 【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． 34．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；  （请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 ，，求的值． ②计算： 【答案】(1)C (2)①3；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式； （2）①把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； ②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解． 【详解】（1）解：第一个图形中阴影部分的面积是，第二个图形的面积是， 则． 故选：C； （2）解：①∵，， ∴ 得：； ② ． 35．（25-26七年级下·山东淄博·期末）【阅读思考】 若已知x满足，要求的值． 我们可以假设，， 则根据题意我们可以得到等式， 同时，， 所以，． 【理解尝试】 若x满足，请仿照上面的方法，求代数式的值． 【拓展应用】 如图，正方形的边长为x，E，F分别是边上的点，且，，长方形的面积为12，分别以为边作正方形和正方形．求正方形和正方形的面积之和（即阴影部分的面积）． 【答案】【理解尝试】10；【拓展应用】25． 【分析】根据题意，利用完全平方公式进行计算即可，本题主要考查完全平方在几何图形中的应用，采用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】解： 设，， 则根据题意，得， 因为，， 所以， ， 所以，代数式的值为10； 【拓展应用】因为，正方形的边长为，且，， 所以，，， 所以，， 设，， 则根据题意，得， 因为，， 所以， ， 所以，正方形和正方形的面积之和为25． 36．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：                       (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于的关系式：（用含的代数式表示出来）； 图1表示：____________； 图2表示：____________； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值； ②请直接写出下列问题答案： 若，则______； 若，则______． (3)如图3，长方形中，，长方形的面积是210，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点作的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值）              图3 【答案】(1)； (2)①11  ②；22 (3)1936 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景： （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积可得；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积可得； （2）①把两边平方后，再代入，即可求出的值；②根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是210，结合完全平方公式代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即； 故答案为：；； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②由图2可得， ∵， ∴， ∴， 由图1可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；22 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵长方形的面积是210， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 通过对完全平方公式变形求值 37．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知，．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1)5 (2)1 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的变形是解题关键． （1）根据完全平方公式得再把两式子相加，进行计算即可． （2）根据完全平方公式得再把两式子相减，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 上两式子相加得， ∴． （2）解：∵，， ∴ 上两式子相减得， ∴． 38．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了完全平方公式，多项式乘多项式，能熟记公式是解此题的关键，注意：，． （1）先算乘法，再整体代入，即可求出答案； （2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 39．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，求和的值． 【答案】（1）37；（2）， 【分析】本题主要考查了完全平方公式，正确进行完全平方公式的变形是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式的变形解答即可； （2）根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．（25-26七年级下·陕西西安·期中）解决下列问题 (1)图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式___________． (2)若，，求与的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）确定小正方形的边长，求面积；用大正方形面积减去四个小长方形面积； （2）根据完全平方公式即可求出，由（1）得，代入数据即可求出． 【详解】（1）解：阴影部分（小正方形）边长为，面积为或阴影部分为， 则可以得到等式； （2）解：∵，， ∴； 由（1）， ∴． 求完全平方式中的字母系数 41．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）已知是完全平方式，则（    ） A．或 B． C． D．4或 【答案】A 【分析】利用完全平方公式对应各项关系即可求解k． 【详解】解：∵ ∴ ∴或． 42．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如果多项式是一个完全平方式，则a的值是________． 【答案】或13 【分析】根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴或． 43．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若关于x的二次三项式是完全平方式，则正数a的值是_______． 【答案】4 【详解】解：∵关于x的二次三项式是完全平方式， ∴ ∴正数a的值是4． 44．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)3或27 【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可； （2）先根据完全平方式的定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）是一个完全平方式， ， ． 当时，； 当时，． 故所求的值为3或27． 【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键． 多项式乘法中的规律性问题 45．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），可以解释（为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…．依据上述规律回答：若今天是星期二，则经过天后是（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 【答案】A 【分析】根据“杨辉三角”所给规律，结合一个星期为天，求出的余数，即可获得答案． 【详解】解：∵“杨辉三角”可以解释（为非负整数）计算结果的各项系数规律， ∴， ∵能被整除，， ∴的余数是， ∴经过天后是星期三． 46．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，杨辉三角给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第行的个数，，恰好对应将的展开式中的各项系数：第行的个数，，，恰好对应着的展开式中的各项系数．依此规律，那么中的系数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用杨辉三角“相邻两数相加得下一行数”的规律，推导出展开后各项的系数，找到对应的第项系数． 【详解】解：据图可知，展开式的各项系数，除首末项为外，其余各项系数都为相邻两项的和， 当，各项系数为，，，，，， 当，各项系数为，，，，，，， 在中，为从左向右数第项，对应的系数为． 47．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探索，代数式求值，根据已知等式得出规律，结合已知等式得到 ，在实数范围内求得，代入代数式计算即可． 【详解】解： ，， ． ． ． ． ∴． 当时， ． 48．（24-25七年级下·江苏·单元测试）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）算式改写为，算式再乘，即可利用所得结论计算； （4）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得x的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为． （2） ． 故答案为：． （3） ． 故答案为：． （4）因为， 所以． 所以． 因为， 当时， 所以，． 所以． 乘法公式的变形求值 49．（2026·江苏南通·三模）若实数，，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题通过两个方程相加消去参数，再对整理后的式子配方，利用平方数的非负性求出，的值，代入求后计算即可． 【详解】解：令为①，为②， ①+②消去得：， 变形配方得：， ∵平方数为非负数，两个非负数的和为，则每个平方都为， ∴， 解得， 把，代入①得：， 解得， ∴． 50．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知实数满足，则的最大值为（） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式变形求值、平方式的非负性．由已知条件和，通过将条件与相加和相减，得到和用表示的表达式，再利用非负性不等式即，代入得到关于的不等式，从而求出的最大值． 【详解】∵，， ∴两式相加：， 即，∴． 两式相减：， 即，∴． 由，得， 代入：， 即， 两边乘2，得， 即， 整理：， 即，∴． 当时取等号，由，得，代入验证成立， ∴的最大值为． 故选：A． 51．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是______；如图2，若，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、用完全平方公式变形求值，解决本题的关键是根据阴影的面积列代数式． (1)根据阴影与正方形的位置关系可得：，把代入代数式求值即可； (2)根据阴影与正方形的位置关系可得：，利用完全平方公式变形可以求出，把式子的值代入代数式计算求值． 【详解】解： ， 当时， ； ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：，． 52．（25-26八年级上·四川内江·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系 (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1) (2)3； (3)①；②． 【分析】（1）根据图形得出答案即可； （2）根据多项式乘多项式法则进行计算即可； （3）①先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可； ②先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可． 本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式等知识点，能熟记完全平方公式是解此题的关键，，． 【详解】（1）解： ． 故答案为：； （2）， 要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片3张． 故答案为：3； （3）①， 又， ， 解得：； ②， ， ， 解得：． 乘法公式与几何图形结合问题 53．（25-26七年级下·广东佛山·期中）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张 (3)64 【分析】（1）根据等积法，列出等式即可； （2）将利用多项式乘以多项式的法则展开，即可得出结果； （3）设，根据题意易得，，再根据完全平方公式和平方差公式进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积之差为. 54．（2026·山东青岛·二模）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)11 (2)①；② 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）①利用新定义的运算法则化简，再整体代入求解即可； ②利用矩形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，再将①中数据整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②图中阴影部分的面积 ， ∵，， ∴原式． 55．（25-26七年级下·四川成都·期中）“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． 【初步感知】 (1)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值． 【类比探究】 (2)若x满足，求的值； 【拓展应用】 (3)如图②，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】(1)13 (2)10 (3)种草区域的面积和为60平方米． 【分析】（1）利用公式求解即可； （2）设，则，进而得，利用公式变形，代入计算即可得出答案； （3）设，则种花区域的面积，（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】（1）解：∵，而，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解：设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （3）解：设， 于点E，米， ，，，，， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 56．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与实践 为迎接校园文化节，班级计划制作主题装饰卡片，数学老师带领同学们利用图形拼接探究面积关系，设计了以下三个探究环节： 【探索发现】活动课上，老师准备了一张长为a、宽为（）的长方形彩纸，沿图1中的虚线将其平均分成4个相同的小长方形，再按图2的方式重新拼接成一个大正方形，用于制作卡片的外框． (1)观察图1与图2的面积关系，请写出、与之间的等量关系：______； 【灵活运用】 (2)已知，，求的值； 【实际应用】 (3)如图3，为制作卡片的双层边框，小明将正方形卡片与正方形卡片部分重叠，重叠部分为长方形．分别延长、，交、于点P、Q，所得四边形和均为正方形，四边形为长方形．已知，，长方形的面积为，求正方形卡片的面积． 【答案】(1) (2)25 (3) 【分析】（1）分别表示图1，2中四个长方形的面积和，即可得出关系． （2）利用即可计算； （3）不妨设，根据四边形为正方形，可得到，根据长方形的面积为，可得到，接着表示出正方形的边长为，最后利用算得答案． 【详解】（1）解：图1面积为：， 图2中，大正方形的边长为，小正方形边长为， 那么图2中边框中4个小长方形面积为：， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：设， ∵，，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，即， ∴， ∵长方形的面积为， ∴， ∵四边形和均为正方形， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴正方形的面积为， ∵，， ∴． 乘法公式中配方法问题 57．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 (3) 【分析】（1）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （2）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值． 【详解】（1）解：的三种配方分别为： ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 58．（25-26八年级上·福建泉州·期末）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题．如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． ， ∵， ∴当时，有最小值． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)若，请求出、的值； (2)试说明代数式的值都不大于； (3)若代数式的最小值为，试求出的值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （2）利用配方法和平方非负数的性质即可得到结论； （3）利用配方法和平方非负数的性质可得有最小值，从而得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴、． （2）证明：∵， 又∵， ∴， ∴当时，有最大值， ∴无论取何值，代数式的值都不大于． （3）解：∵ ， 又∵ ∴当时，有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题是因式分解的应用，考查完全平方式和平方的非负性．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 59．（25-26八年级上·四川内江·期末）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下： ∵ ∴ 因此，该式有最小值1 ②已知：将其变形，，，可得 (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，求p的最大值； (3)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由； (4)若，，，请求出的值． 【答案】(1) (2)当时，p的最大值为6 (3)是等边三角形，理由见解析 (4)3 【分析】（1）根据材料步骤配方即可； （2）先配方成顶点式即可解题； （3）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题； （4）先配方成几个平方的和的形式，整体代入即可解题． 【详解】（1） （2）∵ ∴当时，p的最大值为6 （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形 （4）∵，， ∴，， 原式 【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟读阅读材料并理解运用是解题的关键． 60．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）有教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，这种方法能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：求代数式的最小值； 解：∵ ， 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料解决下列问题： (1)当_____时，代数式 有最大值，这个值为_____； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)，； (2)当时， 有最大值，最大值是； (3)当，时，多项式有最小值，最小值是． 【分析】（）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解：当时，代数式 有最大值，这个值为， 故答案为：，； （2）解：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴当时， 有最大值，最大值是； （3）解： ， ∵，， ∴当，时，多项式有最小值，最小值是． 乘法公式的新定义问题 61．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）现定义一种新运算“”，对于任意数，，都有． 例如． 请根据上述定义回答下列问题： (1)计算：； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）根据定义求出的结果，再根据得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ； ∵， ∴ ∴， ∴． 62．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：44 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 【答案】(1)不是 (2)“和谐数”能被8整除．见解析 (3)阴影面积为20000 【分析】（1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，不是整数， ∴44不是“和谐数”； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解：阴影部分的面积           ， 答：阴影面积为20000． 63．（25-26七年级下下·四川成都·期末）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是______；第36个领先数是______． 【答案】 39 439 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，令，，，…，，…，是领先数，且，根据定义得，，，，是解题的关键． 【详解】解：令，，，…，，…，是领先数，且， 由题意可知，最小的领先数是11，即， 由定义可知，一个领先数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1， 设， 则， ∵， 要保证是领先数，则的十位数字比个位数字大1， 则只需保证，为100的倍数，则， 的十位和个位必定和的相同， ∴， 即是领先数，同理，，，…，是领先数， 现计算50以内的正整数的平方，根据定义可得： ，，，， ∴，，，， ∴，，，， 则， 故答案为：39，439． 64．（25-26七年级下上·江苏无锡·期末）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)，的最小值为1； (3)当时，S为“完美数”． 【分析】本题考查完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用配方法，将其配成完美数，可求出最小值； （3）根据完全平方公式，将其配成完美数，可求的值． 【详解】（1）解：25是“完美数”，将它写成（，是正整数）的形式为：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∴的最小值为1； （3）解：， ，是整数， ，也是整数， 要使S为“完美数”， ∴， 解得：， ∴当时，S为“完美数”． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式乘法 单项式乘法 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 乘法公式 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 乘法公式与几何图形 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 单项式乘法 1．（25-26七年级下·宁夏中卫·期中）计算：______． 2．（2026七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算：________． 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）计算：． 4．（25-26七年级上·上海长宁·期中）计算： 利用单项式乘法求字母或代数式的值 5．（24-25七年级下·宁夏中卫·期末），求的值_______． 6．（25-26七年级下·江苏·期末）若，，则____________． 7．（25-26八年级上·重庆·期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是_______． 8．（25-26七年级下·江苏·期末）已知，，求代数式的值． 单项式乘法的应用 9．（25-26七年级下·河北张家口·期中）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 10．（25-26七年级下·陕西西安·期中）2026年江苏两会明确提出并重点部署乡村振兴工作，为更好地落实该精神，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所，已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为． （1）当时，______； （2）当的长变化时，与的差始终不变，则a与b满足的数量关系为______． 12．（25-26七年级下·广东深圳·期中）麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米．这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸． (1)把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (2)已知房屋的高度为米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）． 多项式乘法 13．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 14．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 15．（25-26八年级上·江西南昌·期末）计算： (1) (2) 16．（24-25七年级下·江苏·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 多项式乘法的化简求值 17．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）先化简，再求值，其中． 18．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中． 19．（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 20．（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 已知多项式乘积不含某项求字母的值 21．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若的展开式中不含x的一次项，则的值为（     ） A．2 B． C．0 D．1或2 22．（25-26八年级上·广东惠州·期末）若的乘积中不含与项，则的值为（    ） A． B． C． D．8 23．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）若展开后不含的二次项，则常数的值为_______． 24．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知的展开式中不含项和常数项，求： (1)m，n的值； (2)的值． 多项式乘多项式与图形面积 25．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，现有一块长为m，宽为m的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为m的正方形花坛，并将其余空地（图中阴影部分）进行绿化． (1)求需要进行绿化的空地面积（用含，的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化空地的价格为20元/，则完成绿化共需要多少元？ 26．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）教材中，在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是一个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为．因此，可得到等式：． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式：___________； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为___________； (3)代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___________项． (4)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N一共有___________项． 27．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【基本方法】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解 (1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． (2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值． (3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 28．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_______． (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多4． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 情形二：将1张1号片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 乘法公式 29．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）用乘法公式计算： (1)； (2)． 30．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 31．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)． 32．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算 (1)利用乘法公式计算： (2)计算： 乘法公式与几何图形 33．（25-26七年级下·四川成都·期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：． (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 34．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；  （请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 ，，求的值． ②计算： 35．（25-26七年级下·山东淄博·期末）【阅读思考】 若已知x满足，要求的值． 我们可以假设，， 则根据题意我们可以得到等式， 同时，， 所以，． 【理解尝试】 若x满足，请仿照上面的方法，求代数式的值． 【拓展应用】 如图，正方形的边长为x，E，F分别是边上的点，且，，长方形的面积为12，分别以为边作正方形和正方形．求正方形和正方形的面积之和（即阴影部分的面积）． 36．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：                       (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于的关系式：（用含的代数式表示出来）； 图1表示：____________； 图2表示：____________； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值； ②请直接写出下列问题答案： 若，则______； 若，则______． (3)如图3，长方形中，，长方形的面积是210，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点作的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值）              图3 通过对完全平方公式变形求值 37．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知，．求： (1)； (2)的值． 38．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值． 39．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，求和的值． 40．（25-26七年级下·陕西西安·期中）解决下列问题 (1)图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，根据以上操作可以得到等式___________． (2)若，，求与的值． 求完全平方式中的字母系数 41．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）已知是完全平方式，则（    ） A．或 B． C． D．4或 42．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如果多项式是一个完全平方式，则a的值是________． 43．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若关于x的二次三项式是完全平方式，则正数a的值是_______． 44．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 多项式乘法中的规律性问题 45．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），可以解释（为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…．依据上述规律回答：若今天是星期二，则经过天后是（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 46．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，杨辉三角给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第行的个数，，恰好对应将的展开式中的各项系数：第行的个数，，，恰好对应着的展开式中的各项系数．依此规律，那么中的系数是（　　） A． B． C． D． 47．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为__________． 48．（24-25七年级下·江苏·单元测试）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 乘法公式的变形求值 49．（2026·江苏南通·三模）若实数，，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 50．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知实数满足，则的最大值为（） A． B．1 C． D．0 51．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是______；如图2，若，，则的值是______． 52．（25-26八年级上·四川内江·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系 (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值； ②已知：，求的值． 乘法公式与几何图形结合问题 53．（25-26七年级下·广东佛山·期中）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 54．（2026·山东青岛·二模）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 55．（25-26七年级下·四川成都·期中）“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． 【初步感知】 (1)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值． 【类比探究】 (2)若x满足，求的值； 【拓展应用】 (3)如图②，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 56．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与实践 为迎接校园文化节，班级计划制作主题装饰卡片，数学老师带领同学们利用图形拼接探究面积关系，设计了以下三个探究环节： 【探索发现】活动课上，老师准备了一张长为a、宽为（）的长方形彩纸，沿图1中的虚线将其平均分成4个相同的小长方形，再按图2的方式重新拼接成一个大正方形，用于制作卡片的外框． (1)观察图1与图2的面积关系，请写出、与之间的等量关系：______； 【灵活运用】 (2)已知，，求的值； 【实际应用】 (3)如图3，为制作卡片的双层边框，小明将正方形卡片与正方形卡片部分重叠，重叠部分为长方形．分别延长、，交、于点P、Q，所得四边形和均为正方形，四边形为长方形．已知，，长方形的面积为，求正方形卡片的面积． 乘法公式中配方法问题 57．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)已知，求的值． 58．（25-26八年级上·福建泉州·期末）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题．如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． ， ∵， ∴当时，有最小值． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)若，请求出、的值； (2)试说明代数式的值都不大于； (3)若代数式的最小值为，试求出的值． 59．（25-26八年级上·四川内江·期末）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下： ∵ ∴ 因此，该式有最小值1 ②已知：将其变形，，，可得 (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，求p的最大值； (3)已知a、b、c是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由； (4)若，，，请求出的值． 60．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）有教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，这种方法能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：求代数式的最小值； 解：∵ ， 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料解决下列问题： (1)当_____时，代数式 有最大值，这个值为_____； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 乘法公式的新定义问题 61．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）现定义一种新运算“”，对于任意数，，都有． 例如． 请根据上述定义回答下列问题： (1)计算：； (2)若，求a的值． 62．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：44 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 63．（25-26七年级下下·四川成都·期末）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是______；第36个领先数是______． 64．（25-26七年级下上·江苏无锡·期末）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $