专题02 整式乘法25大题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 以25类题型构建从基础运算到综合应用的递进式训练体系，融合数形结合、整体思想等方法，强化知识逻辑与解题技巧的系统关联。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|30|定义法、系数分离法、图形转化法|从单项式到多项式乘法的算理延伸| |公式应用|30|公式变形、非负性应用、整体代换|乘法公式的几何意义与代数变形统一| |综合拓展|17|新定义转化、配方法求最值、规律归纳|跨情境问题的数学建模与推理|

专题02 整式乘法25大题型 题型1 单项式乘法计算 题型14 通过对完全平方公式变形求值（重点） 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型15 求完全平方式中的字母系数 题型3 单项式乘多项式的应用 题型16 利用乘法公式的非负性求值（重点） 题型4 多项式乘法计算 题型17 乘法公式中整体思维（重点） 题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法（常考点） 题型18 乘法公式中图形面积问题（重点） 题型6 多项式乘法的化简求值（常考点） 题型19 乘法公式中的规律性计算 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重点） 题型20 乘法公式与卡片组合相关问题 题型8 多项式乘法与图形面积 题型21 乘法公式的新定义运算（难点） 题型9 多项式乘法中图形几何无关问题 题型22 乘法公式中的配方法求最值（难点） 题型10 多项式乘法中的规律性问题（难点） 题型23 选填压轴题（难点） 题型11 乘法公式计算题（常考点） 题型24 解答压轴题（难点） 题型12 平方差公式与几何图形（常考点） 题型25 江苏地区期末常考题型 题型13 完全平方公式与几何图形（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 单项式乘法计算（共3小题） 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 2．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）计算： 【答案】 【详解】解：原式. 3．（25-26七年级下·江苏·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方法则， 单项式乘多项式法则计算， 再合并同类项得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值（共3小题） 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 5．（2025七年级下·江苏·期末）若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知等式成立，求的值． 【答案】2 【分析】先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：， ∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴ ． 题型三 单项式乘多项式的应用（共3小题） 7．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，正确表示出和是解题关键． 利用图形得出，，作差得到，再代入计算求值即可． 【详解】解：图①中阴影部分面积， 图②中阴影部分面积， ， 当时，的值为． 故选：B． 8．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【答案】30 【分析】由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【详解】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 9．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）学校课外学习小组想靠着一面足够长的旧墙，开垦一块长方形的实验田，如图所示，实验田的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共27米． (1)设垂直于墙面的一边长为米，则边的长用含的代数式可表示为 ______米； (2)用含的代数式来表示实验田的面积； (3)当时，实验田面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)平方米 (3) 【分析】（1）根据，可得，整理可得答案； （2）根据长方形的面积长宽可得答案； （3）把代入可得实验田的面积． 【详解】（1）解：米， 故答案为：； （2），， 平方米； （3）当时，（平方米）． 【点睛】本题考查列代数式和代数式的值，根据题意列出代数式是解题关键． 题型四 多项式乘法计算（共3小题） 10．（25-26七年级下·江苏常州·期中）小刚同学做一道整式乘法的题目，他误将中前面的“”抄成了“”，得到的结果为．根据上述信息，回答下列问题： (1)__________； (2)求出的正确结果． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据题意计算，根据多项式相等的条件即可求出a的值； （2）列出正确的算式，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ； （2）解： ； 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 12．（25-26七年级下·江苏常州·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式，直接利用多项式乘法化简进而合并同类项得出即可．正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ， ． 题型五 （x+p）（x+q）型多项式乘法（共3小题） 13．（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，代数式求值，将所求代数式展开，利用已知方程变形代入求值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ . 故选：C． 14．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出的值即可求解，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵为正整数， ∴， ∴或或或或， ∴的值不可能是， 故选：C． 15．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若，则________． 【答案】17 【分析】先利用多项式乘多项式法则将展开，然后合并同类项，即可确定、的值，再代入计算即可． 【详解】解： ， 又∵， ∴，， ∴． 题型六 多项式乘法的化简求值（共3小题） 16．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．根据多项式乘多项式法则展开，然后合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， ． 17．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解：， ， 原式． 18．已知，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代数式求值．利用整式混合运算法则把式子进行整理，再将变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值为5． 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共3小题） 19．（25-26七年级下·江苏常州·期末）若的展开式中不含x项，则实数m的值为（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】C 【分析】先展开式子合并同类项，再令一次项系数为即可求解的值． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ∴，解得 ． 20．（25-26八年级上·山东德州·期末）若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键，展开多项式，合并同类项，得到项的系数表达式，令其等于，解方程求． 【详解】解：展开 ． ∵项的系数为 ， ∴， 解得． 故答案为 3． 21．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）先将已知代数式整理后，根据题意求得的值； （2）根据，求得的值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 因代数式中不含项与常数项， ， ． （2）解：∵， ， ， 解得：， ． 题型八 多项式乘法与图形面积（共3小题） 22．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段检测）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门将阴影部分进行绿化，中间边长为米的正方形将修建一座雕塑，则： (1)用含a、b的式子表示绿化面积，并简化式子； (2)求，时，绿化面积是多少． 【答案】(1)平方米 (2)6300平方米 【分析】（1）根据图形可以用代数式表示出绿化的面积； （2）将a、b的值代入代数式，即可解题． 【详解】（1）解：由题意可得， 绿化面积为： 平方米； （2）解：当时， 平方米， 即绿化面积为6300平方米． 23．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）教材中，在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是一个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为．因此，可得到等式：． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式：___________； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为___________； (3)代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___________项． (4)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N一共有___________项． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据图②，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）由（1）中结论可得，将所给式子的值整体代入即可； （3）由，共有项，， 共有项，进而找出规律，即可做答； （4）根据（3）中规律作答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴ ； （3）解：，共有项， 共有项， 可知展开后合并同类项共项， ∴展开后合并同类项共项； （4）解：由（3）知，展开后合并同类项共项． 24．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C（）将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若图1中阴影部分周长______，图2中阴影部分周长______； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含a，b，c的代数式表示）． (3)若，求出b与c满足的数量关系． 【答案】(1)20，28 (2) (3) 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含a，b，c的代数式表示出，，，是解题的关键． （1）先分别用含a，b，c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将代入计算，即可求解； （2）先分别用含a，b，c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差，即可获得但； （3）结合（1）（2）可得，，再代入进行运算，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，长方形的长为，宽为， 则， ， 当时， ，． 故答案为：20，28； （2）由图形可知，长方形的长为，宽为， 则， ， ∴； （3）由（1）（2）可知，，，， ∴， 将，代入， 可得，整理可得， 即， ∴b与c满足的数量关系为． 题型九 多项式乘法中图形几何无关问题（共3小题） 25．（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）把含有的项提取公因式，然后根据关于的代数式的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可； （2）把已知条件中的和代入，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据的值与无关，列出关于的方程，解方程即可； （3）设，由图可知，，然后再求出，最后根据的值始终保持不变，得到关于，的等式即可． 【详解】解：（1） ， 关于的代数式的值与的取值无关， ， 解得：， 故答案为：4； （2）， ， 的值与x无关， ， 即； （3）设，由图可知， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， 26．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，有关，无关 (3)存在使得S为定值，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． （1）由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为； （2）由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，据此求解即可； （3）由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为， 故答案为：； （2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴阴影A和阴影B的周长之和与有关，与无关， 故答案为：正确，有关，无关； （3）解：∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， ∴当时，为定值，定值为． 27．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值． (3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解； （3）由图得，，，由线段和差求出，，分别求出，，由多项式不含某一项的条件即可求解； 掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，多项式不含某一项的条件为这一项的系数为零，多项式混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由图得 ； 故答案：； （2）解：，， ， 解得：； （3）解：由图得： ， ， ， ， ， ， ， S的值与无关， ． 题型十 多项式乘法中的规律性问题（共3小题） 28．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： (1)【观察】①______； ②______； ③______；…… (2)【猜想】由此可得：______； (3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】（1）①利用平方差公式计算即可得出结果；②利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果；③利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）观察（1）中计算结果即可得出结论； （3）令，则，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①； ② ； ③ ； （2）解：由此可得：； （3）解：令， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． (1)根据上述规律，请写出第5个等式：______； (2)猜想：______； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，等式的左边第一个因式是相同的，都是，第二个因式是从开始加到a的序号次幂；等式的右边是a的序号加1次幂减去1，解答即可； （2）根据前面的规律，直接解答即可； （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，第5个等式为； （2）解：根据规律，得； （3）解：根据， 得． 30．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）张老师组织学校数学兴趣小组展开探究发现： …… (1)启航小组提出的问题是：试求的值，请你合理推算； (2)展翅小组提出的问题是：判断的值的末位数是几，请你写出推断过程； (3)若，求的值． 【答案】(1)63 (2)3，过程见解析 (3)1 【分析】（1）将原式乘上，再根据题干的规律即可求解； （2）由题意可知，原式，再根据2的次幂（是正整数）末位数的周期规律推导可得的末位数为4，进而得出的末位数，即可解答； （3）由已知得到，求得，再逆用幂的乘方法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 从2的1次幂开始，末位数依次是2、4、8、6、2、4、8、6、2、4、8、6……， ∴2的次幂（是正整数）末位数以4为周期进行循环， ∵， ∴的末位数为4， ∴的末位数为3， 即的值的末位数是3； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型十一 乘法公式计算题（共3小题） 31．（25-26七年级下·江苏南京·期中）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)40401 (2)0.25 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 32．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式乘多项式、单项式乘多项式法则展开，然后合并同类项即可； （2）将原式变形为，然后分别利用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十二 平方差公式与几何图形（共3小题） 34．（1）通过观察比较甲、乙两图的阴影部分面积，可以得到的整式乘法公式为 （用式子表示）． （2）运用你得到的公式，计算下列各题： ①； ② 【答案】（1）（2）①  ② 【分析】本题考查整式的运算法则，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； （1）利用平方差公式即可求解； （2）①利用平方差公式求解即可；②把看做整体，然后利用平方差公式求解即可； 【详解】解：（1）   （2）① ② 35．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）图1、图2分别由两个长方形拼成． (1)图1中图形的面积为，图2中图形的面积为 ．（用含有a、b的代数式表示） (2)由（1）可以得到等式： ． (3)根据你得到的等式解决下列问题： ①计算：． ②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)① 3700； ② 5 【分析】本题考查平方差公式与几何面积． （1）利用长方形的面积公式作答即可； （2）根据两个图形的面积相等，即可得出等式； （3）①利用（2）中的等式进行计算即可；②先用平方差公式进行化简，再代值计算即可． 解题的关键是得到． 【详解】（1）解：图2中图形的面积为； 故答案为：； （2）由（1）可得：； 故答案为：； （3）① ； ②∵， ∴ ． 36．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，将一个长为、宽为的大长方形（如图1）剪成两个长分别为a和b、宽均为的小长方形，然后将这两个小长方形拼成如图2所示的图形，发现空白部分恰好是边长为a的正方形剪去边长为b的小正方形（阴影部分）． (1)图1中大长方形的面积可以表示为___________，图2中空白部分的面积可以表示为___________； (2)根据（1）中的结果可以得到乘法公式：___________，利用这个公式计算： ①； ② 【答案】(1)， (2)；①；② 【分析】（1）图1根据长方形面积公式求解即可；图2用边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积进行求解即可； （2）题干：根据图1和图2中空白部分面积相等即可得到乘法公式；①在式子前面添上，然后利用平方差公式求解即可；②在式子前面添上，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图1中大长方形的面积可以表示为； 图2中空白部分的面积可以表示为； 故答案为：，； （2）解：∵图1和图2中空白部分的面积相等， ∴； ； ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟知平方差公式是解题的关键． 题型十三 完全平方公式与几何图形（共3小题） 37．（24-25七年级下·江苏常州·期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)利用如图可以验证公式 ； (2)利用（1）中得到的公式解决问题： ①若，，则 ； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①28；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据几何图形的面积即可得； （2）①先变形，再代入求值即可； ②把和看做一个整体，再式子变形求解即可． 【详解】（1）解：通过计算几何图形的面积可得：， 故答案为：． （2）解：①∵，， ∴， 故答案为：28． ②∵， ∴ ∴． 38．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法． 【方法生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图，可得到我们学过的公式：______． 【拓展探究】 （2）小圣得到启发，利用上面的方法得到一个新公式（如图）：______． 【公式应用】根据小圣发现的新公式，解决下面的问题： （3）直接写出结果：______． （4）已知，，求的值． 【答案】（）；（）；（）；（）． 【分析】（）根据计算图中正方形面积公式的两种方法即可求解； （）根据计算图中正方形面积公式的两种方法即可求解； （）仿照（）即可求解； （）利用（）的等式即可求解； 本题考查了几何面积与多项式的关系，正确掌握多项式变化与几何面积的关系是解题的关键． 【详解】（）图中正方形面积，， 则， 故答案为：； （）， 故答案为：； （）由（）得， ∴， ， ， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 39．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图，可得等式：． (1)由图可得等式： ． (2)利用（）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； (3)利用图中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【分析】（）根据图，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （）根据（）中结果，求出所求式子的值即可； （）根据已知等式，作出相应图形即可； 此题考查了多项式乘以多项式及完全平方公与几何图形的面积，代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ； （3）如图所示： 题型十四 通过对完全平方公式变形求值（共3小题） 40．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）由，然后代入即可求解； （）由，然后代入即可求解； （）由，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：由（）得， ∵， ∴， ∴ ． 41．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． （1）将两边平方，利用完全平方公式化简，得出，把，的值代入求出的值； （2）把变形为，把，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ． ． ； （2）（2）， ． 42．（24-25七年级下·江苏常州·期末）阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即： 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值； 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题考查对于配完全平方公式的理解，偶次方的非负性，对已知式子进行正确的变形，根据题中给出的例子理解配完全平方公式要先找到平方项和中间项，是本题的解题关键，然后根据平方的非负性，得出几个非负数或者式子的和为0，那么这几个数或者式子分别为0． （1）先将原式进行配方可得，然后解得和，代入即可得出答案； （2）先将原式中的化成，然后进行配方，可得，然后可得和，代入即可得出答案； （3）由可得，然后代入，再将等式左边整理成两个整式的平方和，然后根据偶次方的非负性求出b，c的值，然后可得a的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 即：； （2）解：∵， ∴， 可得：， ∴，， ∴， 则； （3）解：∵， ∴， 把代入得：， 整理得：， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴， 则． 题型十五 求完全平方式中的字母系数（共3小题） 43．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若能用完全平方公式因式分解，则的值为（    ） A．6 B．或8 C．或6 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，根据已知条件，结合完全平方公式，即可求解． 【详解】解：能用完全平方公式因式分解， 则（能用完全平方公式因式分解，即， 解得或． 故选：B． 44．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若一个关于x的多项式的完全平方是，则的值为____． 【答案】25或 【分析】根据完全平方式的结构特征作答，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 【详解】解：由于多项式是完全平方式，且常数项， 因此该多项式可以写成的形式， 因为， 通过比较与的一次项系数， 可得， 解得或． 45．（25-26七年级下·江苏·期末）如果，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 根据完全平方公式化简，由对应项系数相等即可求得的值． 【详解】解： ∵， ∴，， 由得， ∴， 故答案为：． 题型十六 利用乘法公式的非负性求值（共3小题） 46．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，我们称A具有“非负性”，并且当时，A取到最小值为0． (1)下列具有非负性的代数式有 ． ①；②；③；④；⑤ (2)若，则当 时，A取到最小值为 ． (3)已知，求代数式的最小值． 【答案】(1)②③④ (2)， (3) 【分析】（1）直接根据非负性的定义逐一判断即可； （2）先将式子根据完全平方公式写出的形式，再根据非负性的性质即可得出答案； （3）先根据完全平方公式和平方差公式展开得出，再将代入化简为，然后根据变形为，即可得出，从而可得出答案． 【详解】（1）①不一定，不具有非负性； ②具有非负性； ③具有非负性； ④，具有非负性； ⑤，不具有非负性； 具有非负性的代数式有②③④ 故答案为：②③④； （2） 当时，A取到最小值为 故答案为：，； （3） 原式 代数式的最小值为． 【点睛】本题考查了非负性的性质，涉及到完全平方公式、平方差公式、不等式的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 47．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题都有广泛的应用． 例如：用配方法分解因式：． 原式． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 【答案】(1)；6 (2)，最小值 【分析】（1）根据配方的基本步骤解答即可； （2）根据配方的基本要求配方成，利用实数的非负性求得最小值即可． 本题考查了配方法解题，非负性解题，熟练掌握配方，实数的非负性是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得， 故答案为：；6． （2）根据题意，得， ， 故最小值为． 48．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）阅读下列材料： ，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解次问题的思路方法叫做配方法．用配方法解决下列问题： (1)____+1． (2)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知为的三边长，且满足，试判断此三角形的形状． 【答案】(1) (2)当，时，多项式有最小值5 (3)是等边三角形 【分析】本题考查了完全平方式非负性的应用，理解非负性，会用非负性解决问题是解题的关键． （1），利用完全平方公式展开求解； （2）将化为，即可求解； （3）可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ 故答案为：； （2）由题意得， ， 当，时，多项式有最小值5； （3）由题意得， ， ， ，， ，， ， 是等边三角形． 题型十七 乘法公式中整体思维（共3小题） 49．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，例如，我们可以将看成一个整体，则，请根据上面的提示和范例，解决下面问题： (1)把看成一个整体，求将合并的结果； (2)已知，求的值； 【答案】(1)； (2)1． 【分析】（1）仿照文中所给的例子解答即可； （2）根据，求出，即可求出． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整体代入的思想，整式的混合运算法则，已知式子的值，求代数式的值，解题的关键是理解整体代入的思想． 50．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）“整体思想”是中学数学解题过程中的一种重要的思想方法，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 例如，已知方程组：，求，的值． 解：原方程组即为，设， 原方程组可变形为：， 解得，即． 理解上述内容，解决下列问题： (1)若关于的一元一次方程（，为常数，且）的解为，则关于的一元一次方程的解为________； (2)已知关于，的方程组，求的值； (3)已知关于，，的方程组，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题围绕“整体思想”展开，通过将复杂式子中的部分看作整体进行代换，简化计算，涉及解二元一次方程组，完全平方公式的应用，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法，设，因为，所以，即可求得的值； （2）设，，解关于，的二元一次方程组，求出的值，再利用，即可求出的值； （3）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出，的值，进而可求出的值． 【详解】（1）解：设， ，即， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：原方程组为， 设，， 原方程组可变形为：， 解得，即， ∵， ∴； （3）解：设，， 由可得，即①， 由可得，即②， ①②得， 解得， 把代入①得，， ． 51．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路； ①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程． ②可以用“数形结合”的方法，画出表示的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框中画出图形，并作适当标注． （2）利用（1）的结论分解因式：_______． （3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下： ① ∵ ∴． 故当时代数式的最小值为-2 ② ∵ ∴ 故当时代数式的最大值为4 请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式有最小值，并确定它的最小值． 【答案】（1）①见详解，②见详解 （2） （3），，时，有最小值，为18． 【分析】（1）①运用完全平方公式进行计算即可得出结论；②可画出边长为a+b+c的正方形即可； （2）将多项式组合后，运用完全平方公式进行因式分解即可； （3）将代数式化成完全平方式即可判断出结果． 【详解】解：（1）①第一种变形方法： = = = =； 第二种变形方法： = = = =； ②如图，， （2） = = =， 故答案为：； （3） ， ∵，， ∴当，，即，时，有最小值，为18． 即，，时，有最小值，为18． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何应用，能灵活运用完全平方公式解决问题是解答本题的关键． 题型十八 乘法公式中图形面积问题（共3小题） 52．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ． (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简） (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积 ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）利用“等面积法”解答即可； （2）利用“等面积法”得到等式，再利用单项式乘多项式的运算规则进行化简即可； （3）①由（2）知，进而得到，结合a，b为三角形边长，进行求解即可； ②根据题意得到，根据得到，进而利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：大正方形边长为，整体面积为； 将正方形分割成四个部分的面积和为： 因此得到等式：； （2）解：整体计算直角梯形的面积为 将直角梯形分割成四个部分的面积和为 因此得到等式： 整理得：； （3）解：①在直角中，，三边长分别为a、b、c，且， 由（2）知， ， ∴， a，b为三角形边长， ， ； ②三角形的周长为2，，， ， 在直角三角形中，， ， 即， ， ， ，， ． 53．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法．通过对整式乘法的学习，我们发现对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)正方形是由如图1的三个图形（一个正方形和两个一样的梯形）拼接而成．请你观察所拼图形，通过不同方式表示大正方形的面积，写出验证完全平方公式的过程． (2)利用（1）中的结论解决问题：若，，求的值． (3)如图2，是线段上一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)验证见详解 (2) (3) 【分析】（1）一个正方形和两个一样的梯形拼成了一个边长为的大正方形，用两种不同的方式求出大正方形的面积，可以验证完全平方公式； （2）把，代入，即可求出的值； （3）设，，由可得：，由可得：，整体代入可以求出，连接，可知，根据三角形的面积公式可得：，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意可得一个正方形和两个一样的梯形拼成了一个边长为的大正方形， ∴大正方形的面积可以表示为， ∵小正方形的面积是，两个梯形的面积为， ∴大正方形的面积等于小正方形的面积与两个梯形的面积之和，即， ∴可验证完全平方公式； （2）解：由（1）可得：， ∵，， ∴， 解得：； （3）解：设，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 解得：， 如下图所示，连接， 则 ； 54．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）【课本探究】 在第八章《整式乘法》章头图的探究活动中得到：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得出一个数学等式． 【归纳证明】 (1)如图1所示的大正方形，是由边长为的大正方形、边长为的小正方形和两个长为、宽为的长方形构成，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是___________； 【能力提升】 (2)若满足，求的值； 【实际应用】 (3)如图2，已知数轴上，，，表示的数分别是、、，以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为，求长方形的面积； (4)图3中涂色部分是直角边长为，，斜边长为的个直角三角形．请问，，，存在怎样的数量关系，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）通过两种方法计算阴影面积，推导出完全平方公式； （2）用整体代换法，结合完全平方公式求代数式的值； （3）先设元，然后利用完全平方公式的变形，求出长方形的面积； （4）通过两种方法计算图形面积，推导出，，的关系． 【详解】（1）解：据题可知，阴影部分的面积为，也可以表示为， 可得，即． （2）解：设，， 则，， ∴ ， 故 ． （3）解：正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为，正方形的面积为， 长方形的面积可表示为， 正方形与正方形面积的和为， ， 令，， 则，， 由，可得，解得， 即 故长方形的面积为． （4）解：，理由如下： 如图， 据图可知，， 则图形的面积为， 可得 ， 则， 故． 题型十九 乘法公式中的规律性计算（共3小题） 55．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）观察下列等式： ； ； ；…… (1)请写出第④个等式：__________ (2)从上述等式中，你发现了什么规律，用适当的等式表示你发现的规律：__________； (3)证明你发现的规律． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）模仿题干过程，进行分析作答即可； （2）设是自然数，且，则相邻的两个奇数为和，两个连续奇数的平方差等于； （3）利用乘法公式展开，证明左边等于右边即可； 【详解】（1）解：依题意，第④个等式：； （2）解：设是自然数，且，则相邻的两个奇数为和， 规律可以表示为：（为正整数）； （3）证明：由（2）得（为正整数）， 则左边右边， 故结论得证． 56．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．我们称这个三角形为“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)补充完整的展开式：______； (2)的展开式中共有______项，所有项系数的和为______； (3)利用上面的规律计算：． (4)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 【答案】(1)，验证见解析 (2)， (3) (4)四 【分析】（1）根据题目所给式子可写出的展开式，然后改写成，计算即可验证； （2）由“杨辉三角”归纳的项数与所有项的系数和的规律即可； （3）根据“杨辉三角”的规律解答即可； （4）根据规律得出，可得除以的余数为，即可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，，验证如下： ． （2）解：的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， …… ∴的展开式有项，所有系数的和为， ∴的展开式有项，所有系数的和为． （3）解：由“杨辉三角”的规律得，． （4）解：由“杨辉三角”的规律得（、…是常数）， ∵能被整除， ∴除以的余数为， ∴再过天是星期四． 57．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第四行的四个数，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有______项，请写出它的展开式______； (2)的展开式共有______项，系数和为______； (3)利用上面的规律计算： 【答案】(1)6， (2)， (3)1 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究，完全平方公式的应用，正确理解“杨辉三角”的规律是求解本题的关键． （1）根据图中规律，写出的展开式即可； （2）根据前三个展开式中的项数，求出前几个的系数和，找到规律，进行求解即可． （3）根据材料的逆运算可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ； 故答案为：6，； （2）解：∵，有项； ，有项； ，有项； ∴的展开式中有个项； ∵，展开式的系数和为：； ，展开式的系数和为：； ，展开式的系数和为：； ∴，展开式的系数和为：． 故答案为：，； （3） ∵ ∴原式. 题型二十 乘法公式与卡片组合相关问题（共3小题） 58．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，有A，B，C三种类型的卡片． (1)选取1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，恰好拼成一个大正方形． ①请画出所拼大正方形的示意图； ②通过用不同方法表示大正方形的面积，可得到乘法公式为_________． (2)若用若干张A，B，C卡片（每种类型的卡片至少一张），恰好拼成一个大正方形，则使用的所有卡片的张数之和一定是一个完全平方数．请说明理由． 【答案】(1)①见详解；② (2)理由见详解 【分析】（1）结合三种卡片的数量以及每种卡片的面积即可求解； （2）先假设拼接后大正方形的边长，然后利用乘法公式确定大正方形的面积，再结合三种卡片的面积即可确定所需每种卡片的数量，继而求解． 【详解】（1）解：①所拼大正方形的示意图如图所示： ②． （2）解：设拼接后的大正方形的边长为，则大正方形的面积为 ． 因为1张A型卡片的面积为，1张B型卡片的面积为，1张C型卡片的面积为， 所以拼接后的大正方形包含了张A型卡片，张B型卡片，张C型卡片, 所以使用的所有卡片的张数之和为，即它是一个完全平方数． 59．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，有甲、乙两种长方形卡片若干张． (1)甲种长方形卡片的面积为______，乙种长方形卡片的面积为______，甲、乙两张卡片的面积和为______．（结果需化简） (2)试比较两种长方形卡片的面积、的大小，并说明理由． (3)若用相同数量的甲、乙两种长方形卡片刚好能够拼成一个面积为的图形，则使用卡片的总数量为 ． 【答案】(1)，， (2) ，理由见解析 (3)80 【分析】（1）根据图示，利用整式的乘法运算即可求解； （2）计算即可判断； （3）设用了张甲种长方形卡片，张乙种长方形卡片，根据即可求解． 【详解】（1）解：由图可知： 甲种长方形卡片的面积为：； 乙种长方形卡片的面积为：； 甲、乙两张卡片的面积和为： （2）解：，理由如下： ∵， ∴； （3）解：设用了张甲种长方形卡片，张乙种长方形卡片， 则由（1）可得： ， ∴， ∴， 则使用卡片的总数量为． 60．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可拼成如图2所示的大正方形，通过用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：____________________； (2)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图； (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图3所示，图中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为m的正方形未被覆盖部分面积记为，，若，，，求出大正方形的面积． (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式无缝隙，不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，．设，当的长度变化时，a，b之间满足怎样的数量关系，使S的值始终保持不变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)作图见解析 (3)134 (4)，理由见解析； 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的特点，数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）根据阴影部分的面积的两种表示方法求解即可； （2）画一个长方形的两个邻边分别为和即可； （3）根据割补法表示面积，然后整体代入求解； （4））设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关解题． 【详解】（1）解：由图可知，，， 阴影部分面积为：或； ∴可得到等式为： 故答案为：； （2）用卡片A，B，C拼成的一个长方形，边长分别为和，如图所示∶ （3）解：由图可知：， ， ∵，， ∴， 边长为：， ， ， ， ， ， 大正方形面积为 134． （4）解：，理由如下： 设，由图可知， ， ， 若为定值，则将不随的变化而变化， 即， ． 题型二十一 乘法公式的新定义运算（共3小题） 61．定义运算：，例如：，则的运算结果是______． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据定义运算规则，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 62．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）观察下列等式，回答问题： ①；②；③；④；…… 定义：如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”．如，则8就为“幸福数”，因此8，16，24都是“幸福数”． (1)判断48是否为“幸福数”，说明理由； (2)据“幸福数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中n是正整数，那么“幸福数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)求不超过150的所有“幸福数”的和． 【答案】(1)48是幸福数，理由见解析 (2)能，理由见解析 (3)1368 【分析】（1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）由（2）得“幸福数”能被整除，然后由求出不超过150的所有“幸福数”，然后求和即可． 【详解】（1）解：（1）48是“幸福数”， 理由：设， 解得：， ， 是“幸福数”； （2）解：“幸福数”能被整除， 理由： ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “幸福数”都能被整除； （3）解：由（2）得，“幸福数”能被整除， ， 不超过150的所有“幸福数”有，，，，136，144， ， ， ， ， ． 63．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称； （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴关于对称， ∴． 题型二十二 乘法公式中的配方法求最值（共3小题） 64．（24-25七年级下·江苏·期末）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，1； (2)． 【分析】本题考查了完全平方式的应用． （1）仿照题干所给示例作答即可； （2）可化为，根据题意可知当时，取最小值0，当时，取最小值0，代入计算即可． 【详解】（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1． 所以当时，有最小值1． 故答案为：，1； （2）解： ， ∴，， ∵当时，取最小值0，当时，取最小值0， ∴，， ∴． 65．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 【答案】(1)16 (2)，1 (3)有最大值． 【分析】本题主要考查完全平方式的变换，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键． （1）根据完全平方公式求解； （2）利用配方法求最小值； （3）由，得到，代入得，利用配方法求最大值即可． 【详解】（1） 解：∵， 故答案为：16； （2）解：∵ ， 其中，， ， 的最小值是1； 故答案为：，1； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 66．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即．例如：．请根据阅读材料解决下 (1)已知，求的值； (2)当x，y为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1) (2)，最小值为8 【分析】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，一元一次方程的求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）将利用完全平方公式配方，根据平方的非负性可得x和y的值，可解答； （2）首先把已知等式利用完全平方公式进行配方，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ，， ； （2） ， ，， 代数式取得最小值时， ，解得：， ∴当时，代数式取得最小值，最小值为8． 题型二十三 选填压轴题（共3小题） 67．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为、、，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为、、，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可得三个正方形上的数字之和为48，而到这个数字之和为36，据此可得，由，，可得，即可解决问题． 【详解】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16， ∴三个正方形顶点上的数字之和为， 到这个数字之和为， ∵、、都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， 而， ∵三个正方形交点处的三个数字的平方都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∴． 68．（25-26七年级下·江苏南京·期末）18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记；，已知，则m的值是（   ） A．20 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可得： ， ∴， ∴． 69．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续正奇数的平方差，并且这两个连续正奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”．例如：，且，所以8是“差方数”．则从小到大排列后，第20个“差方数”是__________． 【答案】3200 【分析】本题考查平方差公式与新定义运算，设两个连续正奇数为和，其中为正整数，根据“差方数”的定义推导得到“差方数”的一般表达式，再代入对应参数计算第20个“差方数”即可． 【详解】解：设两个连续正奇数为 和 ，其中 为正整数． 由平方差公式可得： ． 两个连续正奇数的和为 ． 根据“差方数”的定义， 为某个正整数的平方． 设 ，则 ． 为正整数， 必为偶数． 令 ，其中为正整数，可得 ． 将 代入 ，得 ． 即从小到大排列后，第个“差方数”为． 当求第个“差方数”时，， 则 ． 题型二十四 解答压轴题（共3小题） 70．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． (1)现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． (3)如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； (4)如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1) (2)①62；②5 (3)16 (4)40 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据图形得到阴影部分的边长为，大正方形的边长为，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去四个小长方形的面积进行求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为，根据题意易得到、，利用完全平方公式变形求出正方形的边长即可； （4）设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为，则、，，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：阴影部分的边长为，大正方形的边长为， 则阴影部分的面积为：； （2）解：①； ②； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ， ， ， 长方形面积为60， ， ， ， ， ， 正方形的边长为16； （4）解：设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为， 、， 长方形面积为， ， ， ， ， 阴影部分面积为． 71．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）探寻数学的对称美，并完成任务： 主题：探寻数学的对称美 素材1 几何图形中有轴对称图形，在多项式中存在对称式．一个含有两个字母的多项式中，如果任意交换两个字母的位置，所得结果与原多项式相同，则称这个多项式为“二元对称多项式”，如：等都是“二元对称多项式”． 素材2 若多项式是关于的多项式，且满足两个条件：1．是一个“二元对称多项式”；2．多项式经过加法、减法、乘法中的某一种运算并化简后可得到，我们把这样的三个二元多项式称为“二元对称关联多项式”． (1)任务1：，其中是“二元对称多项式”的是__________（填序号）． (2)任务2：已知关于的多项式：，（为常数），若是“二元对称多项式”，试说明也是“二元对称多项式”． (3)任务3：已知关于的三个多项式：（为常数）是“二元对称关联多项式”，求的值． 【答案】(1)①④ (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“二元对称多项式”的定义逐一判断即可； （2）可求出，根据是“二元对称多项式”，可得，则可求出，据此计算出的结果，再根据定义判断即可； （3）可证明多项式和都不是“二元对称多项式”，则由“二元对称关联多项式”的定义得到多项式是“二元对称多项式”，则；可知多项式不能由多项式和进行加减计算得到，则由“二元对称关联多项式”的定义可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式相等，故多项式是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式相等，故多项式是“二元对称多项式”； ∴①④是“二元对称多项式”； （2）解：∵，， ∴ ， ∵是“二元对称多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 多项式交换x、y的位置为多项式， ∵多项式与多项式相等， ∴也是“二元对称多项式”． （3）解：多项式交换x、y的位置为多项式，交换前后的多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式” 多项式交换x、y的位置为多项式交换前后的多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”， ∵关于的三个多项式：（为常数）是“二元对称关联多项式”， ∴多项式是“二元对称多项式”， ∴， ∴； ∵多项式和多项式中未知数x、y的次数都为1，而多项式中未知数x、y的次数含有2次， ∴多项式不能由多项式和进行加减计算得到， ∴由“二元对称关联多项式”的定义可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 72．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【基本方法】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解 (1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． (2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值． (3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把当作系数，将多项式去括号，合并同类项，得，再令的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将，的代数式代入式子，合并同类项得，然后根据的值与无关，令的系数为0，即可求出n的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，令的系数为0 ，即可求得与的关系． 【详解】（1）解： ， 其值与的取值无关， ， ； （2）∵，， ， 的值与无关， ，即； （3）设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ． 题型二十五 江苏地区期末常考题型（共11小题） 73．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键， 利用完全平方公式展开已知等式，联立相加直接求解． 【详解】∴ 和 ， ∴，， 将两式相加：， ， 两边同时除以2，得： 故选：B． 74．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知长方形的长为，宽为，其面积记为，正方形的边长为，其面积记为，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用作差法比较两个代数式的值的大小，完全平方公式，多项式乘多项式等内容，解题的关键是熟练掌握整式的乘法运算法则． 表示出图形的面积，根据整式的乘法，利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 75．（24-25八年级上·江苏南通·期中）小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（   ） 小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为． A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意，设，，则，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． ，进行计算，即可求解． 【详解】解：设，， 则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴有最小值为， 故选：C． 76．（25-26七年级下·山东济南·期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．设甲正方形边长为，乙正方形边长为，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积． 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，， ， ， 点为的中点， ， 图的阴影部分面积， ， ， 图的阴影部分面积 ， 故选：B． 77．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若，，则______（用含有m，n的式子表示，结果需化简） 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将，两边分别乘方并利用完全平方公式展开，然后将两式相减求得的值即可． 【详解】解：，， ，， ①，②， ①-②得：， 则， 故答案为： 78．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如：，，则8，16均为“美好数”，在不超过2025的正整数中，所有的“美好数”之和的末尾数字为______． 【答案】8 【分析】本题考查平方差公式，理解“美好数”的意义是解决问题的前提，得出计算结果的规律性是解决问题的关键． 根据，确定在不超过2025的正整数中，“美好数”共有253个，再求和，根据计算结果可得出答案． 【详解】解：依题意设连续的两个奇数为，， ∴ 解得： 在不超过2025的正整数中，“美好数”共有253个，它们之和为 ， ∴所有的“美好数”之和的末尾数字为8． 故答案为：8 79．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，将变形为，利用规律进行求解即可． 【详解】解：由题意：， 根据题干规律，令， ； 故答案为：． 80．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）当时，代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的整体代入求值，先把要求的式子变成已知式子的形式，再整体代入求出答案即可； 【详解】解： ， ， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为： 81．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则以及多项式乘以单项式乘法法则，将所求代数式变形为，根据偶次方的非负性以及绝对值的非负性，求得x与y的值，进而求得该式的值． 【详解】解： ； ∵，且，， ∴，， ∴，， ∴原式． 82．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是2； ②， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式存在最小值－7． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3, 3 (2)当时，y有最大值 (3) 【分析】本题考查了利用配方法（完全平方公式）求解代数式的最值，解题的关键是将代数式通过配方转化为“平方项常数”的形式，再根据平方项的非负性判断代数式的最大值或最小值． （1）对代数式进行配方，补全完全平方项，转化为；利用平方项，确定当平方项为0时，代数式取得最小值，同时求出对应的值． （2）对配方，注意二次项系数为负，转化为；由平方项非负可知，即时代数式有最大值，再代入计算具体值． （3）从方程中整理出的表达式，代入得到新代数式；对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【详解】（1）解：， ， 当，即时，代数式取得最小值，最小值为． 故答案为：3，3； （2）解： ， ，； 当，即时，有最大值，最大值； （3）解：由得； 则， 当时，取得最小值，最小值为． 83．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②：． 图1对应公式___________；图2对应公式___________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①，求的值； ②，求． 【迁移运用】 （3）如图3，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形且对角线时，若，阴影部分的面积和为35，请求出正方形和正方形的面积和．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【拓展提升】 （4）如图4，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为___________； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）②；①；（2）①12；②129；（3）30；（4）①2；②成立，过程见详解 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，正确理解题意，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据图形即可得出图1对应公式是；图2对应公式是； （2）①先求出，得出，再根据即可得出答案； ②设，，得出，，根据完全平方公式变形求出，即可得出答案； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则根据题意，得，得出，根据完全平方公式变形求出即可； （4）①根据点D为的中点，得出此时四边形为正方形，设，则，，，求出，，即可得出答案； ②设，，则，，，，求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：图1对应公式是；图2对应公式是， 故答案为：②；①； （2）①， ， ∴， ， ． ②设，， ∴，， ∴； ∴． （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则根据题意，得， ， ， ， ∴， ∴ ∴正方形和正方形的面积和为30． （4）①根据题意可得：、、、都是等腰直角三角形， ∵点D为的中点， ∴， ∴此时四边形为正方形， 设，则， ，， ∴， ， ∴； ②结论成立；理由如下： 根据题意可得：、、、都是等腰直角三角形， ∵四边形为长方形， ∴设，， 则，， ，， ∴ ， ， ， ∴． $ 专题02 整式乘法25大题型 题型1 单项式乘法计算 题型14 通过对完全平方公式变形求值（重点） 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型15 求完全平方式中的字母系数 题型3 单项式乘多项式的应用 题型16 利用乘法公式的非负性求值（重点） 题型4 多项式乘法计算 题型17 乘法公式中整体思维（重点） 题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法（常考点） 题型18 乘法公式中图形面积问题（重点） 题型6 多项式乘法的化简求值（常考点） 题型19 乘法公式中的规律性计算 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值（重点） 题型20 乘法公式与卡片组合相关问题 题型8 多项式乘法与图形面积 题型21 乘法公式的新定义运算（难点） 题型9 多项式乘法中图形几何无关问题 题型22 乘法公式中的配方法求最值（难点） 题型10 多项式乘法中的规律性问题（难点） 题型23 选填压轴题（难点） 题型11 乘法公式计算题（常考点） 题型24 解答压轴题（难点） 题型12 平方差公式与几何图形（常考点） 题型25 江苏地区期末常考题型 题型13 完全平方公式与几何图形（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 单项式乘法计算（共3小题） 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）计算： 3．（25-26七年级下·江苏·期中）计算： (1) (2) 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值（共3小题） 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 5．（2025七年级下·江苏·期末）若，则求的值． 6．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知等式成立，求的值． 题型三 单项式乘多项式的应用（共3小题） 7．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 8．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 9．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）学校课外学习小组想靠着一面足够长的旧墙，开垦一块长方形的实验田，如图所示，实验田的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共27米． (1)设垂直于墙面的一边长为米，则边的长用含的代数式可表示为 ______米； (2)用含的代数式来表示实验田的面积； (3)当时，实验田面积为多少平方米？ 题型四 多项式乘法计算（共3小题） 10．（25-26七年级下·江苏常州·期中）小刚同学做一道整式乘法的题目，他误将中前面的“”抄成了“”，得到的结果为．根据上述信息，回答下列问题： (1)__________； (2)求出的正确结果． 11．计算： (1)； (2)； (3)． 12．（25-26七年级下·江苏常州·期末）计算：． 题型五 （x+p）（x+q）型多项式乘法（共3小题） 13．（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 14．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C．15 D．16 15．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若，则________． 题型六 多项式乘法的化简求值（共3小题） 16．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）先化简，再求值：，其中． 17．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中． 18．已知，求代数式的值． 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共3小题） 19．（25-26七年级下·江苏常州·期末）若的展开式中不含x项，则实数m的值为（   ） A． B．0 C．3 D．6 20．（25-26八年级上·山东德州·期末）若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 21．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 题型八 多项式乘法与图形面积（共3小题） 22．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段检测）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门将阴影部分进行绿化，中间边长为米的正方形将修建一座雕塑，则： (1)用含a、b的式子表示绿化面积，并简化式子； (2)求，时，绿化面积是多少． 23．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）教材中，在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是一个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为．因此，可得到等式：． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式：___________； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为___________； (3)代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___________项． (4)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N一共有___________项． 24．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C（）将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若图1中阴影部分周长______，图2中阴影部分周长______； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含a，b，c的代数式表示）． (3)若，求出b与c满足的数量关系． 题型九 多项式乘法中图形几何无关问题（共3小题） 25．（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 26．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 27．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值． (3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系． 题型十 多项式乘法中的规律性问题（共3小题） 28．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： (1)【观察】①______； ②______； ③______；…… (2)【猜想】由此可得：______； (3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 29．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． (1)根据上述规律，请写出第5个等式：______； (2)猜想：______； (3)利用（2）中的结论，求的值． 30．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）张老师组织学校数学兴趣小组展开探究发现： …… (1)启航小组提出的问题是：试求的值，请你合理推算； (2)展翅小组提出的问题是：判断的值的末位数是几，请你写出推断过程； (3)若，求的值． 题型十一 乘法公式计算题（共3小题） 31．（25-26七年级下·江苏南京·期中）用乘法公式计算： (1)； (2)． 32．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 33．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 题型十二 平方差公式与几何图形（共3小题） 34．（1）通过观察比较甲、乙两图的阴影部分面积，可以得到的整式乘法公式为 （用式子表示）． （2）运用你得到的公式，计算下列各题： ①； ② 35．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）图1、图2分别由两个长方形拼成． (1)图1中图形的面积为，图2中图形的面积为 ．（用含有a、b的代数式表示） (2)由（1）可以得到等式： ． (3)根据你得到的等式解决下列问题： ①计算：． ②若，求的值． 36．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，将一个长为、宽为的大长方形（如图1）剪成两个长分别为a和b、宽均为的小长方形，然后将这两个小长方形拼成如图2所示的图形，发现空白部分恰好是边长为a的正方形剪去边长为b的小正方形（阴影部分）． (1)图1中大长方形的面积可以表示为___________，图2中空白部分的面积可以表示为___________； (2)根据（1）中的结果可以得到乘法公式：___________，利用这个公式计算： ①； ② 题型十三 完全平方公式与几何图形（共3小题） 37．（24-25七年级下·江苏常州·期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)利用如图可以验证公式 ； (2)利用（1）中得到的公式解决问题： ①若，，则 ； ②若，求的值． 38．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法． 【方法生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图，可得到我们学过的公式：______． 【拓展探究】 （2）小圣得到启发，利用上面的方法得到一个新公式（如图）：______． 【公式应用】根据小圣发现的新公式，解决下面的问题： （3）直接写出结果：______． （4）已知，，求的值． 39．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图，可得等式：． (1)由图可得等式： ． (2)利用（）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； (3)利用图中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：． 题型十四 通过对完全平方公式变形求值（共3小题） 40．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 41．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 42．（24-25七年级下·江苏常州·期末）阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即： 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值； 题型十五 求完全平方式中的字母系数（共3小题） 43．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若能用完全平方公式因式分解，则的值为（    ） A．6 B．或8 C．或6 D．0 44．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若一个关于x的多项式的完全平方是，则的值为____． 45．（25-26七年级下·江苏·期末）如果，那么_____． 题型十六 利用乘法公式的非负性求值（共3小题） 46．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，我们称A具有“非负性”，并且当时，A取到最小值为0． (1)下列具有非负性的代数式有 ． ①；②；③；④；⑤ (2)若，则当 时，A取到最小值为 ． (3)已知，求代数式的最小值． 47．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题都有广泛的应用． 例如：用配方法分解因式：． 原式． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 48．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）阅读下列材料： ，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解次问题的思路方法叫做配方法．用配方法解决下列问题： (1)____+1． (2)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知为的三边长，且满足，试判断此三角形的形状． 题型十七 乘法公式中整体思维（共3小题） 49．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，例如，我们可以将看成一个整体，则，请根据上面的提示和范例，解决下面问题： (1)把看成一个整体，求将合并的结果； (2)已知，求的值； 50．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）“整体思想”是中学数学解题过程中的一种重要的思想方法，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 例如，已知方程组：，求，的值． 解：原方程组即为，设， 原方程组可变形为：， 解得，即． 理解上述内容，解决下列问题： (1)若关于的一元一次方程（，为常数，且）的解为，则关于的一元一次方程的解为________； (2)已知关于，的方程组，求的值； (3)已知关于，，的方程组，求的值． 51．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路； ①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程． ②可以用“数形结合”的方法，画出表示的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框中画出图形，并作适当标注． （2）利用（1）的结论分解因式：_______． （3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下： ① ∵ ∴． 故当时代数式的最小值为-2 ② ∵ ∴ 故当时代数式的最大值为4 请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式有最小值，并确定它的最小值． 题型十八 乘法公式中图形面积问题（共3小题） 52．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ． (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简） (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积 ． 53．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法．通过对整式乘法的学习，我们发现对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)正方形是由如图1的三个图形（一个正方形和两个一样的梯形）拼接而成．请你观察所拼图形，通过不同方式表示大正方形的面积，写出验证完全平方公式的过程． (2)利用（1）中的结论解决问题：若，，求的值． (3)如图2，是线段上一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，，求图中阴影部分面积． 54．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）【课本探究】 在第八章《整式乘法》章头图的探究活动中得到：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得出一个数学等式． 【归纳证明】 (1)如图1所示的大正方形，是由边长为的大正方形、边长为的小正方形和两个长为、宽为的长方形构成，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是___________； 【能力提升】 (2)若满足，求的值； 【实际应用】 (3)如图2，已知数轴上，，，表示的数分别是、、，以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为，求长方形的面积； (4)图3中涂色部分是直角边长为，，斜边长为的个直角三角形．请问，，，存在怎样的数量关系，试说明理由． 题型十九 乘法公式中的规律性计算（共3小题） 55．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）观察下列等式： ； ； ；…… (1)请写出第④个等式：__________ (2)从上述等式中，你发现了什么规律，用适当的等式表示你发现的规律：__________； (3)证明你发现的规律． 56．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．我们称这个三角形为“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)补充完整的展开式：______； (2)的展开式中共有______项，所有项系数的和为______； (3)利用上面的规律计算：． (4)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 57．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第四行的四个数，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有______项，请写出它的展开式______； (2)的展开式共有______项，系数和为______； (3)利用上面的规律计算： 题型二十 乘法公式与卡片组合相关问题（共3小题） 58．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，有A，B，C三种类型的卡片． (1)选取1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，恰好拼成一个大正方形． ①请画出所拼大正方形的示意图； ②通过用不同方法表示大正方形的面积，可得到乘法公式为_________． (2)若用若干张A，B，C卡片（每种类型的卡片至少一张），恰好拼成一个大正方形，则使用的所有卡片的张数之和一定是一个完全平方数．请说明理由． 59．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，有甲、乙两种长方形卡片若干张． (1)甲种长方形卡片的面积为______，乙种长方形卡片的面积为______，甲、乙两张卡片的面积和为______．（结果需化简） (2)试比较两种长方形卡片的面积、的大小，并说明理由． (3)若用相同数量的甲、乙两种长方形卡片刚好能够拼成一个面积为的图形，则使用卡片的总数量为 ． 60．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可拼成如图2所示的大正方形，通过用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：____________________； (2)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图； (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图3所示，图中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为m的正方形未被覆盖部分面积记为，，若，，，求出大正方形的面积． (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式无缝隙，不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，．设，当的长度变化时，a，b之间满足怎样的数量关系，使S的值始终保持不变，请说明理由． 题型二十一 乘法公式的新定义运算（共3小题） 61．定义运算：，例如：，则的运算结果是______． 62．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）观察下列等式，回答问题： ①；②；③；④；…… 定义：如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”．如，则8就为“幸福数”，因此8，16，24都是“幸福数”． (1)判断48是否为“幸福数”，说明理由； (2)据“幸福数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中n是正整数，那么“幸福数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)求不超过150的所有“幸福数”的和． 63．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 题型二十二 乘法公式中的配方法求最值（共3小题） 64．（24-25七年级下·江苏·期末）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式_____________，则的最小值为_____________； (2)已知，求的值． 65．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 66．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即．例如：．请根据阅读材料解决下 (1)已知，求的值； (2)当x，y为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 题型二十三 选填压轴题（共3小题） 67．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为、、，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为、、，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 68．（25-26七年级下·江苏南京·期末）18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记；，已知，则m的值是（   ） A．20 B． C． D． 69．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续正奇数的平方差，并且这两个连续正奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”．例如：，且，所以8是“差方数”．则从小到大排列后，第20个“差方数”是__________． 题型二十四 解答压轴题（共3小题） 70．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． (1)现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． (3)如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； (4)如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________． 71．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）探寻数学的对称美，并完成任务： 主题：探寻数学的对称美 素材1 几何图形中有轴对称图形，在多项式中存在对称式．一个含有两个字母的多项式中，如果任意交换两个字母的位置，所得结果与原多项式相同，则称这个多项式为“二元对称多项式”，如：等都是“二元对称多项式”． 素材2 若多项式是关于的多项式，且满足两个条件：1．是一个“二元对称多项式”；2．多项式经过加法、减法、乘法中的某一种运算并化简后可得到，我们把这样的三个二元多项式称为“二元对称关联多项式”． (1)任务1：，其中是“二元对称多项式”的是__________（填序号）． (2)任务2：已知关于的多项式：，（为常数），若是“二元对称多项式”，试说明也是“二元对称多项式”． (3)任务3：已知关于的三个多项式：（为常数）是“二元对称关联多项式”，求的值． 72．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【基本方法】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解 (1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． (2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值． (3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 题型二十五 江苏地区期末常考题型（共11小题） 73．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 74．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知长方形的长为，宽为，其面积记为，正方形的边长为，其面积记为，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 75．（24-25八年级上·江苏南通·期中）小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（   ） 小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为． A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 76．（25-26七年级下·山东济南·期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 77．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若，，则______（用含有m，n的式子表示，结果需化简） 78．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如：，，则8，16均为“美好数”，在不超过2025的正整数中，所有的“美好数”之和的末尾数字为______． 79．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是______． 80．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）当时，代数式的值为________． 81．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）先化简，再求值：，其中． 82．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是2； ②， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式存在最小值－7． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 83．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②：． 图1对应公式___________；图2对应公式___________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①，求的值； ②，求． 【迁移运用】 （3）如图3，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形且对角线时，若，阴影部分的面积和为35，请求出正方形和正方形的面积和．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【拓展提升】 （4）如图4，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为___________； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $